Định lý Lagrange (lý thuyết số)

Trong Lý thuyết số, định lý Lagrange khẳng định:

Nếu p là số nguyên tố và f(x) là một đa thức với hệ số nguyên thuộc trường $\mathbb{Z}/p$ có bậc là n và không đồng nhất với không (nghĩa là có ít nhất một hệ số không chia hết cho p), thì phương trình $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ có không quá n nghiệm trong trường $\mathbb{Z}/p$.

Nếu p không phải là số nguyên tố thì có thể có nhiều hơn n nghiệm.

Định lý được đặt theo tên của Joseph-Louis Lagrange.

Một chứng minh của định lý Lagrange

Ta chứng minh quy nạp theo n.

Định lý hiển nhiên đúng với n=0.

Giả sử định lý đúng với n=k, xét đa thức không đồng nhất với không $f(x)=\sum _{i=0}^{k+1}{a}_i{x}^i$, deg(f) = k + 1, với m nghiệm.

Không mất tính tổng quát giả sử m>0, vậy tồn tại r sao cho $f(r)=0$.

Khi đó, $f(x)=f(x)-f(r)=\sum _{i=0}^{k+1}{a}_i(x^i-r^i)=(x-r)g(x)$, với g là đa thức có bậc nhỏ thua k+1. Rõ ràng, $g(x)$ không đồng nhất với không, do đó $g(x)$ có không quá k nghiệm. Kết hợp với $(x-r)$ có đúng một nghiệm, suy ra $f(x)$ có không quá k+1 nghiệm.

Suy ra điều phải chứng minh.