Đa thức Jacobi

Đa thức Jacobi là một họ các đa thức trực giao định nghĩa trên đoạn [-1,1] và trực giao với tích vô hướng sau đây $(u,v):=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}u(x)v(x)(1-x{)}^{\alpha }(1-x{)}^{\beta },$ trong đó $\alpha$ và $\beta$ là 2 số dương cho trước.

Đa thức Jacobi có thể được viết dưới dạng

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _s{[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!]}^{-1}{\left(\frac{x-1}{2}\right)}^{n-s}{\left(\frac{x+1}{2}\right)}^s.$

Tổng trên chỉ số $s$ mở rộng ra các giá trị tự nhiên mà tham số trong giai thừa là không âm.