Biểu thị tự do

Trong đại số, một biểu thị tự do của một mô-đun M trên một vành giao hoán R là một dãy khớp các R-mô-đun:

$\underset{i\in I}{⨁}R\stackrel{f}{\to }\underset{j\in J}{⨁}R\stackrel{g}{\to }M\to 0.$

Lưu ý rằng ảnh qua g của một cơ sở chính tắc của ${\oplus }_{j\in J}R$ sinh $M$. Nếu $J$ là hữu hạn thì $M$ là một mô-đun hữu hạn sinh. Nếu $I$ và $J$ cùng là các tập hữu hạn thì biểu thị được gọi là một biểu thị hữu hạn.

Một biểu thị tự do luôn tồn tại: bất kỳ mô-đun nào đều là thương của một mô-đun tự do: $F\stackrel{g}{\to }M\to 0$; hạch của g lại là thương của một mô-đun tự do: $F^{\prime }\stackrel{f}{\to }\ker g\to 0$. Nối hai dãy khớp này ta thu được một biểu thị tự do của $M$. Nếu ta tiếp tục quá trình trên, ta sẽ thu được một phân giải tự do của $M$. Một biểu thị tự do, do đó, là một đoạn đầu ngắn của chuỗi phân giải tự do.

Xem thêm

• Mô đun nhất quán
• Bó tựa nhất quán

Tham khảo

• Eisenbud, David, Đại số giao hoán với quan điểm hướng tới hình học đại số, Giáo trình cao học toán học, 150, Springer-Verlag, 1995, Bản mẫu:ISBN.