Xem mã nguồn của Đẳng cấu thăng giáng (hình học Riemann)

{{Orphan|date=tháng 8 năm 2020}}

Trong [[hình học vi phân]], '''đẳng cấu thăng giáng''' là một [[Phép đẳng cấu|đẳng cấu]] giữa [[Phân thớ tiếp tuyến|phân thớ tiếp xúc]] <math>\mathrm{T}M</math> và phân thớ đối tiếp xúc <math>\mathrm{T}^* M</math> của một đa tạp Riemann, cảm sinh bởi tenxơ metric.

== Định nghĩa ==
Xét một đa tạp Riemann {{Math|(''M'', ''g'')}}.

Cho trước một [[Trường véc tơ|trường vectơ]] <math>X\in TM</math>, ta xác định ''giáng'' của nó, là một nhát cắt <math>X^\flat</math> của phần thớ đối tiếp xúc <math>T^*M</math>(hay một trường đối véc-tơ), bởi

:

: <math>X^\flat_p (Y_p) = \langle X_p, Y_p \rangle</math>

với mọi <math>p\in M</math> và mọi trường véc-tơ {{Mvar|Y}}. Đẳng cấu này gán cho phân thớ <math>T^*M</math> một tích vô hướng.<ref>Warner (1971), 4.10 Integration on Riemannian Manifold, tr. 149</ref>

Tương tự, với một trường [[Phiếm hàm tuyến tính|đối véc-tơ]] {{Math|''ω''}}, ta định nghĩa ''thăng'' của nó, <math>\omega^\sharp</math>, là trường véc-tơ duy nhất thỏa mãn

:

: <math>\bigl \langle \omega^\sharp_p, Y_p \bigr \rangle = \omega_p(Y_p),</math>

với mọi <math>p\in M</math> và mọi trường véc-tơ {{Mvar|Y}}.

Ta có hai đẳng cấu là [[Hàm ngược|nghịch đảo]] của nhau

: <math> \flat:{\rm T} M \to {\rm T}^* M, \qquad \sharp:{\rm T}^* M \to {\rm T} M.</math>

=== Nâng hạ chỉ số ===
Sử dụng các ký hiệu nâng hạ chỉ số Einstein, với một trường mục tiêu địa phương <math>e_1,\dots, e_n</math> (và trường đối mục tiêu tương ứng <math>e^1,\dots,e^n</math> thỏa mãn <math>e^i(e_j)=\delta^i_j</math>), ta có:

: <math> X^\flat:= g_{ij} X^i \, \mathbf{e}^j=X_j \, \mathbf{e}^j.</math>
: <math>\omega^\sharp:= g^{ij} \omega_i \mathbf{e}_j = \omega^j \mathbf{e}_j,</math>

== Chú thích ==
{{tham khảo}}

== Tham khảo ==

* Berger, Marcel (2003). ''A Panoramic View of Riemannian Geometry'', tr. 696
* {{Chú thích sách|title=Introduction to Smooth manifolds|last=Lee|first=J. M.|publisher=|year=2003|isbn=0-387-95448-1|series=Springer Graduate Texts in Mathematics|volume=218}}
* {{Chú thích sách|title=Riemannian Manifolds &ndash; An Introduction to Curvature|last=Lee|first=J. M.|publisher=Springer Verlag|year=1997|isbn=978-0-387-98322-6|series=Springer Graduate Texts in Mathematics|volume=176|location=New York · Berlin · Heidelberg}}
* {{Chú thích sách|title=An Introduction to Clifford Algebras and Spinors|last=Vaz|first=Jayme|last2=da Rocha|first2=Roldão|publisher=[[Oxford University Press]]|year=2016|isbn=978-0-19-878-292-6}}
* Warner, Frank, (1971). ''Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups''

[[Thể loại:Hình học Riemann]]