Hàm zeta Riemann

Điểm kì dị tại $z=1$ và hai không điểm trên đường tới hạn.

Hàm zeta Riemann hoặc hàm zeta Euler-Riemann, Bản mẫu:Math, là một hàm số một biến phức, là kết quả thác triển giải tích của chuỗi Dirichlet

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

Chuỗi này hội tụ khi phần thực của Bản mẫu:Mvar lớn hơn 1. Thác triển giải tích tối đại của nó được xác định trên toàn bộ mặt phẳng phức trừ điểm 1. Hàm zeta Riemann đóng vai trò then chốt trong lý thuyết số giải tích và có các ứng dụng trong vật lý, lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng.

Định nghĩa

Bài báo của Bernhard Riemann Về số lượng các số nguyên tố dưới một độ lớn nhất định.

Hàm zeta Riemann Bản mẫu:Math là một hàm số một biến phức Bản mẫu:Math.

Đối với trường hợp đặc biệt $\Re 𝔢(s)\equiv \sigma >1$, hàm zeta có thể được biểu thị bằng tích phân sau:

$\zeta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\mathrm{d}x\text{ với }\Re 𝔢(s)\equiv \sigma >1$

trong đó

$\mathrm{\Gamma }(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{s-1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$

là hàm gamma.

Trong trường hợp Bản mẫu:Math, tích phân trên luôn hội tụ, và có thể được đơn giản hóa bằng chuỗi vô hạn:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots \text{ với }\sigma \equiv \Re 𝔢(s)>1.$

Hàm zeta Riemann được định nghĩa là thác triển giải tích của hàm trên.

Với Bản mẫu:Math, chuỗi trên là chuỗi điều hòa phân kỳ và

$\underset{s\to 1}{\lim }(s-1)\zeta (s)=1.$

Như vậy hàm zeta Riemann là một hàm phân hình trên toàn bộ mặt phẳng phức với một cực đơn tại Bản mẫu:Math có thặng dư bằng 1.

Giá trị cụ thể

Với mọi số nguyên dương chẵn Bản mẫu:Math:

$\zeta (2n)=\frac{(-1{)}^{n+1}{B}_{2n}(2\pi {)}^{2n}}{2(2n)!}$

trong đó Bản mẫu:Math là số Bernoulli thứ Bản mẫu:Math.

Thông qua thác triển giải tích, người ta có thể chỉ ra rằng:

• $\zeta (-1)=-\frac{1}{12}$
• $\zeta (0)=-\frac{1}{2};$
• $\zeta (1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots =\mathrm{\infty };$
• $\zeta (2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}\approx 1.64493406684822643647;$ 
• $\zeta (4)=1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}\approx 1.08232323371113819152;$ 

Giá trị này xuất hiện khi tích phân định luật Planck để rút ra định luật Stefan-Boltzmann trong vật lý.

Công thức tích Euler

Liên hệ giữa hàm zeta và số nguyên tố được phát hiện bởi Euler, người đã chứng minh đồng nhất thức

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\prod _{p\text{ nguyên tố}}\frac{1}{1-p^{-s}},$

Phương trình hàm Riemann

Hàm zeta thỏa mãn phương trình hàm sau đây:

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s),$

trong đó Bản mẫu:Math là hàm gamma.

Không điểm, đường tới hạn và giả thuyết Riemann

Ngoài các không điểm tầm thường, hàm zeta Riemann không có không điểm ở bên phải của Bản mẫu:Math và bên trái của Bản mẫu:Math.

Đồ thị của hàm zeta Riemann dọc theo đường tới hạn cho các giá trị thực của Bản mẫu:Mvar chạy từ 0 đến 34. Năm không điểm đầu tiên trong dải tới hạn có thể nhìn thấy rõ là nơi mà các vòng xoắn đi qua gốc tọa độ.

Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann zeta dọc theo đường tới hạn Re (s) = 1/2. Các không điểm không tầm thường đầu tiên có thể được nhìn thấy tại Im (s) = ± 14.135, ± 21.022 và ± 25.011.

Phương trình hàm Riemann cho thấy hàm zeta Riemann có các không điểm tại Bản mẫu:Nowrap. Chúng được gọi là không điểm tầm thường. Chúng tầm thường theo nghĩa sự tồn tại của chúng tương đối dễ chứng minh, ví dụ, từ Bản mẫu:Math bằng 0 trong phương trình hàm (lưu ý rằng các không điểm dương của hàm sin bị triệt tiêu bởi các cực điểm của hàm gamma).

Người ta biết rằng bất kỳ không điểm không tầm thường nào đều nằm trong dải mở Bản mẫu:Math, được gọi là dải tới hạn. Giả thuyết Riemann, được coi là một trong những vấn đề chưa được giải quyết lớn nhất trong toán học, khẳng định rằng bất kỳ không điểm không tầm thường Bản mẫu:Mvar nào đều thỏa mãn Bản mẫu:Math. Trong lý thuyết về hàm zeta Riemann, tập Bản mẫu:Math   được gọi là đường tới hạn.

Tham khảo

• Apostol, T. M. (2010), "Zeta and Related Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích sách Has an English translation of Riemann's paper.
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí (Globally convergent series expression.)
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:SpringerEOM
• Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld — an explanation with a more mathematical approach
• Tables of selected zeros Bản mẫu:Webarchive
• Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
• X-Ray of the Zeta Function Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
• Formulas and identities for the Riemann Zeta function functions.wolfram.com
• Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun
• Bản mẫu:Chú thích web
• Mellin transform and the functional equation of the Riemann Zeta function—Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function