Tích Euler

Trong lý thuyết số, tích Euler là dạng khai triển chuỗi Dirichlet thành tích vô hạn được đánh chỉ số bởi các số nguyên tố. Tích gốc xuất hiện trong bài chứng minh công thức cho tổng các số nguyên dương được mũ lên một giá trị nào đó của Leonhard Euler. Chuỗi này cùng với thác triển của nó trong mặt phẳng phức sau được biết đến là hàm zeta Riemann.

Định nghĩa

Trong tổng quát, nếu Bản mẫu:Mvar là hàm nhân tính bị chặn, thì chuỗi Dirichlet

$\sum _n\frac{a(n)}{n^s}$

bằng với

$\prod _{p}P(p,s)\text{for }\mathrm{Re}(s)>1.$

trong đó giá trị tích được lấy trên các số nguyên tố Bản mẫu:Mvar, và Bản mẫu:Math là tổng

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(p^k)}{p^{ks}}=1+\frac{a(p)}{p^s}+\frac{a(p^2)}{p^{2s}}+\frac{a(p^3)}{p^{3s}}+\cdots$

Thậm chí, nếu ta coi các hàm này là hàm sinh hình thức, thì sự tồn tại của tích Euler có hình thức là điều kiện cần và đủ sao cho Bản mẫu:Math nhân tính: tức là Bản mẫu:Math là tích của các Bản mẫu:Math mỗi khi Bản mẫu:Mvar phân tích thành tích của các lũy thừa nguyên tố Bản mẫu:Math với các số nguyên tố Bản mẫu:Mvar phân biệt.

Một trường hợp đặc biệt quan trọng là khi Bản mẫu:Math nhân tính toàn phần, khi đó Bản mẫu:Math là chuỗi hình học và do vậy

$P(p,s)=\frac{1}{1-\frac{a(p)}{p^s}},$

và là trường hợp đặc biệt của hàm zeta Riemann khi Bản mẫu:Math, và tổng quát hơn cho các ký tự Dirichlet.

Hội tụ

Thực tế, tất cả trường hợp quan trọng đều là khi khai triển chuỗi vô hạn và tích vô hạn đều hội tụ tuyệt đối trong một số miền

$\mathrm{Re}(s)>C,$

tức là, miền đó là một trong trong một số bán mặt phẳng phải nằm trong mặt số phức. Tính chất này cho thêm một số thông tin bởi, để tích vô hạn có thể hội tụ thì phải có giá trị của nó phải khác không, do đó hàm cho bởi chuỗi vô hạn sẽ khác không tại bán mặt phẳng đó.

Trong lý thuyết của các dạng modula, thường thì sẽ có tích Euler có các đa thức bậc hai ở mẫu số. Tổng quát hơn, chương trình Langlands bao gồm giải thích đầy đủ cho mối liên hệ giữa các đa thức bậc Bản mẫu:Mvar với lý thuyết biểu diễn cho Bản mẫu:Math.

Các ví dụ

Các ví dụ sau sử dụng ký hiệu $\mathbb{P}$ cho tập các số nguyên tố, nghĩa là:

$\mathbb{P}=\{p\in \mathbb{N}|p\text{ là số nguyên tố}\}.$

Tích Euler gắn liền với hàm zeta Riemann Bản mẫu:Math, và cũng sử dụng tổng của chuỗi hình học, tức là

$\begin{array}{cc}\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\right)& =\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p^{ks}}\right)\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\zeta (s).\end{array}$

trong khi đối với hàm Liouville Bản mẫu:Math, khai triển của nó là

$\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{p^s}}\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}=\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}.$

Sử dụng phần nghịch đảo, hai tích Euler cho hàm Möbius Bản mẫu:Math là

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}$

và

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(1+\frac{1}{p^s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}=\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}.$

Chia cái dưới cho cái trên ta được

$\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{1+\frac{1}{p^s}}{1-\frac{1}{p^s}}\right)=\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{p^s+1}{p^s-1}\right)=\frac{\zeta (s{)}^2}{\zeta (2s)}.$

Bởi khi lấy các giá trị chẵn của Bản mẫu:Mvar, hàm zeta Riemann Bản mẫu:Math có giá trị là biểu thức giải tích dưới dạng bội hữu tỉ của Bản mẫu:Math, thì đối với các số mũ chẵn, giá trị của tích vô hạn là một số hữu tỉ. Ví dụ chẳng hạn, bởi Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math, nên

$\begin{array}{cccc}\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{p^2+1}{p^2-1}\right)& =\frac{5}{3}\cdot \frac{10}{8}\cdot \frac{26}{24}\cdot \frac{50}{48}\cdot \frac{122}{120}\cdots & =\frac{\zeta (2{)}^2}{\zeta (4)}& =\frac{5}{2},\\ \prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{p^4+1}{p^4-1}\right)& =\frac{17}{15}\cdot \frac{82}{80}\cdot \frac{626}{624}\cdot \frac{2402}{2400}\cdots & =\frac{\zeta (4{)}^2}{\zeta (8)}& =\frac{7}{6},\end{array}$

và tiếp tục như vậy, kết quả đầu tiên được tính và biết bởi Ramanujan. Họ các tích vô hạn này đồng thời tương đương với

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(1+\frac{2}{p^s}+\frac{2}{p^{2s}}+\cdots )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{\omega (n)}}{n^s}=\frac{\zeta (s{)}^2}{\zeta (2s)},$

trong đó Bản mẫu:Math đến các ước số nguyên tố phân biệt của Bản mẫu:Mvar, và Bản mẫu:Math là số các ước thiếu chính phương.

Nếu Bản mẫu:Math là ký tự Dirichlet của giá trị dẫn Bản mẫu:Mvar sao cho Bản mẫu:Mvar nhân tính toàn phần và Bản mẫu:Math chỉ phụ thuộc trên Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math nếu Bản mẫu:Mvar không nguyên tố cùng nhau với Bản mẫu:Mvar, thì

$\prod _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{1-\frac{\chi (p)}{p^s}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}.$

Ở đây để tiện, ta bỏ khỏi tích các ước nguyên tố Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar. Trong sách của ông, Ramanujan tổng quát hóa tích Euler cho hàm zeta thành

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(x-\frac{1}{p^s})\approx \frac{1}{{\mathrm{Li}}_s(x)}$

với Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math trong công thức là hàm polylôgarit. Khi Bản mẫu:Math , tích trên bằng với Bản mẫu:Math.

Hằng số toán học

Một số hằng số có dạng khai triển tích Euler.

[[Công thức Leibniz cho π|Công thức Leibniz cho Bản mẫu:Pi]]

$\frac{\pi }{4}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$

có thể coi là một chuỗi Dirichlet sử dụng ký tự Dirichlet (duy nhất) modulo 4, được đổi thành tích Euler của các phân số siêu riêng biệt (là các phân số trong đó tử số và mẫu số chỉ cách nhau 1 đơn vị):

$\frac{\pi }{4}=\left(\prod _{p\equiv 1(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p-1}\right)\left(\prod _{p\equiv 3(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p+1}\right)=\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{7}{8}\cdot \frac{11}{12}\cdot \frac{13}{12}\cdots ,$

trong đó mỗi tử số là ước số nguyên tố và mỗi mẫu số là số gần nhất với bội của 4.

Các khai triển tích Euler cho một hằng số khác:

• Hằng số Hardy–Littlewood cho số nguyên tố sinh đôi:

$\prod _{p>2}(1-\frac{1}{{(p-1)}^2})=0.660161...$

• Hằng số Landau–Ramanujan:

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{4}\prod _{p\equiv 1(\mathrm{mod}4)}{(1-\frac{1}{p^2})}^{\frac{1}{2}}& =0.764223...\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\prod _{p\equiv 3(\mathrm{mod}4)}{(1-\frac{1}{p^2})}^{-\frac{1}{2}}& =0.764223...\end{array}$

• Hằng số Murata Bản mẫu:OEIS:

$\prod _p(1+\frac{1}{{(p-1)}^2})=2.826419...$

• Hằng số Artin Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{p(p-1)})=0.373955...$

• Hằng số totient của Landau Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{1}{p(p-1)})=\frac{315}{2{\pi }^4}\zeta (3)=1.943596...$

• Hằng số Feller–Tornier Bản mẫu:OEIS2C:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\prod _p(1-\frac{2}{p^2})=0.661317...$

• Hằng số lớp toàn phương Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{p^2(p+1)})=0.881513...$

• Hằng số tổng totient Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{1}{p^2(p-1)})=1.339784...$

• Hằng số Sarnak Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _{p>2}(1-\frac{p+2}{p^3})=0.723648...$

• Hằng số vô tâm Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{2p-1}{p^3})=0.428249...$

• Hằng số vô tâm Bản mẫu:Math Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{p(p+1)})=0.704442...$

và nghịch đảo của nó Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{1}{p^2+p-1})=1.419562...$

• Hằng số vô tâm mạnh Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{3p-2}{p^3})=0.286747...$

• Hằng số vô tâm mạnh Bản mẫu:Math Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{{(p+1)}^2})=0.775883...$

• Hằng số Stephens Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{p}{p^3-1})=0.575959...$

• Hằng số Barban Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{3p^2-1}{p(p+1)(p^2-1)})=2.596536...$

• Hằng số Taniguchi Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{3}{p^3}+\frac{2}{p^4}+\frac{1}{p^5}-\frac{1}{p^6})=0.678234...$

• Hằng số của Heath-Brown và Moroz Bản mẫu:OEIS2C:

$\prod _p{(1-\frac{1}{p})}^7(1+\frac{7p+1}{p^2})=0.0013176...$

Tham khảo

• G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
• Bản mẫu:Apostol IANT (Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)
• G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) Bản mẫu:Isbn (Chapter 17 gives further examples.)
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), Bản mẫu:Isbn
• G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:PlanetMath attribution
• Bản mẫu:Eom
• Bản mẫu:Mathworld
• Bản mẫu:Chú thích web