Ảnh (toán học)

f là một hàm từ miền X đến đối miền Y. Hình bầu dục màu vàng bên trong Y là ảnh của f.

Trong toán học, ảnh của một hàm là tập hợp tất cả các giá trị đầu ra mà nó có thể tạo ra.

Định nghĩa

Ảnh của một phần tử

Nếu x là một phần tử của X, thì f(x)=y (giá trị của f tại x) được gọi ảnh của x tạo bởi f.

Ảnh của một tập con

Ảnh của một tập con A ⊆ X tạo bởi f là tập con

$f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}$

Ảnh của một hàm

Ảnh của một hàm là ảnh của toàn bộ miền xác định của nó.

Nghịch ảnh

Đặt f là một hàm từ X đến Y. Nghịch ảnh (hay tạo ảnh) của tập hợp B ⊆ Y dưới f là tập con của X được xác định bởi

$f^{-1}[B]=\{x\in X|f(x)\in B\}.$

Nghịch ảnh của một điểm y còn được gọi là thớ của f tại y hoặc tập mức của y.

Tính chất

Chung

Với mọi $f:X\to Y$ các tập con $A\subseteq X$, $B\subseteq Y$, ta có:

Hình ảnh	Tiền đề
$f(X)\subseteq Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f^{-1}(f(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (ta có dấu bằng nếu $B\subseteq f(X)$, ví dụ như nếu $f$ là một toàn ánh)	$f^{-1}(f(A))\supseteq A$ (ta có dấu bằng bằng nếu $f$ là một đơn ánh)
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f{|}_A{)}^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\varnothing \iff A=\varnothing$	$f^{-1}(B)=\varnothing \iff B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B\iff \mathrm{\exists }C\subseteq A:f(C)=B$	$f^{-1}(B)\supseteq A\iff f(A)\subseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\setminus A)\iff f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\iff f^{-1}(B)=X$
$f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)$
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$

• $f(A)\cap B=\varnothing \iff A\cap f^{-1}(B)=\varnothing$

Nhiều hàm

Cho hai hàm $f:X\to Y$ và $g:Y\to Z$ và các tập con $A\subseteq X$, $C\subseteq Z$, ta có:

• $(g\circ f)(A)=g(f(A))$
• $(g\circ f{)}^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Nhiều tập hợp

Cho hàm $f:X\to Y$ và các tập con $A_1,A_2\subseteq X$, $B_1,B_2\subseteq Y$, ta có:

Hình ảnh	Tiền đề
$A_1\subseteq A_2\Rightarrow f(A_1)\subseteq f(A_2)$	$B_1\subseteq B_2\Rightarrow f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2)$
$f(A_1\cup A_2)=f(A_1)\cup f(A_2)$	$f^{-1}(B_1\cup B_2)=f^{-1}(B_1)\cup f^{-1}(B_2)$
$f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$ (ta có dấu bằng nếu $f$ là đơn ánh )	$f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$
$f(A_1\setminus A_2)\supseteq f(A_1)\setminus f(A_2)$ (ta có dấu bằng nếu $f$ là đơn ánh)	$f^{-1}(B_1\setminus B_2)=f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)$
$f(A_1\mathrm{△}{A}_2)\supseteq f(A_1)\mathrm{△}f(A_2)$ (ta có dấu bằng nếu $f$ là đơn ánh)	$f^{-1}(B_1\mathrm{△}{B}_2)=f^{-1}(B_1)\mathrm{△}{f}^{-1}(B_2)$

Ngoài ra

• $f\left(\bigcup _{s\in S}{A}_s\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_s)$
• $f\left(\bigcap _{s\in S}{A}_s\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_s)$
• $f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}{B}_s\right)=\bigcup _{s\in S}{f}^{-1}(B_s)$
• $f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}{B}_s\right)=\bigcap _{s\in S}{f}^{-1}(B_s)$

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Nguyễn Tiến Quang (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản giáo dục
• TS Blyth, Dàn và các cấu trúc đại số sắp thứ tự, Springer, 2005, Bản mẫu:ISBN.