Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn

Khi điểm Bản mẫu:Mvar nằm trong một khoảng Bản mẫu:Math so với Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math nằm trong một khoảng Bản mẫu:Math so với Bản mẫu:Math

Trong giải tích, định nghĩa $(ϵ,\delta )$ của giới hạn (định nghĩa giới hạn bằng ký tự epsilon–delta) là một phát biểu chặt chẽ cho khái niệm của giới hạn. Khái niệm này xuất phát từ Augustin-Louis Cauchy, tuy không định nghĩa $(ϵ,\delta )$ trong quyển Cours d'Analyse của mình, nhưng thỉnh thoảng dùng phép lập luận bằng $(ϵ,\delta )$ trong các chứng minh của mình. Định nghĩa chặt chẽ đầu tiên được đưa bởi Bernard Bolzano năm 1817, và phát biểu hoàn chỉnh hiện đại do Karl Weierstrass đưa ra. Nó làm chặt chẽ định nghĩa không chính thức sau: hàm số $f(x)$ tiến tới giá trị $L$ khi biến số $x$ tiến tới giá trị $c,$ nếu $f(x)$ có thể ở gần $L$ tùy ý như mong muốn khi đưa $x$ đủ gần đến $c$.

Lịch sử

Mặc dù người Hy Lạp cổ đại từng xem xét các quá trình giới hạn, như là phương pháp Babylon, nhiều khả năng họ không có khái niệm giới hạn giống như ngày nay. Nhu cầu cho khái niệm giới hạn xuất hiện trong thế kỷ 17 khi Pierre de Fermat cố tìm độ dốc của đường tiếp tuyến tại một điểm Bản mẫu:Mvar của một hàm số như là Bản mẫu:Math. Sử dụng một đại lượng khác không nhưng gần bằng không Bản mẫu:Mvar, Fermat đã tính độ dốc Bản mẫu:Mvar bằng cách sau:

$\begin{array}{cc}D& =\frac{f(x+E)-f(x)}{E}\\ & =\frac{(x+E{)}^2-x^2}{E}\\ & =\frac{x^2+2xE+E^2-x^2}{E}\\ & =\frac{2xE+E^2}{E}=2x+E=2x.\end{array}$

Điểm then chốt cho phép tính trên là do Bản mẫu:Mvar khác không nên ta có thể chia Bản mẫu:Math cho Bản mẫu:Mvar, nhưng do Bản mẫu:Mvar gần bằng không, Bản mẫu:Math cũng giống như Bản mẫu:Math. Đại lượng như Bản mẫu:Mvar được gọi là infinitesimal (vô cùng bé). Tuy nhiên, các nhà toán học thời đó không thể định nghĩa chặt chẽ một đại lượng với tính chất của Bản mẫu:Mvar như trên, nhưng các nhà toán học vận thường dùng các đại lượng vô cùng bé như thế và có vẻ vẫn cho ra kết quả đúng.

Vấn đề này lại xuất hiện sau đó trong việc phát triển bộ môn giải tích do những tính toán như của Fermat được dùng để tính đạo hàm. Isaac Newton lần đầu phát triển giải tích bằng một đại lượng vô cùng bé gọi là fluxion. Ông phát triển chúng với ý tưởng về một "khoảng khắc vô cùng ngắn..." Tuy nhiên, Newton sau đó từ bỏ fluxion mà thay vào đó là một lý thuyết về tỉ số gần giống với định nghĩa Bản mẫu:Math hiện đại của giới hạn. Hơn nữa, Newton biết rằng giới hạn của tỉ số hai đại lượng gần bằng không không phải là tỉ số, như ông đã viết:

Những tỉ số cuối cùng đó... không phải là tỉ số của các đại lượng tới hạn, mà là giới hạn... mà chúng có thể tiếp cận gần đến mức hiệu của chúng nhỏ hơn bất kỳ con số nào...

Thêm vào đó, Newton đôi khi giải thích giới hạn theo nghĩa giống với định nghĩa epsilon–delta. Gottfried Wilhelm Leibniz xây dựng một infinitesimal và cố gắng làm nó chặt chẽ, nhưng vẫn bị một số nhà toán học và triết học nghi ngờ.

Augustin-Louis Cauchy đưa ra định nghĩa của giới hạn bằng một khái niệm đơn giản hơn mà ông gọi là một "đại lượng biến thiên". Ông chưa bao giờ đưa ra định nghĩa epsilon–delta cho giới hạn (Grabiner 1981), tuy nhiên một số chứng minh của ông chứa dấu hiệu của phương pháp này. Liệu cách tiếp cận của ông có thể coi là tiền đề cho Weierstrass là một vấn đề được tranh cãi; Grabiner cho là có, trong khi Schubring (2005) thì nghĩ là không.

Cuối cùng, Weierstrass và Bolzano đều được công nhận là đã đưa ra nền tảng chặt chẽ cho giải tích sử dụng định nghĩa Bản mẫu:Math của giới hạn. Đại lượng vô cùng bé Bản mẫu:Mvar trở nên không cần thiết và thay vào đó là giới hạn:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

Tuy nhiên định nghĩa này không hẳn là không có vấn đề, dù nó loại bỏ đại lượng vô cùng bé, nhưng lại cần việc xây dựng số thực của bởi Richard Dedekind. Đại lượng vô cùng bé cũng không hẳn bị lãng quên, chúng vẫn có chỗ đứng trong toán học nhờ vào sự hình thành của các tập số siêu thực (hyperreal number) hay số kỳ quái (surreal number). Hơn nữa, ta có thể xây dựng giải tích một cách chặt chẽ bằng những đại lượng này và chúng được dùng trong những tình huống khác.

Phát biểu không chính thức

Một định nghĩa không chính quy (tức là, theo trực cảm hay tạm thời) là một "hàm số Bản mẫu:Mvar tiếp cận giới hạn Bản mẫu:Mvar gần Bản mẫu:Mvar (bằng ký hiệu, $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$) nếu ta có thể làm Bản mẫu:Math gần Bản mẫu:Mvar tùy ý bằng cách cho Bản mẫu:Mvar đủ gần, nhưng không bằng, Bản mẫu:Mvar."

Khi ta nói hai đại lượng gần nhau (như là Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Mvar hay Bản mẫu:Mvar hay Bản mẫu:Mvar) ý chỉ hiệu (hay khoảng cách) giữa chúng là nhỏ. Trong trường hợp Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Mvar, và Bản mẫu:Mvar là các số thực, hiệu hay khoảng cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối của hiệu hai số đó. Do đó, khi ta nói Bản mẫu:Math gần với Bản mẫu:Mvar nghĩa là Bản mẫu:Math nhỏ. Tương tự, khi ta nói Bản mẫu:Mvar gần Bản mẫu:Mvar, nghĩa là Bản mẫu:Math nhỏ.

Khi ta nói có thể làm Bản mẫu:Math gần Bản mẫu:Mvar tùy ý, nghĩa là với mọi khoảng cách Bản mẫu:Mvar lớn hơn 0, ta có thể làm khoảng cách giữa Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Mvar nhỏ hơn Bản mẫu:Mvar

Khi ta nói có thể làm Bản mẫu:Math gần Bản mẫu:Mvar tùy ý bằng cách cho Bản mẫu:Mvar đủ gần nhưng không bằng Bản mẫu:Mvar, nghĩa là với mọi khoảng cách khác không Bản mẫu:Mvar, tồn tại một khoảng cách khác không Bản mẫu:Mvar sao cho nếu khoảng cách giữa Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar nhỏ hơn Bản mẫu:Mvar thì khoảng cách giữa Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Mvar nhỏ hơn Bản mẫu:Mvar

Phát biểu chính xác

Phát biểu cho hàm số thực

Định nghĩa Bản mẫu:Math cho giới hạn của hàm số là:

Gọi Bản mẫu:Mvar là một hàm giá trị thực định nghĩa trên tập con Bản mẫu:Mvar của tập số thực. Gọi Bản mẫu:Mvar là một điểm giới hạn của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là một số thực. Ta nói

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

nếu với mọi Bản mẫu:Math tồn tại một Bản mẫu:Math sao cho, với mọi Bản mẫu:Math, nếu Bản mẫu:Math, thì Bản mẫu:Math

Bằng ký hiệu:

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L⟺\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0:|f(x)$ − $L|<ϵ,\mathrm{\forall }x\in D:0<|x$ − $c|<\delta$

$⟺\mathrm{\forall }ϵ\in (0,+\mathrm{\infty }),\mathrm{\exists }\delta \in (0,+\mathrm{\infty }):f(x)\in (L$ − $ϵ,L+ϵ),\mathrm{\forall }x\in D\cap [(c$ − $\delta ,c+\delta )\setminus \{c\}]$

$⟺\mathrm{\forall }ϵ\in (0,+\mathrm{\infty }),\mathrm{\exists }\delta \in (0,+\mathrm{\infty }):f(x)\in (L$ − $ϵ,L+ϵ),\mathrm{\forall }f(x)\in f[D\cap \left[\right(c$ − $\delta ,c+\delta )\setminus \{c\}]]$

$⟺\mathrm{\forall }ϵ\in (0,+\mathrm{\infty }),\mathrm{\exists }\delta \in (0,+\mathrm{\infty }):f[D\cap [(c$ − $\delta ,c+\delta )\setminus \{c\}]]\subseteq (L$ − $ϵ,L+ϵ)$

Nếu Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math, điều kiện Bản mẫu:Mvar là điểm giới hạn có thể được thay bằng Bản mẫu:Mvar thuộc Bản mẫu:Mvar, do khoảng số thực và toàn bộ tập số thực đều là các tập hợp đầy đủ.

Chú ý: trong định nghĩa, phần tử $\delta$ là phụ thuộc vào $ϵ$ và đôi khi còn phụ thuộc vào cả hàm $f$. Do đó, để tránh nhầm lẫn, nhiều người thường dùng kí hiệu ${\delta }_{ϵ}$ hay $\delta (ϵ)$ thay vì $\delta$.

Phát biểu cho hàm số giữa không gian mêtric

Định nghĩa trên có thể được mở rộng cho hàm số giữa các không gian mêtric. Những không gian này mang một hàm số, gọi là một mêtric, lấy hai điểm trong không gian đó và trả về một số thực biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm đó. Định nghĩa tổng quát là:

Giả sử Bản mẫu:Mvar được định nghĩa trên tập con Bản mẫu:Mvar của không gian mêtric Bản mẫu:Mvar với mêtric là Bản mẫu:Math và đi vào không gian mêtric Bản mẫu:Mvar với mêtric Bản mẫu:Math. Gọi Bản mẫu:Mvar là một điểm giới hạn của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là một điểm trong Bản mẫu:Mvar. Khi đó ta nói

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

nếu với mọi Bản mẫu:Math, tồn tại một số Bản mẫu:Mvar sao cho với mọi Bản mẫu:Math, nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math

Cụ thể, mêtric của tập số thực là Bản mẫu:Math, do đó định nghĩa trên là trường hợp tổng quát cho định nghĩa đầu tiên với hàm số thực.

Phát biểu phủ định

Phủ định của định nghĩa trên cho không gian mêtric là như sau:

Giả sử Bản mẫu:Mvar được định nghĩa trên tập con Bản mẫu:Mvar của không gian mêtric Bản mẫu:Mvar với mêtric là Bản mẫu:Math và đi vào không gian mêtric Bản mẫu:Mvar với mêtric Bản mẫu:Math. Gọi Bản mẫu:Mvar là một điểm giới hạn của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là một điểm trong Bản mẫu:Mvar. Khi đó ta nói

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)\ne L$

nếu tồn tại một Bản mẫu:Math sao cho với mọi Bản mẫu:Math thì tồn tại một Bản mẫu:Math sao cho Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math

Ta nói $\underset{x\to c}{\lim }f(x)$ không tồn tại nếu với mọi $L\in Y$, $\underset{x\to c}{\lim }f(x)\ne L$.

Trong trường hợp số thực, ta chỉ cần thay $d_X(x,y)=d_Y(x,y)=|x-y|$.

Phát biểu cho giới hạn ở vô cùng

Phát biểu chính xác trong trường hợp giới hạn ở vô cùng như sau:

Giả sử Bản mẫu:Mvar được định nghĩa trên tập con Bản mẫu:Mvar của không gian mêtric Bản mẫu:Mvar với mêtric là Bản mẫu:Math và đi vào không gian mêtric Bản mẫu:Mvar với mêtric Bản mẫu:Math. Gọi Bản mẫu:Mvar là một điểm trong Bản mẫu:Mvar. Khi đó ta nói

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=L$

nếu với mọi Bản mẫu:Math, tồn tại một số thực Bản mẫu:Math sao cho với mọi Bản mẫu:Math thỏa Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math

Ví dụ

Ví dụ 1

Ta sẽ chứng minh giới hạn sau bằng cách áp dụng định nghĩa trên

$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=0.$

Cho trước số Bản mẫu:Math. Ta cần tìm một Bản mẫu:Math sao cho $|x-0|<\delta \Rightarrow |x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-0|<\epsilon$.

Do hàm sin bị chặn trên bởi 1 và chặn dưới bởi −1,

$\begin{array}{cc}|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-0|& =|x\sin \left(\frac{1}{x}\right)|\\ & =|x||\sin \left(\frac{1}{x}\right)|\\ & \le |x|.\end{array}$

Do đó, nếu ta lấy Bản mẫu:Math, thì từ Bản mẫu:Math, ta suy ra Bản mẫu:Math. Chứng minh hoàn tất.

Ví dụ 2

Ta sẽ chứng minh

$\underset{x\to a}{\lim }{x}^2=a^2$

với mọi số thực Bản mẫu:Mvar

Cố định số Bản mẫu:Math. Ta sẽ tìm một số Bản mẫu:Math sao cho $|x-a|<\delta \Rightarrow |x^2-a^2|<\epsilon$.

Ta bắt đầu bằng cách phân tích nhân tử :

$|x^2-a^2|=|(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a|.$

Do được tùy ý chọn Bản mẫu:Mvar nên ta có thể cho Bản mẫu:Math rồi sau đó chọn một số nhỏ hơn 1 làm Bản mẫu:Mvar

Vậy ta có Bản mẫu:Math. Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

$|x+a|=|x-a+2a|\le |x-a|+|2a|.$

Suy ra

$|x+a|<1+2|a|.$

Do đó, nếu ta giả sử thêm

$|x-a|<\frac{\epsilon }{2|a|+1}$

thì

$|x^2-a^2|<\epsilon .$

Tóm lại, ta chỉ cần đặt

$\delta =\min (1,\frac{\epsilon }{2|a|+1}).$

Khi ấy, nếu Bản mẫu:Math thì

$\begin{array}{cc}|x^2-a^2|=|x-a||x+a|& <\frac{\epsilon }{2|a|+1}|x+a|\\ & <\frac{\epsilon }{2|a|+1}(2|a|+1)\\ & =\epsilon .\end{array}$

Như vậy, ta đã tìm được một số Bản mẫu:Mvar sao cho nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math. Từ đó, ta suy ra

$\underset{x\to a}{\lim }{x}^2=a^2$

với mọi số thực Bản mẫu:Mvar

Ví dụ 3

Ta sẽ chứng minh tính chất sau của giới hạn

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)+g(x)=\underset{x\to a}{\lim }f(x)+\underset{x\to a}{\lim }g(x),$

với điều kiện các giới hạn ở vế phải tồn tại. Đặt $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=F$ và $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=G.$

Cố định số Bản mẫu:Math. Ta cần tìm số Bản mẫu:Mvar sao cho nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math

Từ định nghĩa của giới hạn, ta suy ra tồn tại các số Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Mvar sao cho

$\begin{array}{c}|x-a|<{\delta }_1\Rightarrow |f(x)-F|<\frac{1}{2}\epsilon \\ |x-a|<{\delta }_2\Rightarrow |g(x)-G|<\frac{1}{2}\epsilon \end{array}$

Ta có thể chọn Bản mẫu:Math. Khi ấy, nếu Bản mẫu:Math thì cả hai bất đẳng thức trên đều đúng. Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có

$\begin{array}{cc}|f(x)+g(x)-F-G|& \le |f(x)-F|+|g(x)-G|\\ & \le \frac{1}{2}\epsilon +\frac{1}{2}\epsilon \\ & =\epsilon .\end{array}$

Như vậy Bản mẫu:Mvar đã chọn thỏa yêu cầu của giới hạn, ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm

• Giới hạn của hàm số
• Hàm số liên tục
• Giới hạn của dãy
• Danh sách các chủ đề giải tích

Đọc thêm

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách