Phương trình đường thẳng

Một số khái niệm

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với $k\ne 0$, vectơ $k\overrightarrow{u}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với $k\ne 0$, vectơ $k\overrightarrow{n}$ cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(a,b)$ thì có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(-b,a)$ hay $\overrightarrow{n}=(b,-a)$. Ngược lại, đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a,b)$ thì có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a}=(-b,a)$ hay $\overrightarrow{a}=(b,-a)$

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đường thẳng $d$ có vectơ $\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$ và vectơ $\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$ là 2 vectơ pháp tuyến không cùng phương thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa $\overrightarrow{n_1}$ với $\overrightarrow{n_2}$ hoặc giữa $\overrightarrow{n_2}$ với $\overrightarrow{n_1}$.

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Dạng tham số

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(x_0,y_0)$ và nhận $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của $d$ là$\{\begin{array}{c}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\end{array}$ với $t$ được gọi là tham số. Với mỗi giá trị $t\in R$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu $u_1\ne 0$ và $u_2\ne 0$, từ phương trình tham số ta khử tham số $t$, ta được phương trình chính tắc $\frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}$.

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc.

Dạng tổng quát

Phương trình $ax+by+c=0$ với $a^2+b^2\ne 0$ được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó $\overrightarrow{n}=(a,b)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệt

Đường thẳng $by+c=0$ $(a=0)$ vuông góc với trục $Oy$ tại điểm $A(0;-\frac{c}{b})$.

Đường thẳng $ax+c=0$ $(b=0)$ vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $B(-\frac{c}{a};0)$.

Đường thẳng $ax+by=0$ $(c=0)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$.

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn

Đường thẳng đi qua 2 điểm $A(x_0;0)$ ($x_0\ne 0$) và $B(0;y_0)$ ($y_0\ne 0$) thì có thể được viết dưới dạng phương trình $\frac{x}{x_0}+\frac{y}{y_0}=1$.

Hệ số góc của đường thẳng

Cho đường thẳng $d$ cắt trục $Ox$ tại $M$ và tia $Mt$ là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục $Ox$ mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia $Mt$ hợp với tia $Mx$ một góc $\alpha$. Đặt $k=\tan \alpha$, khi đó $k$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng $d$.

Đường thẳng có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)$ thì có hệ số góc $k=\frac{u_2}{u_1}$.

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a,b)$ thì có hệ số góc $k=-\frac{a}{b}$.

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là $-1$.

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho 2 đường thẳng: $(D)$ $Ax+By+C=0$ và $(d)$ $ax+by+c=0$.

$(D)$ cắt $(d)$ $\iff$ $\frac{A}{a}\ne \frac{B}{b}$ khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{c}Ax+By+C=0\\ ax+by+c=0\end{array}$

$(D)$ $//$ $(d)$$\iff$ $\frac{A}{a}=\frac{B}{b}\ne \frac{C}{c}$

$(D)$ $\equiv$ $(d)$$\iff$$A:B:C=a:b:c$

Góc giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng $(D)$ và $(d)$ cắt nhau tại điểm $M$. Gọi $\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1)$ là vectơ pháp tuyến của $(D)$ và $\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2)$ là vectơ pháp tuyến của $(d)$. Gọi $\alpha$ là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó:

$\cos \alpha =\frac{|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2|}{\sqrt{(A_1^2+B_1^2)(A_2^2+B_2^2)}}$

2 đường thẳng vuông góc thì $\alpha =90^{\circ }$.

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì $\alpha =0^{\circ }$.

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương.

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ $ax+by+c=0$ và $M(x_0,y_0)\in ̸(d)$, khoảng cách từ điểm $M$ đến $(d)$ được tính theo công thức $d(M,d)=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ $ax+by+c=0$ và 2 điểm $M(x_M,y_M)$, $N(x_N,y_N)$ không nằm trên $(d)$. Xét các biểu thức $m=a{x}_M+b{y}_M+c$ và $n=a{x}_N+b{y}_N+c$, khi đó $M$ và $N$ nằm cùng phía với $(d)$ khi $m$ và $n$ cùng dấu, khác phía khi $m$ và $n$ trái dấu.

Phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng tham số

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(x_0,y_0,z_0)$ và nhận $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của $d$ là $\{\begin{array}{c}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\\ z=z_0+u_{3}t\end{array}$ với $t$ được gọi là tham số. Với mỗi giá trị $t\in R$ ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc

Nếu cả $u_1$, $u_2$, $u_3$ đều khác $0$, từ phương trình tham số ta khử tham số $t$, ta được phương trình chính tắc: $\frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}=\frac{z-z_0}{u_3}$

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ và $(d^{\prime })$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime }}=(u{\text{'}}_1,u{\text{'}}_2,u{\text{'}}_3)$. Gọi $M(x,y,z)$ là một điểm nằm trên $(d)$ và $M^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ là một điểm nằm trên $(d^{\prime })$. Ta có:

$(d)\equiv (d^{\prime })$ $\iff$ $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}]=[\overrightarrow{u},\overrightarrow{M{M}^{\prime }}]=\overrightarrow{0}$

$(d)//(d^{\prime })$ $\iff$ $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}]=\overrightarrow{0}$ và $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{M{M}^{\prime }}]\ne \overrightarrow{0}$

$(d)$ cắt $(d^{\prime })$ $\iff$ $\{\begin{array}{c}[\overrightarrow{u};\overrightarrow{u^{\prime }}]\ne \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{M{M}^{\prime }}.[\overrightarrow{u};\overrightarrow{u^{\prime }}]=0\end{array}$

$(d)$ và $(d^{\prime })$ chéo nhau $\iff$$\overrightarrow{M{M}^{\prime }}.[\overrightarrow{u};\overrightarrow{u^{\prime }}]\ne 0$

Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M_0$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến $(d)$ là $d[M,(d)]=\frac{|[\overrightarrow{M_{0}M},\overrightarrow{u}]|}{\left|\overrightarrow{u}\right|}$

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Cho 2 đường thẳng chéo nhau $(d)$ và $(d^{\prime })$. Đường thẳng $(d)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2,u_3)$ và đường thẳng $(d^{\prime })$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u^{\prime }}=(u{\text{'}}_1,u{\text{'}}_2,u{\text{'}}_3)$. Gọi $M(x,y,z)$ là một điểm nằm trên $(d)$ và $M^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ là một điểm nằm trên $(d^{\prime })$. Khi đó khoảng cách giữa $(d)$ và $(d^{\prime })$ là

$d[(d),(d^{\prime })]=\frac{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}].\overrightarrow{M{M}^{\prime }}|}{|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}]|}$

Xem thêm

Đường thẳng

Liên kết ngoài

1. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
2. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
3. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12
4. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao