Phỏng cầu

Phỏng cầu quay theo trục của nó

phỏng cầu dẹt		phỏng cầu dài

Hình phỏng cầu (Tiếng Anh: Spheroid), hoặc hình tựa cầu, là một bề mặt bậc hai thu được khi quay hình elíp xung quanh một trục của nó. Một hình phỏng cầu có đối xứng tròn.

Nếu hình elíp xoay quanh trục lớn của nó, kết quả thu được là hình phỏng cầu dài, hình dạng giống như quả bóng trong bóng bầu dục Mỹ hoặc bóng rugby. Nếu hình elíp quay quanh trục nhỏ của nó, kết quả thu được là phỏng cầu dẹt, hình dạng giống như thiết đậu. Nếu hình elíp là hình tròn, kết quả thu được là hình cầu.

Bởi vì sự ảnh hưởng của trọng lực và sự quay của Trái Đất, nên hình dạng của Trái Đất (và cũng như tất cả hành tinh) không phải là hình cầu, mà là hình cầu dẹt. Vì lý do này, trong bản đồ học Trái Đất thường xuất hiện ở dạng hình cầu dẹt thay vì là hình cầu. Hình mẫu của hệ quy chiếu thế giới sử dụng một hình cầu có bán kính là Bản mẫu:Cvt tại xích đạo và Bản mẫu:Cvt tại cực địa lý.

Từ phỏng cầu có nghĩa là "gần giống như một hình cầu".

Công thức

Các bán trục của phỏng cầu. Nó là phỏng cầu dẹt nếu Bản mẫu:Math (trái) và phỏng cầu dài nếu Bản mẫu:Math (phải).

Công thức của hệ ba trục với ba bán trục Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Mvar and Bản mẫu:Mvar theo hệ tọa độ trục là

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Công thức của phỏng cầu với Bản mẫu:Mvar là trục đối xứng được cho bởi dữ kiện Bản mẫu:Math:

$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$

Bán trục Bản mẫu:Mvar là bán kính xích đạo của phỏng cầu, và bán trục Bản mẫu:Mvar là khoảng cách từ tâm đến cực theo trục đối xứng. Có hai trường hợp xảy ra:

• Bản mẫu:Math: phỏng cầu dẹt
• Bản mẫu:Math: phỏng cầu dài

Trường hợp Bản mẫu:Math trở thành hình cầu.

Thông số

Diện tích

Phỏng cầu dẹt (oblate) Bản mẫu:Math có diện tích bề mặt

$S_{\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}=2\pi a^2(1+\frac{1-e^2}{e}\text{artanh}e)=2\pi a^2+\pi \frac{c^2}{e}\ln \left(\frac{1+e}{1-e}\right)\text{khi}{e}^2=1-\frac{c^2}{a^2}.$

Phỏng cầu dẹt được hình thành khi xoay quanh trục Bản mẫu:Mvar của một hình elíp với bán trục lớn Bản mẫu:Mvar và bán trục nhỏ Bản mẫu:Mvar, vì vậy Bản mẫu:Mvar có thể được xác định là độ lệch tâm. (Xem elíp.)

Phỏng cầu dài (prolate) Bản mẫu:Math có diện tích bề mặt

$S_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}}=2\pi a^2(1+\frac{c}{ae}\arcsin e)\text{khi}{e}^2=1-\frac{a^2}{c^2}.$

Phỏng cầu dài được hình thành khi xoay quanh trục Bản mẫu:Mvar của hình elíp với bán trục lớn Bản mẫu:Mvar và bán trục nhỏ Bản mẫu:Mvar; vì vậy, Bản mẫu:Mvar cũng được xác định là độ lệch tâm. (Xem elíp.)

Những công thức này có tính giống nhau khi Bản mẫu:Math có thể được dùng để tính diện tích bề mặt cho phỏng cầu dài và ngược lại. Tuy nhiên, Bản mẫu:Mvar sẽ trở thành số ảo và không được xác định là độ lệch tâm. Cả hai kết quả này sẽ trở thành một dạng khác khi dùng các hằng đẳng thức và quan hệ giữa các thông số của hình elíp.

Thể tích

Thể tích của một phỏng cầu (của bất kỳ dạng nào) là $\frac{4\pi }{3}{a}^{2}c\approx 4.19a^{2}c$. Nếu $A=2a$ là đường kính xích đạo, và $C=2c$ là đường kính cực, Thể tích là $\frac{\pi }{6}{A}^{2}C\approx 0.523A^{2}C$.

Độ cong

Nếu phỏng cầu được cho bởi thông số là

$\overrightarrow{\sigma }(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta );$

khi Bản mẫu:Mvar là vĩ độ giảm, Bản mẫu:Mvar là kinh độ, với Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, vậy độ cong Gauss là

$K(\beta ,\lambda )=\frac{c^2}{{(a^2+(c^2-a^2){\cos }^2\beta )}^2};$

và độ cong trung bình là

$H(\beta ,\lambda )=\frac{c(2a^2+(c^2-a^2){\cos }^2\beta )}{2a{(a^2+(c^2-a^2){\cos }^2\beta )}^{\frac{3}{2}}}.$

Cả hai độ cong này đều là dương, nên mỗi điểm trên phỏng cầu đều nằm trên một đường elíp.

Tỉ lệ khung hình

Tỉ lệ khung hình của một phỏng cầu dẹt, Bản mẫu:Math, là tỉ lệ của độ dài cực và độ dài xích đạo, trong khi tỉ lệ hình cầu dẹt Bản mẫu:Mvar, là tỉ lệ của độ dài xích đạo trừ độ dài cực và độ dài xích đạo:

$f=\frac{a-b}{a}=1-\frac{b}{a}.$

Độ lệch tâm đầu tiên thường được dùng thay vì tỉ lệ hình cầu dẹt. Nó được định nghĩa là:

$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$

Quan hệ giữa độ lệch tâm và tỉ lệ hình cầu dẹt là:

$e=\sqrt{2f-f^2}$,

$f=1-\sqrt{1-e^2}$