Đạo hàm

Đồ thị của hàm số (màu đen) và tiếp tuyến của nó (màu đỏ). Hệ số góc của tiếp tuyến bằng đạo hàm của hàm đó tại tiếp điểm (điểm được đánh dấu).

Trong toán học, đạo hàm của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích. Chẳng hạn, trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động, khi mà công cụ này giúp đo lường tốc độ mà đối tượng đó thay đổi tại một thời điểm xác định.

Đạo hàm của một hàm số đơn biến tại một điểm xác định nếu tồn tại, sẽ đồng thời là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại chính điểm đó. Tiếp tuyến này cũng đồng thời là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất có thể tìm được của hàm số lân cận với giá trị đã cho. Bởi lý do này, đạo hàm thường được mô tả là "tốc độ thay đổi tức thời", với tỉ lệ thay đổi tức thời phụ thuộc vào biến độc lập của hàm số.

Đạo hàm có thể được khái quát hóa cho hàm số đa biến, ở đó nó được định nghĩa là một phép biến đổi tuyến tính có đồ thị là xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của đồ thị hàm số ban đầu. Ma trận Jacobi là ma trận dùng để mô tả phép biến đổi tuyến tính đó đối với chuẩn được cho bởi các biến độc lập và biến phụ thuộc, có thể được tính nhờ các đạo hàm riêng đối với biến độc lập. Với một hàm số thực đa biến, ma trận Jacobi được rút gọn về vectơ gradien.

Quá trình tính toán đạo hàm của một hàm số được gọi là tìm vi phân, phép toán ngược với phép lấy đạo hàm là nguyên hàm, và định lý cơ bản của giải tích thể hiện mối quan hệ giữa tích phân với nguyên hàm. Vi phân và tích phân là hai công cụ cơ bản trong giải tích đơn biến.Bản mẫu:Efn

Định nghĩa

Một hàm số thực Bản mẫu:Math có đạo hàm hay khả vi (tiếng Anh: differentiable) tại điểm Bản mẫu:Mvar trên miền xác định của nó nếu như trên khoảng mở Bản mẫu:Mvar có chứa Bản mẫu:Mvar, giới hạn
$L=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
tồn tại. Điều này có nghĩa rằng, với mọi số thực dương $\epsilon$ (kể cả rất nhỏ), tồn tại một số thực dương $\delta$ sao cho với mỗi số Bản mẫu:Mvar sao cho $|h|<\delta$ và $h\ne 0$, khi đó $f(a+h)$ được xác định và $|L-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}|<\epsilon ,$
với hai dấu gạch ngang thể hiện giá trị tuyệt đối
Khi đó, nếu Bản mẫu:Mvar khả vi tại Bản mẫu:Mvar, giới hạn Bản mẫu:Mvar tồn tại hay hội tụ, giới hạn này khi đó được gọi là đạo hàm của Bản mẫu:Mvar tại Bản mẫu:Mvar và được kí hiệu là $f^{\prime }(a)$ (đọc là đạo hàm của Bản mẫu:Mvar tại Bản mẫu:Mvar) hay $\frac{df}{dx}(a)$ (đọc là thương của số gia của đối số trên số gia của hàm số tại Bản mẫu:Mvar)

Vi phân

Vi phân là quá trình để tính đạo hàm. Đạo hàm của hàm số Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Math là biến số, mô tả sự thay đổi giá trị của Bản mẫu:Math tương ứng với độ biến thiên của Bản mẫu:Math và còn được gọi là đạo hàm của Bản mẫu:Math đối với Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math đều thuộc tập số thực thì đạo hàm của hàm số là hệ số góc của đồ thị hàm đó tại mỗi điểm trong hệ tọa độ Descartes.

Độ dốc của hàm số bậc nhất: $m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

Xét trường hợp đơn giản nhất: gọi Bản mẫu:Math là một hàm số bậc nhất biến Bản mẫu:Math có đồ thị là một đường thẳng. Trong trường hợp này, Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là số thực và hệ số góc Bản mẫu:Math được tính bằng

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

trong đó Bản mẫu:Math (delta) là viết tắt của "thay đổi", Bản mẫu:Math (số gia của đối số) và Bản mẫu:Math (số gia tương ứng của hàm số) chỉ sự biến thiên của Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, $\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$. Công thức trên là đúng do:

$\begin{array}{cc}y+\mathrm{\Delta }y& =f(x+\mathrm{\Delta }x)\\ & =m(x+\mathrm{\Delta }x)+b=mx+m\mathrm{\Delta }x+b\\ & =y+m\mathrm{\Delta }x.\end{array}$

Suy ra

$\mathrm{\Delta }y=m\mathrm{\Delta }x.$

Biểu thức trên cho biết giá trị hệ số góc của một đường thẳng. Bản mẫu:Multiple image Nếu Bản mẫu:Math không phải là hàm bậc nhất (đồ thị của nó không phải là đường thẳng) thì tỉ số giữa mức thay đổi của Bản mẫu:Math và mức thay đổi của Bản mẫu:Math sẽ khác nhau trên khoảng được xét: phép vi phân là một cách để tìm một giá trị duy nhất của tốc độ thay đổi đó tại bất kỳ giá trị nào của Bản mẫu:Math. Ý tưởng này được thực hiện bằng cách tìm giới hạn của Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math tiến dần về 0, thể hiện qua các hình 1, 2, 3.

Định nghĩa và Ý nghĩa hình học

Một cát tuyến dần trở thành tiếp tuyến khi $\mathrm{\Delta }x\to 0$.

Cách tiếp cận phổ biến nhất để chuyển ý tưởng trực quan này thành định nghĩa rõ ràng là xác định rằng đạo hàm là giới hạn của tỉ sai phân của các số thực.

Gọi Bản mẫu:Math là hàm số thực xác định trên một lân cận mở của số thực Bản mẫu:Math. Trong hình học cổ điển, tiếp tuyến của đồ thị hàm Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math là đường thẳng duy nhất đi qua điểm Bản mẫu:Math thuộc đồ thị và không cắt ngang qua nó. Về mặt hình học, đạo hàm của Bản mẫu:Math đối với Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math là hệ số góc Bản mẫu:Math của tiếp tuyến đó tại Bản mẫu:Math. Giá trị này rất gần với hệ số góc của đường cát tuyến cắt đồ thị tại Bản mẫu:Math và một điểm lân cận Bản mẫu:Math. Nếu

$m=\frac{\mathrm{\Delta }f(a)}{\mathrm{\Delta }a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-(a)}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Biểu thức trên được gọi là tỉ sai phân Newton. Để đạt được kết quả chính xác nhất thì có thể dùng đến khái niệm giới hạn. Vì về mặt hình học, giới hạn của cát tuyến là tiếp tuyến của đồ thị nên giới hạn của biểu thức khi Bản mẫu:Math tiến về 0 (nếu có) là hệ số góc của tiếp tuyến tại Bản mẫu:Math. Giới hạn đó được gọi là đạo hàm của Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math:

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Khi giới hạn này tồn tại, Bản mẫu:Math được gọi là hàm số khả vi tại Bản mẫu:Math. Từ định nghĩa này, rõ ràng hàm số khả vi Bản mẫu:Math là hàm số tăng khi và chỉ khi đạo hàm của nó dương, và là hàm số giảm khi và chỉ khi đạo hàm của nó âm. Tính chất này thường được ứng dụng trong việc khảo sát tính đơn điệu của hàm, chẳng hạn như tìm các điểm cực trị.

Một cách tương đương, đạo hàm thỏa mãn tính chất

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-(f(a)+f^{\prime }(a)\cdot h)}{h}=0,$

và tính chất này có thể được hiểu bằng cách trực quan rằng tiếp tuyến của Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math (hình 1) cho xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất

$f(a+h)\approx f(a)+f^{\prime }(a)h$

đối với hàm Bản mẫu:Math tại một điểm gần Bản mẫu:Math (hay Bản mẫu:Math nhỏ).

Thay Bản mẫu:Math bằng 0 trong tỉ sai phân dẫn đến phép chia cho số 0, nên hệ số góc của tiếp tuyến không thể tìm được trực tiếp bằng cách này. Thay vào đó, ta đặt Bản mẫu:Math là một hàm số biến Bản mẫu:Math bằng với tỉ sai phân:

$Q(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Bản mẫu:Math là hệ số góc của cát tuyến giữa Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Math là hàm số liên tục, nghĩa là đồ thị của nó không bị đứt đoạn hay bẻ gập, thì Bản mẫu:Math là hàm số liên tục cách xa điểm Bản mẫu:Math. Nếu giới hạn Bản mẫu:Math tồn tại, tức là có thể gán cho Bản mẫu:Math một giá trị bất kỳ để Bản mẫu:Math là hàm số liên tục, thì Bản mẫu:Math khả vi tại Bản mẫu:Math và đạo hàm của nó tại Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math.

Trong thực tế, sự tồn tại tính liên tục của tỉ sai phân Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math có thể được chứng minh bằng cách biến đổi tử số để loại Bản mẫu:Math ở mẫu số. Phép biến đổi như vậy có thể giúp xác định giá trị giới hạn của Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math nhỏ, dù Bản mẫu:Math vẫn không xác định tại Bản mẫu:Math. Quá trình này có thể kéo dài với các hàm phức tạp, và nhiều kỹ thuật lối tắt có thể được dùng để rút ngắn quá trình đó.

Phương trình tiếp tuyến

Dựa vào ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta có phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $A(a;f(a))$ là $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$

Ví dụ

Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai Bản mẫu:Math có đạo hàm tại Bản mẫu:Math và đạo hàm đó bằng 6. Điều này có được bằng cách tính giới hạn của tỉ sai phân của Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math tiến về 0:$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(3)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(3+h{)}^2-3^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{9+6h+h^2-9}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{6h+h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(6+h).\end{array}$

Ta thấy tỉ sai phân trên là Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math và không xác định khi Bản mẫu:Math. Giới hạn của nó là kết quả của việc cho Bản mẫu:Math về 0 và là giá trị của Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math trở nên rất nhỏ:

$\underset{h\to 0}{\lim }(6+h)=6+0=6.$

Vậy hệ số góc của đồ thị hàm số tại điểm Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math và đạo hàm của hàm số tại Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math.

Tổng quát, đạo hàm của hàm số bậc hai tại Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(a)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2ah+h^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }(2a+h)=2a\end{array}$

Tính khả vi và tính liên tục

Hàm số này không có đạo hàm tại điểm được đánh dấu vì nó không liên tục tại đó.

Nếu Bản mẫu:Math có đạo hàm tại Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math cũng phải liên tục trên Bản mẫu:Math. Lấy ví dụ, chọn một điểm Bản mẫu:Math và coi Bản mẫu:Math như là một hàm bước có giá trị là 1 với mọi Bản mẫu:Math nhỏ hơn Bản mẫu:Math và 10 với mọi Bản mẫu:Math lớn hơn hoặc bằng Bản mẫu:Math. Bản mẫu:Math không thể có đạo hàm tại Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Math âm thì cát tuyến từ Bản mẫu:Math đến Bản mẫu:Math sẽ rất dốc, và khi Bản mẫu:Math dần về 0 thì hệ số góc sẽ dần đến vô cực. Nếu Bản mẫu:Math dương thì cát tuyến từ Bản mẫu:Math đến Bản mẫu:Math có hệ số góc bằng 0. Trong mỗi trường hợp trên, cát tuyến không đạt đến một hệ số góc duy nhất, nên giới hạn của tỉ sai phân không tồn tại.

Hàm giá trị tuyệt đối là hàm liên tục, nhưng không khả vi tại Bản mẫu:Math vì các giá trị hệ số góc của tiếp tuyến vẽ từ bên trái trục tung và từ bên phải trục tung là không bằng nhau

Tuy vậy, một hàm số có thể liên tục tại một điểm nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. Chẳng hạn, hàm giá trị tuyệt đối Bản mẫu:Math liên tục tại Bản mẫu:Math nhưng không có đạo hàm tại đó. Nếu Bản mẫu:Math dương thì hệ số góc của cát tuyến từ 0 đến Bản mẫu:Math là 1, còn nếu Bản mẫu:Math âm thì hệ số góc đó bằng -1. Trên mặt phẳng tọa độ, đồ thị của hàm số đó bị "bẻ gập" tại Bản mẫu:Math. Kể cả hàm số có đồ thị trơn cũng không khả vi tại một điểm mà tiếp tuyến qua nó nằm dọc, chẳng hạn, hàm số Bản mẫu:Math không có đạo hàm tại Bản mẫu:Math.

Tóm lại, một hàm số có đạo hàm là hàm số liên tục, nhưng có những hàm liên tục lại không có đạo hàm.

Phần lớn hàm số trong thực tế có đạo hàm tại mọi điểm (hoặc tại hầu hết mọi điểm). Trong thời kì đầu của lịch sử ngành giải tích, nhiều nhà toán học cho rằng một hàm số liên tục luôn có đạo hàm tại nhiều điểm. Năm 1872, Weierstrass phát hiện ví dụ đầu tiên về một hàm số liên tục tại mọi điểm nhưng không khả vi tại bất cứ đâu. Hàm đó sau này được đặt tên là hàm Weierstrass. Năm 1931, Stefan Banach chứng minh được rằng tập hợp các hàm số có đạo hàm tại một số điểm nhất định là tập con rất nhỏ so với tập hợp các hàm liên tục.

Đạo hàm là một hàm số

Đạo hàm của một hàm khả vi tại các điểm khác nhau. Ở đây ta có $f^{\prime }(x)=\sin \left(x^2\right)+2x^2\cos \left(x^2\right)$

Gọi Bản mẫu:Math là hàm số luôn có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định. Chúng ta có thể tìm được một hàm số mà với Bản mẫu:Math bất kì, giá trị của hàm bằng với giá trị của đạo hàm của Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math. Hàm số đó được gọi là đạo hàm của Bản mẫu:Math và kí hiệu là Bản mẫu:Math.

Thỉnh thoảng Bản mẫu:Math có đạo hàm tại phần lớn điểm trên tập xác định (không phải mọi điểm). Hàm số mà giá trị của nó tại Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math xác định, và không xác định tại mọi điểm khác, cũng được gọi là đạo hàm của Bản mẫu:Math, dù tập xác định của nó hoàn toàn nhỏ hơn.

Bằng ý tưởng này, phép vi phân trở thành một hàm hợp: đạo hàm là một toán tử mà tập xác định của nó là tập hợp tất cả các hàm số có đạo hàm tại mọi điểm trên tập xác định và tập hợp đích của nó là một tập hợp các hàm số. Kí hiệu toán tử trên là Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math là hàm số Bản mẫu:Math. Bản mẫu:Math là hàm số xác định tại Bản mẫu:Math nên ta có Bản mẫu:Math.

Để so sánh, ta xét hàm số Bản mẫu:Math: Bản mẫu:Math là hàm số thực có đầu vào là một số, đầu ra cũng là một số:

$\begin{array}{cc}1& \mapsto 2,\\ 2& \mapsto 4,\\ 3& \mapsto 6.\end{array}$

Toán tử Bản mẫu:Math chỉ xác định trên các hàm số:

$\begin{array}{cc}D(x\mapsto 1)& =(x\mapsto 0),\\ D(x\mapsto x)& =(x\mapsto 1),\\ D(x\mapsto x^2)& =(x\mapsto 2\cdot x).\end{array}$

Đầu ra của Bản mẫu:Math là một hàm số, có thể định được giá trị tại một điểm. Ví dụ: đầu vào của Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math cho đầu ra Bản mẫu:Math mà ta gọi là Bản mẫu:Math. Các giá trị tương ứng của đầu ra đó là Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math,...

Đạo hàm cấp cao

Gọi Bản mẫu:Math là hàm số khả vi và Bản mẫu:Math là đạo hàm của nó. Đạo hàm của Bản mẫu:Math (nếu có) được gọi là đạo hàm cấp hai của Bản mẫu:Math và kí hiệu là Bản mẫu:Math. Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp hai (nếu có) được gọi là đạo hàm cấp ba của Bản mẫu:Math và kí hiệu là Bản mẫu:Math. Cứ như vậy, ta xác định đạo hàm cấp Bản mẫu:Math là đạo hàm của đạo hàm cấp Bản mẫu:Math. Các đạo hàm trên được gọi chung là đạo hàm cấp cao.

Nếu Bản mẫu:Math mô tả vị trí của một vật ở thời gian Bản mẫu:Math thì mỗi đạo hàm cấp cao của Bản mẫu:Math mang một ý nghĩa riêng trong vật lý. Đạo hàm cấp một của Bản mẫu:Math là vận tốc của vật. Đạo hàm cấp hai của Bản mẫu:Math là gia tốc. Đạo hàm cấp ba của Bản mẫu:Math là độ giật,...

Một hàm số Bản mẫu:Math không cần phải có đạo hàm (chẳng hạn, nếu hàm đó không liên tục). Tương tự, ngay cả khi Bản mẫu:Math có đạo hàm, nó có thể không có đạo hàm cấp hai. Chẳng hạn, cho hàm số

$f(x)=\{\begin{array}{cc}+x^2,& \text{khi }x\ge 0\\ -x^2,& \text{khi }x\le 0.\end{array}$

Bản mẫu:Math là hàm số khả vi và đạo hàm của nó tại Bản mẫu:Math là

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}+2x,& \text{khi }x\ge 0\\ -2x,& \text{khi }x\le 0.\end{array}$

Bản mẫu:Math không có đạo hàm tại Bản mẫu:Math. Những ví dụ tương tự cho thấy một hàm số có thể có đạo hàm cấp Bản mẫu:Math (với Bản mẫu:Math là số nguyên dương) nhưng không có đạo hàm cấp Bản mẫu:Math. Một hàm số có Bản mẫu:Math đạo hàm liên tiếp thì khả vi Bản mẫu:Math lần. Nếu đạo hàm thứ Bản mẫu:Math là liên tục thì hàm số sẽ thuộc lớp khả vi Bản mẫu:Math. Một hàm số có vô số đạo hàm là hàm khả vi vô hạn.

Trên trục số thực, mọi hàm số đa thức đều là hàm khả vi vô hạn. Theo quy tắc tính đạo hàm, đa thức bậc Bản mẫu:Math sau Bản mẫu:Math lần vi phân sẽ thành hàm hằng, và mọi đạo hàm tiếp theo đều bằng 0.

Đạo hàm của hàm số Bản mẫu:Math tại một điểm Bản mẫu:Math cho ta phép tính đa thức gần đúng với một hàm Bản mẫu:Math(Bản mẫu:Math). Ví dụ, nếu Bản mẫu:Math (x)khả vi hai lần thì

$f(x+h)\approx f(x)+f^{\prime }(x)h+\frac{1}{2}{f}^{″}(x)h^2$

vì

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h-\frac{1}{2}{f}^{″}(x)h^2}{h^2}=0.$

Nếu Bản mẫu:Math khả vi vô hạn thì đây là phần đầu của chuỗi Taylor với Bản mẫu:Math tính được tại Bản mẫu:Math gần với Bản mẫu:Math.

Điểm uốn

Bản mẫu:ChínhMột điểm mà tại đó đạo hàm cấp hai của hàm số đổi dấu được gọi là điểm uốn. Tại điểm uốn, đạo hàm cấp hai có thể bằng 0 (như tại điểm uốn Bản mẫu:Math của hàm số $f(x)=x^3$) hoặc không tồn tại (như tại điểm uốn Bản mẫu:Math của hàm số $f(x)=x^{\frac{1}{3}}$). Tại điểm uốn, hàm số chuyển từ hàm lồi sang hàm lõm và ngược lại.

Ký hiệu

Ký hiệu của Leibniz

Bản mẫu:Chính Các kí hiệu $dx$, $dy$ và $\frac{dy}{dx}$ được giới thiệu lần đầu tiên bởi Gottfried Wilhelm Leibniz vào năm 1675.

Quy tắc tính đạo hàm

Đạo hàm của hàm số có thể được tính theo định nghĩa bằng cách tìm tỉ sai phân của hàm và tính giới hạn của nó. Trong thực tế, từ một số hàm đơn giản, đạo hàm của các hàm số khác phức tạp được tính dễ dàng hơn bằng cách áp dụng các quy tắc nhất định.

Đạo hàm của hàm số sơ cấp

Dưới đây là quy tắc tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp, với a hoặc $\alpha$ là một số thực.Bản mẫu:Sfn

• Đạo hàm của hàm lũy thừa: $(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$
  • Đặc biệt: $\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$
  • Đạo hàm căn bậc hai: $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
  • Đạo hàm căn bậc n: $(\sqrt[n]{x}{)}^{\prime }=\frac{\sqrt[n]{x^{1-n}}}{n}=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}}$
• Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$(e^x{)}^{\prime }=e^x$

$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}(x>0)$

$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

• Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

$(\tan x{)}^{\prime }=1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

$(\cot x{)}^{\prime }=-(1+{\cot }^{2}x)=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

• Đạo hàm của hàm lượng giác ngược:

$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x<1)$

$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x<1)$

$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

Đạo hàm của hàm hợp

Nhiều lúc việc tính đạo hàm bằng tỉ sai phân Newton rất phức tạp, ta có thể tránh điều này qua một số quy tắc sau:

• Đạo hàm của hằng số: $(C{)}^{\prime }=0$
• Quy tắc cộng: $(\alpha f+\beta g{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }+\beta g^{\prime }$ với mọi hàm số f và g và mọi số thực $\alpha$ và $\beta$. (1)
• Quy tắc nhân:

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ với mọi hàm số f và g.

$(\alpha f{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }$ với $\alpha$ là hằng số. (2)

• Quy tắc chia: $\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ (g khác 0)
• Quy tắc hàm hợp: Nếu $f(x)=h(g(x))$ thì $f^{\prime }(x)=h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$

Các quy tắc (1) và (2) cho thấy đạo hàm là một ánh xạ tuyến tính.

Hệ quả

Từ các quy tắc trên, ta suy ra:

• Với u là hàm số:
  • Đạo hàm lũy thừa: $(u^n{)}^{\prime }=u^{\prime }n{u}^{n-1}$
    • Đặc biệt: $\left(\frac{1}{u}\right)=-\frac{u^{\prime }}{u^2}$
  • Đạo hàm căn bậc hai: $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$
  • Đạo hàm căn bậc n: $(\sqrt[n]{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{n\sqrt[n]{u^{n-1}}}$
  • Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{e}^u$

$(a^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{a}^u\ln a$

$(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$

$({\log }_{a}u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u\ln a}$

• Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cos u$

$(\cos u{)}^{\prime }=-u^{\prime }\sin u$

$(\tan u{)}^{\prime }=u^{\prime }(1+{\tan }^{2}u)=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}$

$(\cot u{)}^{\prime }=-u^{\prime }(1+{\cot }^{2}u)=-\frac{u^{\prime }}{{\sin }^{2}u}$

• Đạo hàm của các phân thức hữu tỉ:

$\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)=\frac{\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|}{(cx+d{)}^2}=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$

$\left(\frac{a{x}^2+bx+c}{ex+f}\right)=\frac{ae{x}^2+2afx+(bf-ce)}{(ex+f{)}^2}$

$\left(\frac{a_1{x}^2+b_{1}x+c_1}{a_2{x}^2+b_{2}x+c_2}\right)=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|x^2+2\left|\begin{array}{cc}{a}_1& c_1\\ a_2& c_2\end{array}\right|x+\left|\begin{array}{cc}{b}_1& c_1\\ b_2& c_2\end{array}\right|}{(a_2{x}^2+b_{2}x+c_2{)}^2}$

Đạo hàm cấp cao

• Đạo hàm lũy thừa: $(x^m{)}^{(n)}=\{\begin{array}{cc}m(m-1)(m-2)...(m-n+1)x^{m-n}& (m\ge n)\\ 0& (m<n)\end{array}$
• Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:

$({\log }_{a}x{)}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}\frac{(n-1)!}{\ln a}\frac{1}{x^n}$

$(\ln x{)}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}(n-1)!x^{-n}$

$(e^{kx}{)}^{(n)}=k^n{e}^{kx}$

$(a^x{)}^{(n)}=(\ln a{)}^n{a}^x$

• Đạo hàm của hàm số lượng giác:

$(\sin ax{)}^{(n)}=a^n\sin (ax+\frac{n\pi }{2})$

$(\cos ax{)}^{(n)}=a^n\cos (ax+\frac{n\pi }{2})$

• Đạo hàm của phân thức hữu tỉ: ${\left(\frac{1}{ax+b}\right)}^{(n)}=(-1{)}^n{a}^{n}n!\frac{1}{(ax+b{)}^{n+1}}$

Đạo hàm trong không gian

Hàm vectơ

Hàm vectơ y của một biến số thực cho giá trị vectơ trong không gian Rⁿ với mỗi số thực bất kì. Một hàm vectơ có thể được chia thành các hàm tọa độ y₁(t), y₂(t),..., y_n(t), tức là y(t) = (y₁(t),..., y_n(t)). Nó cũng bao gồm các phương trình tham số tại R² hay R³. Các hàm tọa độ này là hàm số thực, nên định nghĩa đạo hàm cũng đúng với chúng. Đạo hàm của y(t) là một vectơ, được gọi là vectơ tiếp tuyến, mà tọa độ của nó là đạo hàm của các hàm tọa độ, nghĩa là:

${\mathbf{\text{y}}}^{\prime }(t)=({y_1}^{\prime }(t),...,{y_n}^{\prime }(t))$

hay

${\mathbf{\text{y}}}^{\prime }(t)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{\text{y}}(t+h)-\mathbf{\text{y}}(t)}{h}$

nếu giới hạn đó tồn tại. Ở đây tử thức là một đại lượng vectơ, không phải đại lượng vô hướng. Nếu đạo hàm của y tồn tại với mọi giá trị của t thì y' cũng là một hàm vectơ.

Nếu e₁,..., e_n là các vectơ đơn vị trong Rⁿ thì y(t) có thể được viết thành y₁(t)e₁ +... + y_n(t)e_n. Vì mỗi vectơ đơn vị đều là hằng số nên theo quy tắc nhân:

${\mathbf{\text{y}}}^{\prime }(t)={y_1}^{\prime }(t){\mathbf{\text{e}}}_1+...+{y_n}^{\prime }(t){\mathbf{\text{e}}}_n$

Trong vật lý, nếu y(t) là vectơ vị trí của một chất điểm tại thời điểm t thì y'(t) là vectơ vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm t.

Đạo hàm riêng

Bản mẫu:ChínhGọi f là hàm số đa biến, chẳng hạn:

$f(x,y)=x^2+xy+y^2$

f còn được gọi là họ các hàm một biến được biểu thị bởi biến số khác:

$f(x,y)=f_x(y)=x^2+xy+y^2$

Nói cách khác, mỗi giá trị của x xác định một hàm đơn biến f_x:

$x\mapsto f_x,$

$f_x(y)=x^2+xy+y^2.$

Chọn một giá trị x = a, ta có hàm số f_a:

$f_a(y)=a^2+ay+y^2.$

Ở đây a là hằng số, không phải là biến nên f_a là hàm đơn biến. Theo định nghĩa đạo hàm đơn biến thì

${f_a}^{\prime }(y)=a+2y.$

Lặp lại tương tự với mọi giá trị khác của a. Tổng hợp lại, ta có hàm số biểu diễn sự biến thiên của f theo y:

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x+2y.$

Đó là đạo hàm riêng của f theo y. Ở đây ∂ được gọi là kí hiệu đạo hàm riêng. Tổng quát, đạo hàm riêng của hàm f(x₁,..., x_n) theo hướng x_i tại điểm (a₁,..., a_n) là:

$\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\dots ,a_n)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a_1,\dots ,a_i+h,\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_i,\dots ,a_n)}{h}.$

Trong tỉ sai phân trên, mọi biến trừ x_i đều mang giá trị không đổi, nên hàm đơn biến sau được xác định:

$f_{a_1,\dots ,a_{i-1},a_{i+1},\dots ,a_n}(x_i)=f(a_1,\dots ,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\dots ,a_n),$

và theo định nghĩa:

$\frac{d{f}_{a_1,\dots ,a_{i-1},a_{i+1},\dots ,a_n}}{d{x}_i}(x_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\dots ,a_n).$

Nói cách khác, với các giá trị khác nhau của a, ta xác định được một họ các hàm đơn biến như ví dụ trên đây.

Một ví dụ quan trọng của hàm đa biến là trường hợp một hàm vô hướng f(x₁,..., x_n) xác định trên một miền của không gian Euclid Rⁿ (chẳng hạn, R² hay R³). Trong trường hợp này, f có đạo hàm riêng ∂f/∂x_j với mỗi biến x_j. Tại điểm (a₁,..., a_n), các đạo hàm riêng này định ra vectơ

$\mathrm{\nabla }f(a_1,\dots ,a_n)=(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,\dots ,a_n),\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1,\dots ,a_n)).$

Vectơ này được gọi là gradien của f tại a. Nếu f khả vi tại mọi điểm trong miền xác định thì gradien là một hàm vectơ ∇f đưa một điểm (a₁,..., a_n) đến vectơ ∇f(a₁,..., a_n). Do đó, gradien là một trường vectơ.

Đạo hàm có hướng

Nếu f là hàm số thực trên Rⁿ thì đạo hàm riêng của f mô tả sự biến thiên của nó theo hướng của các trục tọa độ. Chẳng hạn, nếu f là một hàm gồm hai biến x và y thì các đạo hàm riêng của f biểu diễn sự biến thiên của nó theo hai trục x và y. Tuy nhiên, chúng không trực tiếp biểu diễn được sự biến thiên của f theo các trục khác (như đường thẳng y = x). Để khắc phục, ta sử dụng đạo hàm có hướng. Chọn một vectơ

$\mathbf{\text{v}}=(v_1,\dots ,v_n).$

Đạo hàm có hướng của f theo hướng của v tại điểm x là giới hạn

$D_{\mathbf{\text{v}}}f(\mathbf{\text{x}})=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(\mathbf{\text{x}}+h\mathbf{\text{v}})-f(\mathbf{\text{x}})}{h}.$

Trong nhiều trường hợp, để hỗ trợ tính toán, ta thường thay đổi độ dài vectơ để quy về bài toán tính đạo hàm có hướng theo một vectơ đơn vị. Để chứng minh hiệu quả, ta đặt v = λu. Thay h = k/λ vào tỉ sai phân, ta có:

$\frac{f(\mathbf{\text{x}}+(k/\lambda )(\lambda \mathbf{\text{u}}))-f(\mathbf{\text{x}})}{k/\lambda }=\lambda \cdot \frac{f(\mathbf{\text{x}}+k\mathbf{\text{u}})-f(\mathbf{\text{x}})}{k}.$

hay bằng λ lần tỉ sai phân của đạo hàm có hướng của f theo u. Hơn nữa, việc lấy giới hạn khi h tiến về 0 cũng giống như khi k tiến về 0 vì h và k là bội số của nhau. Do đó, D_v(f) = λD_u(f). Vì tính chất này nên thường ta chỉ xét đạo hàm có hướng đối với các vectơ đơn vị.

Nếu tất cả đạo hàm riêng của f tồn tại và liên tục tại x thì chúng xác định đạo hàm có hướng của f theo hướng của v bằng công thức:

$D_{𝐯}f(𝒙)=\sum _{j=1}^n{v}_j\frac{\partial f}{\partial x_j}.$

Đó là hệ quả của định nghĩa đạo hàm tổng. Theo đó, đạo hàm có hướng tuyến tính trên v, nghĩa là D_{v + w}(f) = D_v(f) + D_w(f).

Định nghĩa trên cũng đúng khi f là hàm số lấy giá trị trong R^m. Khi đó, đạo hàm có hướng là một vectơ trong R^m.

Đạo hàm tổng, vi phân tổng và ma trận Jacobi

Bản mẫu:Chính Khi f là hàm số xác định trên một tập mở của Rⁿ đến R^m thì đạo hàm có hướng của f theo một hướng xác định là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của f tại điểm đó và theo hướng đó. Nhưng khi n > 1 thì không đạo hàm có hướng nào có thể mô tả trạng thái biến thiên của f một cách toàn diện. Để khắc phục, ta sử dụng đạo hàm tổng. Với mỗi vectơ v bắt đầu tại a, ta có:

$f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})\approx f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})+f^{\prime }(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}.$

Giống như đạo hàm đơn biến, f'(a) được chọn sao cho sai số trong biểu thức là thấp nhất có thể.

Nếu n và m cùng bằng 1 thì đạo hàm f'(a) là một số và f'(a)v là tích của hai số. Nhưng trong không gian, f'(a) không thể là một số, vì nếu vậy thì f'(a)v phải là một vectơ trên Rⁿ và số hạng còn lại là vectơ trên R^m, đó là điều vô lý. Do đó, f'(a) phải là một hàm đưa vectơ ở Rⁿ đến vectơ ở R^m và f'(a)v phải chứng tỏ hàm đó xác định tại v.

Để tìm xem hàm đó có dạng gì, chú ý rằng phép xấp xỉ tuyến tính có thể được viết lại thành

$f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})-f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})\approx f^{\prime }(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}.$

Nếu ta chọn một vectơ w khác v thì biểu thức này xác định thêm một phép xấp xỉ tuyến tính khác bằng cách thay v bằng w. Nó cũng xác định một phép xấp xỉ tuyến tính thứ ba bằng cách thay v bằng w và thay a bằng a + v. Trừ vế cho vế ở hai biểu thức trên, ta được

$f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}})-f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})-f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}})+f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})\approx f^{\prime }(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}}-f^{\prime }(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}}.$

Nếu coi v là nhỏ và đạo hàm đó biến đổi liên tục trên a thì f'(a + v) xấp xỉ bằng f'(a) nên vế phải xấp xỉ bằng 0. Bằng cách ứng dụng phép xấp xỉ tuyến tính với v thay bằng v + w, ta viết lại vế trái như sau:

$\begin{array}{cc}0& \approx f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}})-f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})-f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}})+f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})\\ & =(f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}})-f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}))-(f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}})-f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}))-(f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}})-f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}))\\ & \approx f^{\prime }(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}})-f^{\prime }(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}-f^{\prime }(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">w</mi>}}.\\ \end{array}$

Điều này chứng tỏ rằng f'(a) là phép biến đổi tuyến tính từ không gian vectơ Rⁿ sang không gian vectơ R^m.

Thực tế, đạo hàm đơn biến là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất vì đó là giới hạn của tỉ sai phân. Tuy nhiên, biểu thức này không hợp lý trong không gian, vì không phải lúc nào ta cũng thực hiện được phép chia các vectơ. Đặc biệt, trong tỉ sai phân, tử thức và mẫu thức không thuộc cùng một không gian vectơ: tử thuộc tập con Rⁿ còn mẫu thuộc tập R^m. Hơn nữa, đạo hàm là phép biến đổi tuyến tính, do đó, để f'(a) là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất thì cần điều chỉnh một công thức khác cho đạo hàm đơn biến để giải quyết vấn đề. Nếu f: R → R, ta biến đổi biểu thức để cho thấy đạo hàm của f tại a là một số f'(a) duy nhất sao cho

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-(f(a)+f^{\prime }(a)h)}{h}=0$

hoặc đồng nghĩa với

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{|f(a+h)-(f(a)+f^{\prime }(a)h)|}{|h|}=0$

vì giới hạn của biểu thức bằng 0 khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của nó tiến về 0. Biểu thức cuối có thể áp dụng được cho hàm đa biến bằng cách thay giá trị tuyệt đối bằng chuẩn.

Do đó, người ta định nghĩa: Đạo hàm tổng của f tại a là phép biến đổi tuyến tính duy nhất f'(a): Rⁿ → R^m sao cho

$\underset{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">h</mi>}}\to 0}{\lim }\frac{\Vert f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}}+\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">h</mi>}})-(f(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})+f^{\prime }(\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">a</mi>}})\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">h</mi>}})\Vert }{\Vert \mathbf{\text{<mi fromhbox="1">h</mi>}}\Vert }=0.$

Nếu đạo hàm tổng này tồn tại ở a thì tất cả đạo hàm riêng và đạo hàm có hướng của f đều tồn tại ở a, và với mọi v, f'(a)v là đạo hàm có hướng của f theo hướng v. Nếu ta viết lại f theo các hàm tọa độ, tức là f = (f₁, f₂,..., f_m) thì đạo hàm tổng có thể được biểu thị bằng cách coi các đạo hàm riêng như là một ma trận. Ma trận đó được gọi là ma trận Jacobi của f tại a:

$f^{\prime }(𝐚)={\mathrm{Jac}}_{𝐚}={\left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)}_{ij}.$

Nếu đạo hàm riêng tồn tại và liên tục thì đạo hàm tổng tồn tại, được xác định bằng ma trận Jacobi và phụ thuộc liên tục vào a.

Định nghĩa đạo hàm tổng còn gộp vào thêm định nghĩa đạo hàm đơn biến, tức là, nếu f là hàm số thực đơn biến thì đạo hàm tổng tồn tại khi và chỉ khi đạo hàm thường của nó tồn tại. Ma trận Jacobi khi đó được thu gọn thành ma trận 1×1, trong đó đạo hàm f'(x) là phần tử duy nhất. Ma trận 1×1 này thỏa mãn tính chất f(a + h) - (f(a) + f'(a)h) có giá trị xấp xỉ bằng 0, hay

$f(a+h)\approx f(a)+f^{\prime }(a)h.$

Đây cũng là phát biểu cho rằng hàm $x\mapsto f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$ là phép xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của f tại a.

Lịch sử

Bản mẫu:Chính Vi tích phân là một nhánh của toán học tập trung vào giới hạn, hàm số, đạo hàm, tích phân và chuỗi vô hạn. Isaac Newton và Gottfried Leibniz tìm ra vi tích phân vào giữa thế kỷ 17.

Ứng dụng của đạo hàm

Ý nghĩa vật lí

Vận tốc tức thời

Xét một chuyển động thẳng có phương trình dạng $s=s(t)$, với $s(t)$ là một hàm số có đạo hàm. Khi đó vận tốc tức thời xác định bằng công thức $v(t_0)=s^{\prime }(t_0)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$.

Cường độ tức thời của dòng điện

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số thời gian của t hay $Q=Q(t)$ với cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian $|t-t_0|$là $I=\frac{Q(t)-Q(t_0)}{t-t_0}$ hay chỉ là $I(t_0)=Q^{\prime }(t_0)$

Khảo sát sự biến thiên hàm số bằng đạo hàm

Xét tính đơn điệu của hàm số

Ta có thể rút ra tính đơn điệu của một hàm số trên khoảng dựa vào định lý sau:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng K. Nếu $f^{\prime }(x)>0,\mathrm{\forall }x\in K$ thì hàm số đồng biến trên K, còn nếu $f^{\prime }(x)<0,\mathrm{\forall }x\in K$ thì hàm số nghịch biến trên K.Bản mẫu:Sfn

Nếu $f^{\prime }(x)\ge 0(f^{\prime }(x)\le 0)\mathrm{\forall }x\in K,f(x)=0$ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.Bản mẫu:Sfn

Điều kiện để hàm số có cực trị

Có một điều kiện đủ để xác định điểm cực trị như sau:Bản mẫu:Sfn

Giả sử có số thực dương h và hàm $y=f(x)$ liên tục trên $K=(x_0-h;x_0+h)$ và có đạo hàm trên $K$. hoặc trên $K\setminus \left\{x_0\right\}$.

Nếu $f^{\prime }(x)>0,\mathrm{\forall }x\in (x_0-h;x_0)$ và $f^{\prime }(x)<0,\mathrm{\forall }x\in (x_0;x_0+h)$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số $f(x)$.

Nếu $f^{\prime }(x)<0,\mathrm{\forall }x\in (x_0-h;x_0)$ và $f^{\prime }(x)>0,\mathrm{\forall }x\in (x_0;x_0+h)$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$.

Sử dụng đạo hàm cấp 2

Giả sử có số thực dương h và hàm $y=f(x)$ liên tục trên $K=(x_0-h;x_0+h)$ và có đạo hàm cấp 2 trên $K$.hoặc trên $K\setminus \left\{x_0\right\}$. Khi đó có kết quả sau:Bản mẫu:Sfn

Nếu $f^{\prime }(x_0)=0,f^{″}(x_0)>0$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số.

Nếu $f^{\prime }(x_0)=0,f^{″}(x_0)<0$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số.

Thư mục

Sách in

• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Chú thích sách

Sách trực tuyến

• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation

Liên kết ngoài

• Derivative trong Encyclopædia Britannica
• Đạo hàmBản mẫu:Liên kết hỏng trong Từ điển bách khoa Việt Nam
• Khan Academy: "Newton, Leibniz, and Usain Bolt"
• Bản mẫu:MathWorld
• Online Derivative Calculator từ Wolfram Alpha.