Kiểm tra Proth

Trong toán học, định lý Proth là một phương pháp kiểm tra tính nguyên tố dùng cho các số Proth.

Cho p là một số Proth, dạng k2ⁿ + 1 với k lẻ và k < 2ⁿ, khi đó nếu có số nguyên a nào đó sao cho

a^{(p - 1) / 2} \equiv - 1 (\mod p)

Ví dụ

Bảy số nguyên Proth đầu tiên là

P₀ = 2¹ + 1 = 3

P₁ = 2² + 1 = 5

P₂ = 2³ + 1 = 9

P₃ = 3 × 2² + 1 = 13

P₄ = 2⁴ + 1 = 17

P₅ = 3 × 2³ + 1 = 25

P₆ = 2⁵ + 1 = 33

Ta có:

với p = 3,lấy a = 2 ta có 2¹ = 2 $\equiv - 1 (\mod 3)$ , nên 3 là số nguyên tố.
với p = 5,lấy a = 3 ta có 3² = 9 $\equiv - 1 (\mod 5)$ , nên 5 là số nguyên tố.
với p = 13,lấy a = 5 ta có 5⁶ = 15626 $\equiv - 1 (\mod 13)$ , nên 13 là số nguyên tố.
với p = 9, không có số a nào cho ta a⁴ $\equiv - 1 (\mod 9)$ , nên 9 không là số nguyên tố.

François Proth (1852 - 1879) tìm ra định lý này khoảng vào năm 1878.