Xem mã nguồn của Đa thức cực tiểu (đại số tuyến tính)

Trong [[đại số tuyến tính]], '''đa thức cực tiểu''' {{Math|''μ<sub>A</sub>''}} của một [[Ma trận (toán học)|ma trận]] {{Math|''n'' × ''n''}}  {{Mvar|A}} trên một [[Trường (đại số)|trường]] {{Math|'''F'''}} là một [[đa thức monic]] {{Mvar|P}} trên {{Math|'''F'''}} với bậc thấp nhất sao cho {{Math|''P''(''A'') {{=}} 0}}. Bất kỳ đa thức {{Mvar|Q}} nào khác sao cho {{Math|''Q''(''A'') {{=}} 0}} là một bội của {{Math|''μ<sub>A</sub>''}}.

Các khẳng định sau là tương đương:

# {{Mvar|λ}} là một nghiệm của {{Math|''μ<sub>A</sub>''}},
# {{Mvar|λ}} là một nghiệm của đa thức đặc trưng {{Math|''χ<sub>A</sub>''}} of {{Mvar|A}},
# {{Mvar|λ}} là một [[giá trị riêng]] của ma trận {{Mvar|A}}.

'''Độ bội''' (hay '''số bội''') của một nghiệm {{Mvar|λ}} của {{Math|''μ<sub>A</sub>''}} là lũy thừa {{Mvar|m}} lớn nhất sao cho {{Math|ker((''A'' − ''λI<sub>n</sub>'')<sup>''m''</sup>)}} bao hàm ''ngặt'' {{Math|ker((''A'' − ''λI<sub>n</sub>'')<sup>''m''−1</sup>)}}. Nói cách khác, việc tăng số mũ lên đến {{Mvar|m}} sẽ cho [[Hạch (đại số)|hạch]] tăng liên tục, nhưng tăng thêm số mũ lớn hơn {{Mvar|m}} thì chỉ cho cùng một hạch.

== Định nghĩa ==
Cho một tự đồng cấu {{Mvar|T}} trên [[không gian vectơ]] hữu hạn {{Mvar|V}} trên một [[Trường (đại số)|trường]] {{Math|'''F'''}}, đặt {{Math|''I<sub>T</sub>''}} là tập hợp

: <math> \mathit{I}_T = \{ p \in \mathbf{F}[t] \mid p(T) = 0 \} </math>

trong đó {{Math|'''F'''[''t'']}} là không gian của tất cả các đa thức trên trường {{Math|'''F'''}}. {{Math|''I<sub>T</sub>''}} là một [[I-đê-an|i-đê-an đích thực]] của {{Math|'''F'''[''t'']}}. Vì {{Math|'''F'''}} là một trường, {{Math|'''F'''[''t'']}} là miền chính, do đó, bất kỳ i-đê-an nào cũng là một i-đê-an chính. '''Đa thức cực tiểu''' được định nghĩa là đa thức monic duy nhất sinh {{Math|''I<sub>T</sub>''}}. Đây là đa thức monic bậc thấp nhất trong {{Math|''I<sub>T</sub>''}}

=== Thí dụ ===
Đa thức cực tiểu của ma trận đơn vị là <math>t-1\in k[t]</math>, trong khi [[Đa thức đặc trưng (đại số tuyến tính)|đa thức đặc trưng]] của ma trận đơn vị là <math>(t-1)^n</math>. Tương tự, đa thức cực tiểu của ma trận <math>0</math> là <math>t</math>, và đa thức đặc trưng của nó là <math>t^n</math>.

== Tham khảo ==

* Lang, Serge (2002), ''Algebra'', Giáo trình cao học, 211 (Sửa đổi lần thứ ba.), New York: Springer-Verlag

{{sơ khai}}

[[Thể loại:Đa thức]]
[[Thể loại:Đại số tuyến tính]]