Phép chuyển cơ sở

Bản mẫu:DistinguishBản mẫu:More citations neededBản mẫu:Multiple image Trong toán học, một cơ sở có thứ tự của một không gian vectơ hữu hạn chiều Bản mẫu:Mvar cho phép biểu diễn duy nhất một phần tử bất kỳ trong không gian vectơ bởi một vectơ tọa độ, tức là một dãy có thứ tự gồm Bản mẫu:Mvar vô hướng xác định gọi là các tọa độ. Nếu phải xét hai cơ sở khác nhau, tọa độ biểu diễn cho một vectơ Bản mẫu:Mvar trong một cơ sở nói chung là khác với tọa độ biểu diễn cho cùng vectơ Bản mẫu:Mvar đó trong cơ sở kia. Một phép chuyển cơ sở là sự chuyển đổi mỗi một khẳng định được diễn đạt qua các tọa độ đối với một cơ sở thành một khẳng định được diễn đạt qua các tọa độ đối với cơ sở kia.

Một sự chuyển đổi như vậy là kết quả của việc áp dụng công thức chuyển cơ sở, tức là công thức biểu diễn tọa độ đối với một cơ sở theo các tọa độ đối với cơ sở kia. Sử dụng ma trận, công thức này có thể được viết như sau

${𝐱}_{\text{cũ}}=A{𝐱}_{\text{mới}},$

trong đó các từ "cũ" và "mới" tương ứng chỉ cơ sở được xác định ban đầu và cơ sở kia, ${𝐱}_{\text{cũ}}$ và ${𝐱}_{\text{mới}}$ là các vectơ cột biểu diễn tọa độ của cùng một vectơ Bản mẫu:Mvar trong hai cơ sở, và $A$ được gọi là ma trận chuyển cơ sở (còn gọi là ma trận chuyển tiếp), là ma trận mà các cột của nó là các vectơ tọa độ của các vectơ cơ sở mới trong cơ sở cũ.

Bài viết này chủ yếu xét các không gian vectơ hữu hạn chiều. Tuy nhiên, nhiều kết quả dưới đây vẫn đúng với các không gian vectơ vô hạn chiều.

Công thức chuyển cơ sở

Cho $B_{\text{cũ}}=(v_1,\dots ,v_n)$ là một cơ sở của không gian vectơ hữu hạn chiều Bản mẫu:Mvar trên trường Bản mẫu:Mvar.Bản mẫu:Efn

Với mỗi Bản mẫu:Math, ta có thể xác định một vectơ Bản mẫu:Math bất kỳ bởi các tọa độ của nó $a_{i,j}$ đối với cơ sở $B_{\text{cũ}}:$

$w_j=\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{v}_i.$

Cho

$A={\left(a_{i,j}\right)}_{i,j}$

là ma trận mà cột thứ Bản mẫu:Mvar là vectơ tọa độ của Bản mẫu:Math. (Từ đây về sau, chỉ số Bản mẫu:Mvar luôn để chỉ các hàng của Bản mẫu:Mvar và các vectơ $v_i,$ còn chỉ số Bản mẫu:Mvar để chỉ các cột của của Bản mẫu:Mvar và $w_j;$ quy ước này nhằm tránh nhầm lẫn trong tính toán tường minh.)

Đặt $B_{\text{mới}}=(w_1,\dots ,w_n),$ ta có $B_{\text{mới}}$ là cơ sở của Bản mẫu:Mvar khi và chỉ khi ma trận Bản mẫu:Mvar là khả nghịch, hay nói một cách tương đương là nó có định thức khác 0. Trong trường hợp này, Bản mẫu:Mvar được gọi là ma trận chuyển cơ sở, từ cơ sở $B_{\text{cũ}}$ đến cơ sở $B_{\text{mới}}$.

Cho trước một vectơ $z\in V,$ ta có $(x_1,\dots ,x_n)$ là tọa độ của nó đổi với $B_{\text{cũ}}$, và $(y_1,\dots ,y_n)$ là tọa độ của nó đối với $B_{\text{mới}}$; tức là:

$z=\sum _{i=1}^n{x}_i{v}_i=\sum _{j=1}^n{y}_j{w}_j.$

(Ta có thể chọn biến chỉ số lấy tổng giống nhau ở cả hai tổng trên, nhưng việc chọn hai biến chỉ số phân biệt: Bản mẫu:Mvar cho cơ sở cũ, và Bản mẫu:Mvar cho cơ sở mới, nhằm làm rõ ràng hơn các công thức suy ra từ đó, và để tránh nhầm lẫn trong chứng minh và tính toán.)

Công thức chuyển cơ sở liên hệ tọa độ đối với cơ sở cũ với tọa độ đối với cơ sở mới. Với cách ký hiệu như trên, nó là

$x_i=\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{y}_j\text{với }i=1,\dots ,n.$

Dưới dạng ma trận, công thức chuyển đổi cơ sở có thể viết là

$𝐱=A𝐲,$

trong đó $𝐱$ và $𝐲$ là các ma trận cột gồm các tọa độ của Bản mẫu:Mvar trong các cơ sở tương ứng $B_{\text{cũ}}:$ và $B_{\text{mới}}.$

Chứng minh: Sử dụng định nghĩa trên của ma trận chuyển cơ sở, ta có

$\begin{array}{cc}z& =\sum _{j=1}^n{y}_j{w}_j\\ & =\sum _{j=1}^n\left(y_j\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{v}_i\right)\\ & =\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{y}_j\right)v_i.\end{array}$

Bởi $z={\sum }_{i=1}^n{x}_i{v}_i,$ công thức chuyển cơ sở là kết quả của sự phân tích duy nhất một vectơ trên một cơ sở.

Phép chuyển cơ sở cũng là một biến đổi tuyến tính, biểu diễn bởi ma trận chuyển cơ sở.

Ví dụ

Xét không gian vectơ Euclid ${ℝ}^2.$ Cơ sở chính tắc của không gian này bao gồm hai vectơ $v_1=(1,0)$ và $v_2=(0,1).$ Nếu ta quay hai vectơ này một góc Bản mẫu:Mvar, ta có cơ sở mới gồm các vectơ $w_1=(\cos t,\sin t)$ và $w_2=(-\sin t,\cos t).$

Vì vậy, ma trận chuyển cơ sở là $\left[\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right].$

Công thức chuyển cơ sở khẳng định rằng, nếu $y_1,y_2$ là các tọa độ mới của một vectơ $(x_1,x_2),$ thì ta có

$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right].$

Tức là,

$x_1=y_1\cos t-y_2\sin t\text{và}{x}_2=y_1\sin t+y_2\cos t.$

Có thể kiểm tra điều này bằng cách viết lại

$\begin{array}{cc}{x}_1{v}_1+x_2{v}_2& =(y_1\cos t-y_2\sin t)v_1+(y_1\sin t+y_2\cos t)v_2\\ & =y_1(\cos (t)v_1+\sin (t)v_2)+y_2(-\sin (t)v_1+\cos (t)v_2)\\ & =y_1{w}_1+y_2{w}_2.\end{array}$

Biến đổi tuyến tính

Xét biến đổi tuyến tính Bản mẫu:Math từ một không gian vectơ Bản mẫu:Mvar có số chiều Bản mẫu:Mvar vào một không gian vectơ Bản mẫu:Mvar có số chiều Bản mẫu:Mvar. Ma trận biểu diễn cho biến đổi này đối với các cơ sở "cũ" của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là một ma trận Bản mẫu:Mvar cỡ Bản mẫu:Math. Phép chuyển cơ sở trong không gian Bản mẫu:Mvar được xác định bởi ma trận chuyển cơ sở Bản mẫu:Mvar cỡ Bản mẫu:Math, và trong không gian Bản mẫu:Mvar thì ma trận chuyển cơ sở là Bản mẫu:Mvar cỡ Bản mẫu:Math.

Đối với các cơ sở "mới", ma trận của biến đổi Bản mẫu:Mvar là

$P^{-1}MQ.$

Đây là một hệ quả đơn giản của công thức chuyển cơ sở.

Tự đồng cấu

Tự đồng cấu tuyến tính là các biến đổi tuyến tính từ một không gian vectơ Bản mẫu:Mvar vào chính nó. Đối với phép chuyển cơ sở với tự đồng cấu, công thức ở mục trước vẫn được áp dụng, nhưng ở trường hợp này ma trận chuyển cơ sở là giống nhau. Tức là, nếu Bản mẫu:Mvar là một ma trận vuông biểu diễn cho một tự đồng cấu trên Bản mẫu:Mvar đối với một cơ sở "cũ", còn Bản mẫu:Mvar là ma trận chuyển cơ sở, thì ma trận của tự đồng cấu đối với cơ sở "mới" là

$P^{-1}MP.$

Bởi vì mọi ma trận khả nghịch đều có thể được dùng làm ma trận chuyển cơ sở, từ điều này suy ra hai ma trận là đồng dạng khi và chỉ khi chúng biểu diễn cho cùng một tự đồng cấu đối với hai cơ sở khác nhau.

Dạng song tuyến tính

Một dạng song tuyến tính trên một không gian vectơ V trên một trường Bản mẫu:Mvar là một hàm Bản mẫu:Math mà nó tuyến tính đối với cả hai đối số. Tức là Bản mẫu:Math là song tuyến tính nếu các ánh xạ $v\mapsto B(v,w)$ và $v\mapsto B(w,v)$ là tuyến tính với $w\in V$ được giữ cố định.

Ma trận Bản mẫu:Math của dạng song tuyến tính Bản mẫu:Mvar trên một cơ sở $(v_1,\dots ,v_n)$ (gọi là cơ sở "cũ") là ma trận mà phần tử ở hàng Bản mẫu:Mvar và cột Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Math. Điều này suy ra rằng nếu Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là các ma trận cột gồm tọa độ của hai vectơ Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar, ta có

$B(v,w)={𝐯}^{𝖳}𝐁𝐰,$

trong đó ${𝐯}^{𝖳}$ký hiệu chuyển vị của ma trận Bản mẫu:Math.

Nếu Bản mẫu:Mvar là ma trận chuyển cơ sở, thì ma trận của dạng song tuyến tính đối với cơ sở mới là

$P^{𝖳}𝐁P.$

Một dạng song tuyến tính đối xứng là dạng song tuyến tính Bản mẫu:Mvar sao cho $B(v,w)=B(w,v)$ đối với mọi vectơ Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Mvar. Theo đó ta có ma trận của Bản mẫu:Mvar là ma trận đối xứng đối với mọi cơ sở. Có thể suy ra từ đây rằng thuộc tính đối xứng của ma trận phải được bảo toàn bởi phép chuyển cơ sở. Ta có thể tính toán để kiểm chứng điều này, nhớ rằng chuyển vị của tích ma trận bằng tích các chuyển vị theo thứ tự ngược lại, cụ thể:

$(P^{𝖳}𝐁P{)}^{𝖳}=P^{𝖳}{𝐁}^{𝖳}P,$

và hai vế của phương trình này đều bằng $P^{𝖳}𝐁P$ nếu ma trận Bản mẫu:Math là đối xứng.

Nếu đặc số của trường nền Bản mẫu:Mvar không phải là 2, thì đối với mỗi dạng song tuyến tính đối xứng tồn tại một cơ sở mà ở đó ma trận của nó là ma trận đường chéo. Hơn nữa, các phần tử khác 0 trên đường chéo được xác định bởi phép nhân với ma trận vuông. Vì thế nếu trường nền là trường số thực $ℝ$, các phần tử khác 0 này có thể được chọn là Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math. Định lý quán tính Sylvester khẳng định rằng số các số Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math chỉ phụ thuộc vào dạng song tuyến tính và không phụ thuộc chuyển cơ sở.

Dạng song tuyến tính đối xứng trên các số thực thường gặp trong hình học và vật lý, cụ thể là trong nghiên cứu về các mặt bậc hai và quán tính của một vật rắn. Trong các trường hợp này, sử dụng cơ sở trực chuẩn là hữu ích; điều này có nghĩa là ta thường muốn giới hạn thực hiện các phép chuyển cơ sở có ma trận chuyển cơ sở là trực giao, tức là ma trận sao cho $P^{𝖳}=P^{-1}.$ Các ma trận như vậy có tính chất cơ bản là các công thức chuyển cơ sở là giống nhau đối với một dạng song tuyến tính đối xứng và tự đồng cấu được biểu diễn bởi cùng một ma trận đối xứng. Định lý phổ khẳng định rằng, cho một ma trận đối xứng như vậy, tồn tại một phép chuyển cơ sở trực giao sao cho ma trận kết quả (của cả dạng song tuyến tính và tự đồng cấu) là một ma trận đường chéo với các giá trị riêng của ma trận ban đầu nằm trên đường chéo. Một hệ quả là trên trường số thực, nếu ma trận của một tự đồng cấu là đối xứng thì nó là chéo hóa được.

Xem thêm

• Biến đổi tích phân
• Ma trận chéo hóa được

Tham khảo sách

• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation

Liên kết ngoài

• MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis, from MIT OpenCourseWare
• Khan Academy Lecture on Change of Basis, from Khan Academy