Hàm lồi chính thường

Trong giải tích toán học (đặc biệt là giải tích lồi) và tối ưu hóa, hàm lồi chính thường (proper convex function) là một hàm $f$ lấy giá trị trong trục số thực mở rộng sao cho

$f(x)<+\mathrm{\infty }$

tại ít nhất một giá trị $x$ và

$f(x)>-\mathrm{\infty }$

với mọi $x$. Điều đó có nghĩa là, một hàm lồi là chính thường nếu nó có miền hữu hiệu khác rỗng và không bao giờ đạt giá trị $-\mathrm{\infty }$. Hàm lồi không có tính chính thường được gọi là hàm lồi phi chính thường (improper convex function).

Hàm lõm chính thường là một hàm $g$ sao cho $f=-g$ là hàm lồi chính thường.

Tính chất

Với mọi hàm lồi chính thường $f$ trên ${ℝ}^n$, thì tồn tại $b$ thuộc ${ℝ}^n$ và $\beta$ thuộc $ℝ$ sao cho

$f(x)\ge x\cdot b-\beta$

với mọi $x$.

Tổng của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi, nhưng có thể không phải là một hàm chính thường. Ví dụ, với hai tập lồi khác rỗng $A\subset X$ và $B\subset X$ trong không gian vectơ $X$, hai hàm chỉ thị $I_A$ và $I_B$ đều là hàm lồi chính thường, nhưng nếu $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ thì $I_A+I_B$ luôn bằng $+\mathrm{\infty }$.

Tổng chập infimal của hai hàm lồi chính thường là một hàm lồi nhưng chưa hẳn là một hàm chính thường.