Đa thức cực tiểu (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính, đa thức cực tiểu Bản mẫu:Math của một ma trận Bản mẫu:Math Bản mẫu:Mvar trên một trường Bản mẫu:Math là một đa thức monic Bản mẫu:Mvar trên Bản mẫu:Math với bậc thấp nhất sao cho Bản mẫu:Math. Bất kỳ đa thức Bản mẫu:Mvar nào khác sao cho Bản mẫu:Math là một bội của Bản mẫu:Math.

Các khẳng định sau là tương đương:

1. Bản mẫu:Mvar là một nghiệm của Bản mẫu:Math,
2. Bản mẫu:Mvar là một nghiệm của đa thức đặc trưng Bản mẫu:Math of Bản mẫu:Mvar,
3. Bản mẫu:Mvar là một giá trị riêng của ma trận Bản mẫu:Mvar.

Độ bội (hay số bội) của một nghiệm Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Math là lũy thừa Bản mẫu:Mvar lớn nhất sao cho Bản mẫu:Math bao hàm ngặt Bản mẫu:Math. Nói cách khác, việc tăng số mũ lên đến Bản mẫu:Mvar sẽ cho hạch tăng liên tục, nhưng tăng thêm số mũ lớn hơn Bản mẫu:Mvar thì chỉ cho cùng một hạch.

Định nghĩa

Cho một tự đồng cấu Bản mẫu:Mvar trên không gian vectơ hữu hạn Bản mẫu:Mvar trên một trường Bản mẫu:Math, đặt Bản mẫu:Math là tập hợp

${𝐼}_T=\{p\in 𝐅[t]\mid p(T)=0\}$

trong đó Bản mẫu:Math là không gian của tất cả các đa thức trên trường Bản mẫu:Math. Bản mẫu:Math là một i-đê-an đích thực của Bản mẫu:Math. Vì Bản mẫu:Math là một trường, Bản mẫu:Math là miền chính, do đó, bất kỳ i-đê-an nào cũng là một i-đê-an chính. Đa thức cực tiểu được định nghĩa là đa thức monic duy nhất sinh Bản mẫu:Math. Đây là đa thức monic bậc thấp nhất trong Bản mẫu:Math

Thí dụ

Đa thức cực tiểu của ma trận đơn vị là $t-1\in k[t]$, trong khi đa thức đặc trưng của ma trận đơn vị là $(t-1{)}^n$. Tương tự, đa thức cực tiểu của ma trận $0$ là $t$, và đa thức đặc trưng của nó là $t^n$.

Tham khảo

• Lang, Serge (2002), Algebra, Giáo trình cao học, 211 (Sửa đổi lần thứ ba.), New York: Springer-Verlag