Phân giải (đại số)

Trong toán học, và cụ thể hơn là trong đại số đồng điều, một phân giải (hoặc phân giải trái) là một dãy khớp các mô-đun (hay nói chung là các đối tượng của một phạm trù abel), được sử dụng để xác định các bất biến đặc trưng cho cấu trúc mô-đun (hay cấu trúc của phạm trù abel).

Một phân giải là hữu hạn nếu chỉ có một số hữu hạn các vật là khác $0$.

Nói chung, các vật trong dãy thường bị ép có một thuộc tính P (ví dụ là tự do). Do đó, người ta nói về một phân giải P. Đặc biệt, mọi mô-đun đều có phân giải tự do, phân giải xạ ảnh và phân giải phẳng, là các phân giải tương ứng với các mô-đun tự do, mô-đun xạ ảnh hoặc mô-đun phẳng. Tương tự, mọi mô-đun đều có phân giải nội xạ, là phân giải bên phải bao gồm các mô-đun nội xạ.

Phân giải mô-đun

Định nghĩa

Cho một R-mô-đun M, một phân giải trái (hoặc đơn giản là phân giải) của M là một dãy khớp (có thể là vô hạn) các R -mô-đun

$\cdots \stackrel{d_{n+1}}{⟶}{E}_n\stackrel{d_n}{⟶}\cdots \stackrel{d_3}{⟶}{E}_2\stackrel{d_2}{⟶}{E}_1\stackrel{d_1}{⟶}{E}_0\stackrel{\epsilon }{⟶}M⟶0.$

Các đồng cấu d_i được gọi là các ánh xạ biên. Ánh xạ $\epsilon$ được gọi là ánh xạ nhảy. Ta cũng viết ngắn gọn

$E_{\bullet }\stackrel{\epsilon }{⟶}M⟶0.$

Khái niệm đối ngẫu của phân giải trái là phân giải phải. Cụ thể, cho một R-mô-đun M, một phân giải phải của nó là một dãy khớp các R-mô-đun

$0⟶M\stackrel{\epsilon }{⟶}{C}^0\stackrel{d^0}{⟶}{C}^1\stackrel{d^1}{⟶}{C}^2\stackrel{d^2}{⟶}\cdots \stackrel{d^{n-1}}{⟶}{C}^n\stackrel{d^n}{⟶}\cdots ,$

Ta cũng viết

$0⟶M\stackrel{\epsilon }{⟶}{C}^{\bullet }.$

Xem thêm

• Biểu thị tự do

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích
• Bản mẫu:Chú thích
• Bản mẫu:Chú thích
• Lang, Serge (1993), Đại số (tái bản lần thứ ba)
• Weibel, Charles A. (1994). Giới thiệu về đại số đồng điều