Trường hữu hạn

Trong toán học, một trường hữu hạn là một trường chứa một số hữu hạn các phần tử. Ví dụ phổ biến nhất của các trường hữu hạn là các [[Số học mô đun|số nguyên mod Bản mẫu:Math]] với Bản mẫu:Math là số nguyên tố.

Tính chất

Số lượng phần tử của một trường hữu hạn được gọi là cấp hoặc bậc của nó, hoặc đôi khi, kích thước của nó. Trường hữu hạn cấp Bản mẫu:Math tồn tại khi và chỉ khi Bản mẫu:Math là một lũy thừa nguyên tố Bản mẫu:Math (trong đó Bản mẫu:Math là số nguyên tố và Bản mẫu:Math là số nguyên dương). Trong cấp Bản mẫu:Math, tổng của Bản mẫu:Math lần bất kỳ phần tử nào luôn có kết quả bằng 0; tức là, đặc số của trường là Bản mẫu:Math.

Nếu $q=p^k,$ tất cả các trường cấp Bản mẫu:Mvar là đẳng cấu. Hơn nữa, một trường không thể chứa hai trường con hữu hạn khác nhau có cùng cấp. Do đó, người ta có thể xác định tất cả các trường hữu hạn có cùng cấp và chúng được ký hiệu là ${𝔽}_q$, Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math.

Tất cả các phần tử của một trường hữu hạn cấp Bản mẫu:Math đều là nghiệm của đa thức Bản mẫu:Math. Các phần tử khác không của một trường hữu hạn tạo thành một nhóm nhân. Nhóm này là xiclic, vì vậy tất cả các phần tử khác không có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của một phần tử duy nhất gọi là phần tử nguyên thủy của trường. (Nói chung một trường có nhiều hơn một phần tử nguyên thủy.)

$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)=\mathrm{G}\mathrm{F}(p)[X]/(P)$

Sự tồn tại và tính duy nhất

Đặt Bản mẫu:Math là một lũy thừa nguyên tố và $F$ là trường phân rã của đa thức

$P=X^q-X$

trên trường Bản mẫu:Math. Thế thì $F$ là một trường hữu hạn có cấp bằng $q$.

Việc mọi trường cấp $q$ đều đẳng cấu với nhau là hệ quả của tính duy nhất xê xích một đẳng cấu của trường phân rã. Ngoài ra, nếu một trường Bản mẫu:Mvar có một trường con $K$ với cấp Bản mẫu:Math  thì các phần tử của $K$ là các nghiệm của đa thức Bản mẫu:Math và $K$ là trường con cấp $q^{\prime }$ duy nhất của $F$.

Xây dựng tường minh

Các trường không nguyên tố

Với một lũy thừa nguyên tố Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math số nguyên tố và Bản mẫu:Math, trường Bản mẫu:Math có thể được xây dựng tường minh như sau. Đầu tiên ta chọn một đa thức bất khả quy Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math sao cho bậc của $P$ bằng Bản mẫu:Math (định lý - luôn tồn tại một đa thức như vậy). Thế thì vành thương

$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)=\mathrm{G}\mathrm{F}(p)[X]/(P).$

của vành đa thức Bản mẫu:Math bởi i-đê-an chính sinh bởi Bản mẫu:Math là một trường cấp Bản mẫu:Math.

Trường bốn phần tử

Trên Bản mẫu:Math, chỉ có một đa thức bất khả quy bậc Bản mẫu:Math duy nhất:

$X^2+X+1$

Do đó, ta có một đẳng cấu $GF(4)\simeq GF(2)[X]/(X^2+X+1)$.

Nếu ký hiệu Bản mẫu:Math là một nghiệm của đa thức $P$ trong Bản mẫu:Math, ta có bảng các phép toán trong Bản mẫu:Math như sau.

Phép cộng	Phép nhân	Phép chia
+ Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math	× Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math	Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math

Tham khảo

• W. H. Bussey (1905) "Galois field tables for pⁿ ≤ 169", Bulletin of the American Mathematical Society 12(1): 22–38, Bản mẫu:DOI
• W. H. Bussey (1910) "Tables of Galois fields of order < 1000", Bulletin of the American Mathematical Society 16(4): 188–206, Bản mẫu:DOI
• Bản mẫu:Chú thích
• Bản mẫu:Chú thích
• Bản mẫu:Chú thích
• Bản mẫu:Chú thích
• Skopin, A. I. (2001) [1994], "Galois field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

Liên kết ngoài

• Finite Fields at Wolfram research.