I-đê-an

Bản mẫu:Ring theory sidebar Trong lý thuyết vành, một nhánh của đại số trừu tượng, i-đê-an là một khái niệm tổng quá hóa khái niệm bội số.

Định nghĩa

Đối với một vành tùy ý $(R, +, \cdot)$ , ký hiệu cho $(R, +)$ là nhóm cộng nền của nó. Một tập hợp con $I$ được gọi là i-đê-an trái nếu:

Tương tự, ta có thể định nghĩa i-đê-an phải và i-đê-an hai phía.

Một i-đê-an (không có giải thích thêm) thông thường được ngầm hiểu là một i-đê-an trái hoặc một i-đê-an hai phía, tùy ngữ cảnh.

Trong vành R, chính tập hợp R tạo thành một i-đê-an hai phía. Nó là i-đê-an chính $(1)$ , được gọi là i-đê-an đơn vị.
Một i-đê-an khác đơn vị được gọi là một i-đê-an đích thực (giống như là tập con đích thực).^[1]
Các số chẵn tạo thành một i-đê-an của vành các số nguyên $ℤ$ ; nó thường được ký hiệu là $2 ℤ$ . Tương tự, i-đê-an các bội số của một số nguyên $n$ được ký hiệu là $n ℤ$ .
Tập hợp tất cả các đa thức chia hết cho x² + 1 là một i-đê-an chính của vành đa thức.
Tập hợp các ma trận $n \times n$ với hàng dưới cùng bằng $0$ là một i-đê-an phải của vành ma trận. Nó không phải là một i-đê-an trái.
Vành $C (ℝ)$ các hàm liên tục f từ $ℝ$ vào $ℝ$ chứa i-đê-an các hàm số f sao cho f(1) = 0 (i-đê-an các hàm số triệt tiêu tại 1; đây là một i-đê-an tối đại).

Ta có một loạt các loại i-đê-an như sau.

I-đê-an tối đại: Một i-đê-an đích thực I được gọi là i-đê-an tối đại nếu nó không có i-đê-an đích thực nào chứa nó. Tức là, tồn tại một và chỉ một i-đê-an chứa I: i-đê-an đơn vị. Nó là một phần tử tối đại trong lớp các i-đê-an đích thực (với thứ tự cảm sinh bởi quan hệ bao hàm). Lớp này khác rỗng bởi luôn tồn tại một i-đê-an đích thực: i-đê-an $(0)$ . Theo bổ đề Zorn, tồn tại ít nhất một i-đê-an tối đại trong một vành (ta xây dựng chặn trên bằng phép hợp).
I-đê-an tối tiểu: Một i-đê-an là tối tiểu nếu nó khác i-đê-an $(0)$ và nó chỉ chứa duy nhất i-đê-an $(0)$ (và chính nó).
I-đê-an nguyên tố.
I-đê-an gốc hoặc i-đê-an bán nguyên tố.
I-đê-an sơ cấp.
I-đê-an chính
I-đê-an hữu hạn sinh.
I-đê-an nguyên thủy.
I-đê-an bất khả quy.
I-đê-an chính quy.
I-đê-an lũy linh đơn: một i-đê-an là lũy linh đơn nếu mỗi phần tử của nó là lũy linh.
I-đê-an lũy linh: một i-đê-an là lũy linh nếu một lũy thừa hữu hạn của nó bằng 0.

Một i-đê-an của một vành $R$ được trang bị một cấu trúc $R$ -mô-đun tự nhiên.

Tổng và tích của các i-đê-an được định nghĩa như sau

𝔞 + 𝔟 : = {a + b ∣ a \in 𝔞 và b \in 𝔟}

,

𝔞 𝔟 : = {a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} ∣ a_{i} \in 𝔞 và b_{i} \in 𝔟, i = 1, 2, \dots, n; với n = 1, 2, \dots},

Trong $ℤ$ ta có

(n) \cap (m) = bcnn (n, m) ℤ

Đặt $R = ℂ [x, y, z, w]$ và $I = (z, w), J = (x + z, y + w), K = (x + z, w)$ . Thế thì,

$I + J = (z, w, x + z, y + w) = (x, y, z, w)$ và $I + K = (z, w, x + z)$
$I J = (z (x + z), z (y + w), w (x + z), w (y + w)) = (z^{2} + x z, z y + w z, w x + w z, w y + w^{2})$
$I K = (x z + z^{2}, z w, x w + z w, w^{2})$
$I \cap J = I J$ trong khi $I \cap K = (w, x z + z^{2}) \neq I K$

Atiyah, M. F. và Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, 1969, ISBN 0-201-00361-9
Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (tái bản lần thứ ba), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3