Bài toán Brocard

Bản mẫu:Distinguish Bản mẫu:Unsolved Bài toán Brocard là bài toán mở trong toán học yêu cầu tìm các giá trị nguyên của $n$ và $m$ sao cho $$n!+1=m^2,$$ với $n!$ là giai thừa. Nó được đưa bởi Henri Brocard trong hai bài báo vào 1876 và 1885,Bản mẫu:R và độc lập trong 1913 bởi Srinivasa Ramanujan.Bản mẫu:R

Số Brown

Các cặp $(n,m)$ giải bài toán Brocard được đặt tên cặp số Brown bởi Clifford A. Pickover trong quyển sách năm 1995 của ông: Chìa khóa tới vô cực, sau khi biết được bài toán từ Kevin S. Brown.Bản mẫu:R Hiện vào tháng 5 năm 2021, chỉ có 3 cặp số Brown được biết: (4,5), (5,11), và (7,71) dựa trên các đẳng thức sau:

4! + 1 = 5² = 25,

5! + 1 = 11² = 121

7! + 1 = 71² = 5041

Paul Erdős phỏng đoán rằng không nghiệm nguyên nào khác tồn tại. Tìm kiếm bằng máy tính lên tới 10¹⁵ cũng không thấy nghiệm nào khác tồn tại.Bản mẫu:R

Quan hệ với giả thuyết abc

Từ giả thuyết abc sẽ ra được chỉ có hữu hạn số Brown.Bản mẫu:R Tổng quát hơn, từ giả thuyết ta cũng sẽ chứng minh được

$n!+A=k^2$

có hữu hạn số nghiệm với bất kỳ số nguyên $A$,Bản mẫu:R và

$n!=P(x)$

có hữu hạn số nghiệm nguyên với bất kì đa thức $P(x)$ với bậc không nhỏ hơn 2 và hệ số nguyên.Bản mẫu:R

Đọc thêm

• Bản mẫu:Citation

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:Mathworld2
• Bản mẫu:Citation