Định lý cơ bản của các nhóm cyclic

Bản mẫu:Chú thích trong bài Trong đại số trừu tượng, định lý cơ bản về nhóm cyclic khẳng định rằng nếu G là một nhóm cyclic cấp n thì mọi nhóm con của G cũng là cyclic. Hơn nữa, cấp của các nhóm con của G là một ước của n và với mỗi ước dương k của n nhóm G có đúng một nhóm con cấp k.

Chứng minh

Giả sử $G=⟨a⟩$ là một nhóm cyclic sinh bởi phần tử $a\in G$. Giả sử $H$ là nhóm con của $G$. Ta sẽ chứng tỏ rằng $H$ là cyclic. Nếu $H=\{e\}$ thì $H=⟨e⟩$. Nếu $H\ne \{e\}$ thì vì $G$ là cyclic nên mọi phần tử trong $H$ có dạng lũy thừa $a^t$, trong đó $t$ là số nguyên dương. Đặt $m$ là số nguyên dương nhỏ nhất mà $a^m\in H$.

Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng $H=⟨a^m⟩$. Từ tính chất đống của nhóm con rút ra rằng $⟨a^m⟩\subseteq H$.

Để chứng tỏ $H\subseteq ⟨a^m⟩$ chúng ta giả sử $b\in H$. Vì $b\in G$ ta có $b=a^k$ với một số nguyên dương nào đó $k$. Theo thuật toán chia, $k=mq+r$ với $0\le r<m$, và do đó $a^k=a^{mq+r}=a^{mq}{a}^r$, từ đó $a^r=a^{-mq}{a}^k$. Bây giờ vì $a^k\in H$ và $a^{-mq}=(a^m{)}^{-q}\in H$, nên $a^r\in H$. Nhưng $m$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^m\in H$ và $0\le r<m$, nên $r=0$ và do đó $b=a^k=a^{mq}=(a^m{)}^q\in ⟨a^m⟩$. Như vậy $H\subseteq ⟨a^m⟩$.

Vì $H\subseteq ⟨a^m⟩$ và $⟨a^m⟩\subseteq H$ nên $H=⟨a^m⟩$ và như vậy $H$ là cyclic.

Bây giờ, chúng ta chứng tỏ rằng cấp của nhóm con bất kỳ của $G$ là một ước của $n$. Giả sử $H$ là một nhóm con bất kỳ của $G$. Ta luôn có thể viết $H=⟨a^m⟩$, trong đó m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho $a^m\in H$. Vì $e=a^n=a^m$ nên $n=mq$ với số nguyên $q$ nào đó. Như vậy $m|n$.

Chúng ta sẽ chứng minh phần cuối của định lý. Giả sử $k$ là một ước nguyên dương của $n$. Ta sẽ chứng tỏ rằng $⟨a^{n/k}⟩$ và chỉ nó là nhóm con $⟨a⟩$ cấp $k$. Chú ý rằng $⟨a^{n/k}⟩$ có cấp $\frac{n}{gcd(n,\frac{n}{k})}=\frac{n}{\frac{n}{k}}=k$. Đặt $H$ là nhóm con bất kỳ của $⟨a⟩$ có cấp $k$. Ta biết rằng $H=⟨a⟩$, trong đó $m$ là ước của $n$. Như vây $m=gcd(n,m)$ and $k=|<a^m>|=|a^m|=|a^{gcd(n,m)}|=\frac{n}{gcd(n,m)}=\frac{n}{m}$. Từ đó $m=\frac{n}{k}$ và như vậy $H=⟨a^{\frac{n}{k}}⟩$. Định lý đã được chứng minh.

Bổ sung

Giả sử $G=<a>$ là một nhóm cyclic, và $H$ là một nhóm con của $G$. Ta xác định một ánh xạ $\varphi :\mathbb{Z}\to G$ nhờ $\varphi (n)=a^n$. Vì $G$ là cyclic sinh bởi $a$, nên $\varphi$ là toàn ánh. Đặt $K={\varphi }^{-1}(H)\subseteq \mathbb{Z}$. $K$ là nhóm con của $\mathbb{Z}$. Vì $\varphi$ là toán ánh, nên thu hẹp của $\varphi$ trên $K$ xác định một toàn cấu từ $K$ lên $H$, và do đó $H$ là đẳng cấu với một nhóm thương của $K$. Vì $K$ là một nhóm con của $\mathbb{Z}$, $K$ là $n\mathbb{Z}$ với số nguyên $n$ nào đó. Nếu $n=0$, thì $K=0$, từ đó $H=0$, là nhóm cyclic. Nếu khác đi, $K$ đẳng cấu với $\mathbb{Z}$. Do đó $H$ là đẳng cấu với một thương của $\mathbb{Z}$, và chắc chắn là cyclic.

Xem thêm

• Nhóm cyclic