Xem mã nguồn của Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn

{{Short description|Định nghĩa toán học của giới hạn}}
{{DISPLAYTITLE:Định nghĩa (''ε'', ''δ'') của giới hạn}}
[[Tập tin:Límite 01.svg|thumb|right|Khi điểm {{mvar|x}} nằm trong một khoảng {{math|''δ''}} so với {{math|''c''}}, {{math|''f''(''x'')}} nằm trong một khoảng {{math|''ε''}} so với {{math|''L''}}]]

Trong [[giải tích]], '''định nghĩa <math>(\epsilon,\delta)</math> của giới hạn''' (định nghĩa giới hạn bằng ký tự [[epsilon]]–[[delta]]) là một phát biểu chặt chẽ cho khái niệm của [[Giới hạn của hàm số|giới hạn]]. Khái niệm này xuất phát từ [[Augustin-Louis Cauchy]], tuy không định nghĩa <math>(\epsilon,\delta)</math> trong quyển ''[[Cours d'Analyse]]'' của mình, nhưng thỉnh thoảng dùng phép lập luận bằng <math>(\epsilon,\delta)</math> trong các chứng minh của mình. Định nghĩa chặt chẽ đầu tiên được đưa bởi [[Bernard Bolzano]] năm 1817, và phát biểu hoàn chỉnh hiện đại do [[Karl Weierstrass]] đưa ra.<ref name="grabiner">
{{citation
 |title=Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus 
 |first=Judith V. 
 |last=Grabiner 
 |journal=The American Mathematical Monthly 
 |date=March 1983 
 |volume=90 
 |pages=185–194 
 |url=http://www.mr-ideahamster.com/classes/assets/a_evepsilon.pdf 
 |archive-url=https://www.webcitation.org/5gVUmZmxc?url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf 
 |archive-date = ngày 4 tháng 5 năm 2009 |url-status=live 
 |access-date = ngày 1 tháng 5 năm 2009 |doi=10.2307/2975545 
 |issue=3 
 |jstor=2975545 
}}</ref><ref>{{citation
 |first       = A.-L.
 |last        = Cauchy
 |author-link = Augustin Louis Cauchy
 |title       = Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal
 |place       = Paris
 |year        = 1823
 |url         = http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0
 |chapter     = Septième Leçon – Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées <math>\frac{\infty}{\infty}, \infty^0, \ldots</math> Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée
 |chapter-url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z/f45n5.capture
 |postscript  =, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z.image.f47 p. 44].
 |archive-url  = https://www.webcitation.org/5gVUmywgY?url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0
 |archive-date = ngày 4 tháng 5 năm 2009 |url-status     = dead
 |access-date = ngày 1 tháng 5 năm 2009 |df          = 
}}.</ref> Nó làm chặt chẽ định nghĩa không chính thức sau: hàm số <math>f(x)</math> tiến tới giá trị <math>L</math> khi biến số <math>x</math> tiến tới giá trị <math>c,</math> nếu <math>f(x)</math> có thể ở gần <math>L</math> tùy ý như mong muốn khi đưa <math>x</math> đủ gần đến <math>c</math>.

== Lịch sử ==
Mặc dù người Hy Lạp cổ đại từng xem xét các quá trình giới hạn, như là [[phương pháp Babylon]], nhiều khả năng họ không có khái niệm giới hạn giống như ngày nay.<ref>{{chú thích sách|last1=Stillwell|first1=John|authorlink=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|url=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil|url-access=registration|date=1989|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|pages=[https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil/page/38 38–39]}}</ref> Nhu cầu cho khái niệm giới hạn xuất hiện trong thế kỷ 17 khi [[Pierre de Fermat]] cố tìm [[độ dốc]] của đường [[tiếp tuyến]] tại một điểm {{mvar|x}} của một hàm số như là {{math|1=''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>}}. Sử dụng một đại lượng khác không nhưng gần bằng không {{mvar|E}}, Fermat đã tính độ dốc {{mvar|D}} bằng cách sau:

:<math>
\begin{align}
D & = \frac{f(x+E)-f(x)}{E} \\
& = \frac{(x+E)^2-x^2}{E}\\
& = \frac{x^2+2xE+E^2-x^2}{E} \\
& = \frac{2xE+E^2}{E} = 2x+E = 2x.
\end{align}
</math>

Điểm then chốt cho phép tính trên là do {{mvar|E}} khác không nên ta có thể chia {{math|''f''(''x'' + ''E'') − ''f''(''x'')}} cho {{mvar|E}}, nhưng do {{mvar|E}} gần bằng không, {{math|2''x'' + ''E''}} cũng giống như {{math|2''x''}}.<ref>{{chú thích sách|last1=Stillwell|first1=John|authorlink=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|url=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil|date=1989|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|pages=[https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil/page/104 104]}}</ref> Đại lượng như {{mvar|E}} được gọi là [[infinitesimal]] (vô cùng bé). Tuy nhiên, các nhà [[toán học]] thời đó không thể định nghĩa chặt chẽ một đại lượng với tính chất của {{mvar|E}} như trên,<ref>{{chú thích sách|last1=Stillwell|first1=John|authorlink=John Stillwell|title=Mathematics and Its History |url=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil |date=1989|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|pages=[https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil/page/106 106]}}</ref> nhưng các nhà toán học vận thường dùng các đại lượng vô cùng bé như thế và có vẻ vẫn cho ra kết quả đúng.

Vấn đề này lại xuất hiện sau đó trong việc phát triển bộ môn giải tích do những tính toán như của Fermat được dùng để tính [[đạo hàm]]. [[Isaac Newton]] lần đầu phát triển giải tích bằng một đại lượng vô cùng bé gọi là [[Method of Fluxions|fluxion]]. Ông phát triển chúng với ý tưởng về một "khoảng khắc vô cùng ngắn..."<ref name="ReferenceA">{{chú thích sách|last1=Buckley|first1=Benjamin Lee|title=The Continuity Debate: Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on Continuity and Infinitesimals|date=2012|isbn=9780983700487|page=31}}</ref> Tuy nhiên, Newton sau đó từ bỏ fluxion mà thay vào đó là một lý thuyết về tỉ số gần giống với định nghĩa {{math|(''ε'', ''δ'')}} hiện đại của giới hạn.<ref name="ReferenceA"/> Hơn nữa, Newton biết rằng giới hạn của tỉ số hai đại lượng gần bằng không ''không'' phải là tỉ số, như ông đã viết:
:Những tỉ số cuối cùng đó... không phải là tỉ số của các đại lượng tới hạn, mà là giới hạn... mà chúng có thể tiếp cận gần đến mức hiệu của chúng nhỏ hơn bất kỳ con số nào...
Thêm vào đó, Newton đôi khi giải thích giới hạn theo nghĩa giống với định nghĩa epsilon–delta.<ref>{{citation|title=Newton and the Notion of Limit| first1=B.|last1=Pourciau|journal=Historia Mathematica|volume=28|issue=1| pages=18–30|year=2001|doi=10.1006/hmat.2000.2301 }}</ref> [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] xây dựng một infinitesimal và cố gắng làm nó chặt chẽ, nhưng vẫn bị một số nhà toán học và triết học nghi ngờ.<ref>{{chú thích sách|last1=Buckley|first1=Benjamin Lee|title=The Continuity Debate: Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on Continuity and Infinitesimals|date=2012|isbn=9780983700487|page=32}}</ref>

[[Augustin-Louis Cauchy]] đưa ra định nghĩa của giới hạn bằng một khái niệm đơn giản hơn mà ông gọi là một "đại lượng biến thiên". Ông chưa bao giờ đưa ra định nghĩa epsilon–delta cho giới hạn (Grabiner 1981), tuy nhiên một số chứng minh của ông chứa dấu hiệu của phương pháp này. Liệu cách tiếp cận của ông có thể coi là tiền đề cho Weierstrass là một vấn đề được tranh cãi; Grabiner cho là có, trong khi Schubring (2005) thì nghĩ là không.<ref name="grabiner" />

Cuối cùng, Weierstrass và Bolzano đều được công nhận là đã đưa ra nền tảng chặt chẽ cho giải tích sử dụng định nghĩa {{math|''ε''–''δ''}} của giới hạn.
<ref name="grabiner"/><ref>{{citation
 |first       = A.-L.
 |last        = Cauchy
 |author-link = Augustin Louis Cauchy
 |title       = Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal
 |place       = Paris
 |year        = 1823
 |url         = http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0
 |chapter     = Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées <math>\frac{\infty}{\infty}, \infty^0, \ldots</math> Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée
 |chapter-url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z/f45n5.capture
 |postscript  =, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z.image.f47 p. 44].
 |archive-url  = https://www.webcitation.org/5gVUmywgY?url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0
 |archive-date = ngày 4 tháng 5 năm 2009 |url-status     = dead
 |access-date = ngày 1 tháng 5 năm 2009 |df          = 
}}</ref> Đại lượng vô cùng bé {{mvar|E}} trở nên không cần thiết<ref>{{chú thích sách|last1=Buckley|first1=Benjamin Lee|title=The continuity debate: Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|date=2012|isbn=9780983700487|page=33}}</ref> và thay vào đó là giới hạn:

:<math>
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
</math>

Tuy nhiên định nghĩa này không hẳn là không có vấn đề, dù nó loại bỏ đại lượng vô cùng bé, nhưng lại cần việc xây dựng [[số thực]] của bởi [[Richard Dedekind]].<ref>{{chú thích sách|last1=Buckley|first1=Benjamin Lee|title=The Continuity Debate: Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on Continuity and Infinitesimals|date=2012|isbn=9780983700487|pages=32–35}}</ref> Đại lượng vô cùng bé cũng không hẳn bị lãng quên, chúng vẫn có chỗ đứng trong toán học nhờ vào sự hình thành của các tập [[số siêu thực]] (hyperreal number) hay [[số kỳ quái]] (surreal number). Hơn nữa, ta có thể xây dựng giải tích một cách chặt chẽ bằng những đại lượng này và chúng được dùng trong những tình huống khác.<ref>{{chú thích sách|last1=Tao|first1=Terence|title=Structure and randomness: pages from year one of a mathematical blog|url=https://archive.org/details/structurerandomn00taot|date=2008|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-4695-7|pages=[https://archive.org/details/structurerandomn00taot/page/95 95]–110}}</ref>

==Phát biểu không chính thức==
Một định nghĩa không chính quy (tức là, theo trực cảm hay tạm thời) là một "[[hàm số]] {{mvar|f}} tiếp cận giới hạn {{mvar|L}} gần {{mvar|a}} (bằng ký hiệu, <math> \lim_{x \to a}f(x) = L \, </math>) nếu ta có thể làm {{math|''f''(''x'')}} gần {{mvar|L}} tùy ý bằng cách cho {{mvar|x}} đủ gần, nhưng không bằng, {{mvar|a}}."<ref>{{chú thích sách|last1=Spivak|first1=Michael|title=Calculus|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich|url-access=registration|date=2008|publisher=Publish or Perish|location=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|page=[https://archive.org/details/calculus4thediti00mich/page/90 90]|edition=4th}}</ref>

Khi ta nói hai đại lượng gần nhau (như là {{math|''f''(''x'')}} và {{mvar|L}} hay {{mvar|x}} hay {{mvar|a}}) ý chỉ hiệu (hay [[khoảng cách]]) giữa chúng là nhỏ. Trong trường hợp {{math|''f''(''x'')}}, {{mvar|L}}, {{mvar|x}}, và {{mvar|a}} là các [[số thực]], hiệu hay khoảng cách giữa hai số là [[giá trị tuyệt đối]] của [[Phép trừ|hiệu]] hai số đó. Do đó, khi ta nói {{math|''f''(''x'')}} gần với {{mvar|L}} nghĩa là {{math|{{abs|''f''(''x'') − ''L''}}}} nhỏ. Tương tự, khi ta nói {{mvar|x}} gần {{mvar|a}}, nghĩa là {{math|{{abs|''x'' − ''a''}}}} nhỏ.<ref name="Calculus">{{chú thích sách|last1=Spivak|first1=Michael|title=Calculus|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich|url-access=registration|date=2008|publisher=Publish or Perish|location=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|page=[https://archive.org/details/calculus4thediti00mich/page/96 96]|edition=4th}}</ref>

Khi ta nói có thể làm {{math|''f''(''x'')}} gần {{mvar|L}} tùy ý, nghĩa là với mọi khoảng cách {{mvar|ε}} lớn hơn 0, ta có thể làm khoảng cách giữa {{math|''f''(''x'')}} và {{mvar|L}} nhỏ hơn {{mvar|ε.}}<ref name="Calculus"/>

Khi ta nói có thể làm {{math|''f''(''x'')}} gần {{mvar|L}} tùy ý bằng cách cho {{mvar|x}} đủ gần nhưng không bằng {{mvar|a}}, nghĩa là với mọi khoảng cách khác không {{mvar|ε}}, tồn tại một khoảng cách khác không {{mvar|δ}} sao cho nếu khoảng cách giữa {{mvar|x}} và {{mvar|a}} nhỏ hơn {{mvar|δ}} thì khoảng cách giữa {{math|''f''(''x'')}} và {{mvar|L}} nhỏ hơn {{mvar|ε.}}<ref name="Calculus"/>

==Phát biểu chính xác==

===Phát biểu cho hàm số thực===
Định nghĩa {{math|(''ε'', ''δ'')}} cho [[giới hạn của hàm số]] là:<ref name="Calculus"/>

: Gọi  {{mvar|f}}  là một hàm giá trị thực định nghĩa trên tập con {{mvar|D}} của tập số thực. Gọi {{mvar|c}} là một [[điểm giới hạn]] của {{mvar|D}} và {{mvar|L}} là một số thực. Ta nói
:: <math> \lim_{x\to c}f(x) = L </math>
: nếu với mọi {{math|''ε'' > 0}} tồn tại một {{math|''δ'' > 0}} sao cho, với mọi {{math|''x'' ∈ ''D''}}, nếu {{math|0 < {{abs|''x'' − ''c''}} < ''δ''}}, thì {{math|{{abs|''f''(''x'') − ''L''}} < ''ε''.}}

Bằng ký hiệu:
:<math> \lim_{x \to c} f(x) = L  \iff\ \forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0:\ \big|f(x)</math> − <math> L\big|<\epsilon,\ \forall x\in D:\ 0<|x</math> − <math> c|<\delta\ </math>
:<math> \iff\ \forall\epsilon\in(0,+\infty),\ \exists\delta\in(0,+\infty):\ f(x)\in\big(L</math> − <math>\epsilon,L+\epsilon\big),\ \forall x\in D\cap\Big[\big(c</math> − <math>\delta,c+\delta\big)\setminus\{c\}\Big] \ </math>
:<math> \iff\ \forall\epsilon\in(0,+\infty),\ \exists\delta\in(0,+\infty):\ f(x)\in\big(L</math> − <math>\epsilon,L+\epsilon\big),\ \forall f(x)\in f\bigg[ D\cap\Big[\big(c</math> − <math>\delta,c+\delta\big)\setminus\{c\}\Big] \ \bigg]</math>
:<math> \iff\ \forall\epsilon\in(0,+\infty),\ \exists\delta\in(0,+\infty):\ f\bigg[ D\cap\Big[\big(c</math> − <math>\delta,c+\delta\big)\setminus\{c\}\Big] \ \bigg]\subseteq\big(L</math> − <math>\epsilon,L+\epsilon\big)</math>
Nếu {{math|1=''D'' = [''a'', ''b'']}} hoặc {{math|1=''D'' = '''R'''}}, điều kiện {{mvar|c}} là điểm giới hạn có thể được thay bằng {{mvar|c}} thuộc {{mvar|D}}, do khoảng số thực và toàn bộ tập số thực đều là các [[tập hợp đầy đủ]].

'''''Chú ý''''': trong định nghĩa, phần tử <math> \delta</math> là phụ thuộc vào <math> \epsilon</math> và đôi khi còn phụ thuộc vào cả hàm <math> f</math>. Do đó, để tránh nhầm lẫn, nhiều người thường dùng kí hiệu <math> \delta_\epsilon</math> hay <math> \delta(\epsilon)</math> thay vì <math> \delta</math>.

=== Phát biểu cho hàm số giữa không gian mêtric ===

Định nghĩa trên có thể được mở rộng cho hàm số giữa các [[không gian mêtric]]. Những không gian này mang một hàm số, gọi là một mêtric, lấy hai điểm trong không gian đó và trả về một số thực biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm đó.<ref name="Rudin, Walter 1976 30">{{chú thích sách|author=Rudin, Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|publisher= McGraw-Hill Science/Engineering/Math |year=1976|isbn= 978-0070542358 |page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/30 30]|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|url-access=registration}}</ref> Định nghĩa tổng quát là:<ref>{{chú thích sách|author=Rudin, Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|publisher= McGraw-Hill Science/Engineering/Math |year=1976|isbn= 978-0070542358 |page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/83 83]|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|url-access=registration}}</ref>

: Giả sử {{mvar|f}} được định nghĩa trên tập con {{mvar|D}} của không gian mêtric {{mvar|X}} với mêtric là {{math|''d''<sub>''X''</sub>(''x'', ''y'')}} và đi vào không gian mêtric {{mvar|Y}} với mêtric {{math|''d''<sub>''Y''</sub>(''x'', ''y'')}}. Gọi {{mvar|c}} là một điểm giới hạn của {{mvar|D}} và {{mvar|L}} là một điểm trong {{mvar|Y}}. Khi đó ta nói
:: <math> \lim_{x\to c}f(x) = L </math>
:nếu với mọi {{math|''ε'' > 0}}, tồn tại một số {{mvar|δ}} sao cho với mọi {{math|''x'' ∈ ''D''}}, nếu {{math|0 < ''d''<sub>''X''</sub>(''x'', ''c'') < ''δ''}} thì {{math|''d''<sub>''Y''</sub>(''f''(''x''), ''L'') < ''ε''.}}

Cụ thể, mêtric của tập số thực là {{math|1=''d''(''x'', ''y'') = {{abs|''x'' − ''y''}}}}, do đó định nghĩa trên là trường hợp tổng quát cho định nghĩa đầu tiên với hàm số thực.<ref>{{chú thích sách|author=Rudin, Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|publisher= McGraw-Hill Science/Engineering/Math |year=1976|isbn= 978-0070542358 |page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/84 84]|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|url-access=registration}}</ref>

=== Phát biểu phủ định ===

[[Phủ định]] của định nghĩa trên cho không gian mêtric là như sau:<ref>{{chú thích sách|last1=Spivak|first1=Michael|title=Calculus|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich|url-access=registration|date=2008|publisher=Publish or Perish|location=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|page=[https://archive.org/details/calculus4thediti00mich/page/97 97]|edition=4th}}</ref>

: Giả sử {{mvar|f}} được định nghĩa trên tập con {{mvar|D}} của không gian mêtric {{mvar|X}} với mêtric là {{math|''d''<sub>''X''</sub>(''x'', ''y'')}} và đi vào không gian mêtric {{mvar|Y}} với mêtric {{math|''d''<sub>''Y''</sub>(''x'', ''y'')}}. Gọi {{mvar|c}} là một điểm giới hạn của {{mvar|D}} và {{mvar|L}} là một điểm trong {{mvar|Y}}. Khi đó ta nói
:: <math> \lim_{x\to c}f(x) \neq L </math>
: nếu tồn tại một {{math|''ε'' > 0}} sao cho với mọi {{math|''δ'' > 0}} thì tồn tại một {{math|''x'' ∈ ''D''}} sao cho {{math|0 < ''d''<sub>''X''</sub>(''x'', ''c'') < ''δ''}} và {{math|''d''<sub>''Y''</sub>(''f''(''x''), ''L'') > ''ε''.}}

Ta nói <math> \lim_{x\to c}f(x) </math> không tồn tại nếu với mọi <math>L\in Y</math>, <math> \lim_{x\to c}f(x) \neq L </math>.

Trong trường [[hợp số]] thực, ta chỉ cần thay <math>d_X(x,y) = d_Y(x,y)= |x-y|</math>.

===Phát biểu cho giới hạn ở vô cùng===
Phát biểu chính xác trong trường hợp giới hạn ở vô cùng như sau:<ref name="Rudin, Walter 1976 30"/>

: Giả sử {{mvar|f}} được định nghĩa trên tập con {{mvar|D}} của không gian mêtric {{mvar|X}} với mêtric là {{math|''d''<sub>''X''</sub>(''x'', ''y'')}} và đi vào không gian mêtric {{mvar|Y}} với mêtric {{math|''d''<sub>''Y''</sub>(''x'', ''y'')}}. Gọi {{mvar|L}} là một điểm trong {{mvar|Y}}. Khi đó ta nói
:: <math> \lim_{x\to\infty}f(x) = L </math>
: nếu với mọi {{math|''ε'' > 0}}, tồn tại một số thực {{math|''N'' > 0}} sao cho với mọi {{math|''x'' ∈ ''D''}} thỏa {{math|''d''<sub>''X''</sub>(''x'', 0) > ''N''}} thì {{math|''d''<sub>''Y''</sub>(''f''(''x''), ''L'') < ''ε''.}}

==Ví dụ==
===Ví dụ 1===
Ta sẽ chứng minh [[Giới hạn (toán học)|giới hạn]] sau bằng cách áp dụng định nghĩa trên

: <math>\lim_{x\to 0} x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)} = 0.</math>

Cho trước số {{math|''ε'' > 0}}. Ta cần tìm một {{math|''δ'' > 0}} sao cho <math>|x-0| < \delta \Rightarrow \left|x\sin\left(\frac{1}{x}\right) - 0\right| < \varepsilon </math>.

Do [[hàm sin]] bị chặn trên bởi 1 và chặn dưới bởi −1,

<math>
\begin{align}
\left|x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)} - 0\right| &= \left|x\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}\right|\\
                           &= |x|\left|\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}\right| \\
                           &\leq |x|.
\end{align}
</math>

Do đó, nếu ta lấy {{math|1=''δ'' = ''ε''}}, thì từ {{math|1={{abs|''x'' − 0}} < ''δ''}}, ta suy ra {{math|1={{abs|''x'' sin(1/''x'') − 0}} ≤ {{abs|x}} ≤ ''ε''}}. Chứng minh hoàn tất.

=== Ví dụ 2 ===
Ta sẽ chứng minh

: <math> \lim_{x\to a} x^2 = a^2</math>
với mọi số thực {{mvar|a.}}

Cố định số {{math|''ε'' > 0}}. Ta sẽ tìm một số {{math|''δ'' > 0}} sao cho <math>|x-a|<\delta \Rightarrow |x^2-a^2|<\varepsilon </math>.

Ta bắt đầu bằng cách [[phân tích nhân tử]] :

: <math> |x^2-a^2| = |(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a|.</math>

Do được tùy ý chọn {{mvar|δ}} nên ta có thể cho {{math|{{abs|''x'' − ''a''}} < 1}} rồi sau đó chọn một số nhỏ hơn 1 làm {{mvar|δ.}}<ref>{{chú thích sách|last1=Spivak|first1=Michael|title=Calculus|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich|url-access=registration|date=2008|publisher=Publish or Perish|location=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|page=[https://archive.org/details/calculus4thediti00mich/page/95 95]|edition=4th}}</ref>

Vậy ta có {{math|{{abs|''x'' − ''a''}} < 1}}. Sử dụng [[bất đẳng thức tam giác]], ta có

: <math> |x+a| = |x-a + 2a| \leq |x-a| + |2a|.</math>

Suy ra

: <math> |x+a| < 1 + 2|a|.</math>

Do đó, nếu ta giả sử thêm
:<math> |x-a| < \frac{\varepsilon}{2|a| +1}</math>

thì

:<math>|x^2-a^2| <\varepsilon. </math>

Tóm lại, ta chỉ cần đặt
: <math> \delta = \min{\left(1,\frac{\varepsilon}{2|a| +1}\right)}.</math>

Khi ấy, nếu {{math|{{abs|''x'' − ''a''}} < ''δ''}} thì

: <math>
\begin{align}
|x^2-a^2| = |x-a||x+a| &< \frac{\varepsilon}{2|a| +1}|x+a|\\
					   &< \frac{\varepsilon}{2|a| +1}\left(2|a|+1\right)\\
					   &=\varepsilon.
\end{align}
</math>

Như vậy, ta đã tìm được một số {{mvar|δ}} sao cho nếu {{math|{{abs|''x'' − ''a''}} < ''δ''}} thì {{math|{{abs|''x''<sup>2</sup> − ''a''<sup>2</sup>}} < ''ε''}}. Từ đó, ta suy ra
: <math> \lim_{x\to a} x^2 = a^2</math>
với mọi số thực {{mvar|a.}}

===Ví dụ 3===
Ta sẽ chứng minh tính chất sau của [[Giới hạn (toán học)|giới hạn]]

: <math>\lim_{x \to a} f(x) + g(x) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x),</math>
với điều kiện các giới hạn ở vế phải tồn tại. Đặt <math>\lim_{x \to a} f(x) = F</math> và <math>\lim_{x \to a} g(x) = G.</math>

Cố định số {{math|''ε'' > 0}}. Ta cần tìm số {{mvar|δ}} sao cho nếu {{math|{{abs|''x'' − ''a''}} < ''δ''}} thì {{math|{{abs|''f''(''x'') + ''g''(''x'') − (''F'' + ''G'')}} < ''ε''.}}

Từ định nghĩa của giới hạn, ta suy ra tồn tại các số {{math|''δ''<sub>1</sub>}} và {{mvar|''δ''<sub>2</sub>}} sao cho
:<math>\begin{align}
|x-a| < \delta_1 \Rightarrow |f(x)-F| < \frac{1}{2}\varepsilon \\
|x-a| < \delta_2 \Rightarrow |g(x)-G| < \frac{1}{2}\varepsilon
\end{align}</math>

Ta có thể chọn {{math|1=''δ'' = min(''δ''<sub>1</sub>, ''δ''<sub>2</sub>)}}. Khi ấy, nếu {{math|{{abs|''x'' − ''a''}} < ''δ''}} thì cả hai bất đẳng thức trên đều đúng. Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
:<math>\begin{align}
|f(x)+g(x)-F-G| &\leq |f(x)-F| + |g(x)-G|\\
				&\leq \frac{1}{2}\varepsilon + \frac{1}{2}\varepsilon\\
				&= \varepsilon.
\end{align}</math>

Như vậy {{mvar|''δ''}} đã chọn thỏa yêu cầu của giới hạn, ta có điều phải chứng minh.

== Xem thêm ==
* [[Giới hạn của hàm số]]
* [[Hàm số liên tục]]
* [[Giới hạn của dãy]]
* [[Danh sách các chủ đề giải tích]]

== Tham khảo ==
{{tham khảo|30em}}

== Đọc thêm ==
* {{chú thích sách |last=Grabiner |first=Judith V. |title=The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus |publisher=Courier Corporation |year=1982 |isbn=978-0-486-14374-3 |url=https://books.google.com/books?id=XuFcx-laQmIC }}
* {{chú thích sách |title=Conflicts Between Generalization, Rigor, and Intuition: Number Concepts Underlying the Development of Analysis in 17th–19th Century France and Germany |first=Gert |last=Schubring |edition=illustrated |publisher=Springer |year=2005 |isbn=978-0-387-22836-5 |page= |url=https://books.google.com/books?id=rMWe3okqPOcC }}
{{Chủ đề vi tích phân}}{{DEFAULTSORT:E, Delta}}
[[Thể loại:Giới hạn (toán học)]]
[[Thể loại:Giải tích toán học]]