Bất đẳng thức Schur

Bản mẫu:Mồ côi Bất đẳng thức Schur được phát biểu như sau:

Cho $a,b,c,t$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $\sum _{cyc}{a}^t(a-b)(a-c)⩾0.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng $0$

Ngoài ra khi $t$ là một số nguyên dương chẵn thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực $a,b,c$

Chứng minh

Do vai trò của $a,b,c$ trong bài toán này là đối xứng nên không mất tính tổng quát, ta giả sử $a⩾b⩾c$.

Trường hợp $t\ge 0$, biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:

$(a-b)[a^t(a-c)-b^t(b-c)]+c^t(c-a)(c-b)⩾0$

Điều trên hiển nhiên đúng vì mọi số hạng của vế trái đều không âm.

Trường hợp $t<0$, tương tự:

$(b-c)[c^t(a-c)-b^t(a-b)]+a^t(a-b)(a-c)⩾0$

Chứng minh đặc biệt với trường hợp $r=1$ thì:

Xét trường hợp $b=0,c=0$ thì bất đẳng thức đã cho tương đương với: $a^3⩾0$ hay $a⩾0$ (hiển nhiên đúng!)

Xét trường hợp $b+c>0$ và biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được:

$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)=\frac{{(a-b)}^{2}ab+{(a-c)}^{2}ac+{(b-c)}^2{(a-b-c)}^2}{b+c}⩾0$

Mở rộng

Tổng quát hóa bất đẳng thức Schur: Với $x,y,z$ là các số thực không âm, khi đó với $x⩾y⩾z$ và $a⩾b⩾c$ thì:

$x(a-b)(a-c)+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b)⩾0$

Tham khảo

Bản mẫu:Tham khảoDiễn đàn toán học VMF

Diễn đàn AoPSBản mẫu:Sơ khai