Đẳng cấu thăng giáng (hình học Riemann)

Trong hình học vi phân, đẳng cấu thăng giáng là một đẳng cấu giữa phân thớ tiếp xúc $\mathrm{T}M$ và phân thớ đối tiếp xúc ${\mathrm{T}}^{*}M$ của một đa tạp Riemann, cảm sinh bởi tenxơ metric.

Định nghĩa

Xét một đa tạp Riemann Bản mẫu:Math.

Cho trước một trường vectơ $X\in TM$, ta xác định giáng của nó, là một nhát cắt $X^{\mathrm{♭}}$ của phần thớ đối tiếp xúc $T^{*}M$(hay một trường đối véc-tơ), bởi

$X_p^{\mathrm{♭}}(Y_p)=⟨X_p,Y_p⟩$

với mọi $p\in M$ và mọi trường véc-tơ Bản mẫu:Mvar. Đẳng cấu này gán cho phân thớ $T^{*}M$ một tích vô hướng.

Tương tự, với một trường đối véc-tơ Bản mẫu:Math, ta định nghĩa thăng của nó, ${\omega }^{\mathrm{♯}}$, là trường véc-tơ duy nhất thỏa mãn

$⟨{\omega }_p^{\mathrm{♯}},Y_p⟩={\omega }_p(Y_p),$

với mọi $p\in M$ và mọi trường véc-tơ Bản mẫu:Mvar.

Ta có hai đẳng cấu là nghịch đảo của nhau

$\mathrm{♭}:\mathrm{T}M\to {\mathrm{T}}^{*}M,\mathrm{♯}:{\mathrm{T}}^{*}M\to \mathrm{T}M.$

Nâng hạ chỉ số

Sử dụng các ký hiệu nâng hạ chỉ số Einstein, với một trường mục tiêu địa phương $e_1,\dots ,e_n$ (và trường đối mục tiêu tương ứng $e^1,\dots ,e^n$ thỏa mãn $e^i(e_j)={\delta }_j^i$), ta có:

$X^{\mathrm{♭}}:=g_{ij}{X}^i{𝐞}^j=X_j{𝐞}^j.$

${\omega }^{\mathrm{♯}}:=g^{ij}{\omega }_i{𝐞}_j={\omega }^j{𝐞}_j,$

Tham khảo

• Berger, Marcel (2003). A Panoramic View of Riemannian Geometry, tr. 696
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Warner, Frank, (1971). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups