Xem mã nguồn của Căn bậc hai của 2

{{redirect-distinguish|Hằng số Pythagoras|Số Pythagoras}}
[[Tập tin:Square root of 2 triangle.svg|thumb|200px|Căn bậc hai của 2 bằng với độ dài của [[cạnh huyền]] của một [[tam giác vuông]] có hai cạnh đáy bằng 1.]]

'''Căn bậc hai của 2''', hay [[lũy thừa]] 1/2 của 2, được viết là {{math|{{sqrt|2}}}} hoặc {{math|2{{sup|{{frac|1|2}}}}}}, là [[số đại số]] dương sao cho khi nhân với chính nó, cho ta số [[2 (số)|2]]. Đúng hơn, nó được gọi là '''căn bậc hai số học của 2''' để phân biệt với số đối của nó có tính chất tương tự.

Trong [[hình học]], [[căn bậc hai]] của 2 là độ dài đường chéo của một [[Hình vuông đơn vị|hình vuông với cạnh dài 1 đơn vị]]; xuất phát từ [[định lý Pythagoras]]. Nó có lẽ là [[số vô tỉ]] được biết đến đầu tiên.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc hai của hai với mẫu số nhỏ vừa phải là phân số {{sfrac|99|70}} (≈ 1.4142857).

Dãy {{OEIS link|A002193}} trong [[OEIS]] gồm các chữ số trong [[biểu diễn thập phân]] của căn bậc hai của 2, đến 65 chữ số [[Hệ thập phân|thập phân]]:

:{{gaps|1.41421|35623|73095|04880|16887|24209|69807|85696|71875|37694|80731|76679|73799|}}...

{| class="infobox bordered" cellpadding=5
| colspan="2" align="center" |
<div class="hlist">
* [[Danh sách các số]]
* [[Số vô tỉ]]
</div>
<div class="hlist">
* [[Hằng số Euler–Mascheroni|{{mvar|&gamma;}}]]
* [[Hằng số Apéry|{{mvar|ζ}}(3)]]
* {{sqrt|2}}
* [[Căn bậc hai của 3|{{sqrt|3}}]]
* [[Căn bậc hai của 5|{{sqrt|5}}]]
* [[Tỷ lệ vàng|{{mvar|φ}}]]
* [[Tỷ lệ bạc|{{mvar|δ}}<sub>{{mvar|S}}</sub>]]
<!-- * [[Feigenbaum constants|{{mvar|α}}]] -->
* [[e (số)|{{mvar|e}}]]
* [[Pi|{{pi}}]]
</div>
|-
|[[Hệ nhị phân|Nhị phân]]
| {{gaps|1.0110|1010|0000|1001|1110|…}}
|-
| [[Hệ thập phân|Thập phân]]
| {{gaps|1.41421|35623|73095|0488…}}
|-
| [[Hệ thập lục phân|Thập lục phân]]
| {{gaps|1.6A09|E667|F3BC|C908|B2F…}}
|-
| [[Phân số liên tục]]
| <math>1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}</math>
|}

==Lịch sử==
[[Tập tin:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|200px|Bản đất sét Babylon [[YBC 7289]] với ghi chú. Ngoài việc cho thấy căn bậc hai của 2 trong [[hệ lục thập phân]] ({{nowrap|1 24 51 10}}), bản đất sét này cũng cho một ví dụ nếu một cạnh của hình vuông là 30 thì đường chéo là {{nowrap|42 25 35}}. Trong hệ lục thập phân 30 có thể là {{nowrap|0 30}} = {{sfrac|1|2}}, còn {{nowrap|0 42 25 35}} xấp xỉ bằng 0.7071065.]]
Bảng đất sét [[Babylon]] [[YBC 7289]] (khoảng 1800–1600 TCN) cho một xấp xỉ của {{math|{{sqrt|2}}}} trong bốn chữ số [[hệ lục thập phân|lục thập phân]], {{nowrap|1 24 51 10}}, đúng đến khoảng sáu chữ số [[thập phân]],<ref>Fowler và Robson, trang 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |date = ngày 13 tháng 8 năm 2012}}<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref> và là xấp xỉ lục thập phân tốt nhất của {{math|{{sqrt|2}}}} dùng 4 chữ số:
:<math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{305470}{216000} = 1.41421\overline{296}.</math>

Một xấp xỉ sơ khai khác xuất hiện trong văn kiện toán học của [[Lịch sử Ấn Độ|Ấn Độ cổ đại]], quyển [[Sulba Sutras|Sulbasutras]] (khoảng 800–200 BC) như sau: ''Tăng độ dài [của cạnh] bằng một phần ba chính nó và một phần tư của một phần ba và giảm đi một phần ba mươi tư của một phần tư đó.''<ref>Henderson.</ref> Tức là,
:<math>1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times4 \times 34} = \frac{577}{408} = 1.41421\overline{56862745098039}.</math>

[[Học thuyết Pythagoras|Các môn đồ của Pythagoras]] phát hiện rằng đường chéo của hình vuông và cạnh của nó là không thể so được, hay theo ngôn ngữ hiện đại, căn bậc hai của 2 là một [[số vô tỉ]]. Không nhiều điều được biết rõ về thời gian hay tình cảnh của khám phá này, nhưng cái tên thường được nhắc đến là [[Hippasus]] của Metapontum. Các môn đồ Pythagoras xem tính vô tỉ của căn bậc hai của 2 là một bí mật, và theo lời kể, Hippasus đã bị giết vì tiết lộ nó.<ref>Stephanie J. Morris, [http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/student.folders/morris.stephanie/emt.669/essay.1/pythagorean.html "The Pythagorean Theorem"] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130530001616/http://jwilson.coe.uga.edu/emt669/Student.Folders/Morris.Stephanie/EMT.669/Essay.1/Pythagorean.html|date=ngày 30 tháng 5 năm 2013}}, Khoa Sư phạm Toán, [[Đại học Georgia]].</ref><ref>Brian Clegg, [http://nrich.maths.org/2671 "The Dangerous Ratio..."] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130627142742/http://nrich.maths.org/2671 |date = ngày 27 tháng 6 năm 2013}}, Nrich.org, tháng 11 2004.</ref><ref>Kurt von Fritz, [https://www.jstor.org/pss/1969021 "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum"], Annals of Mathematics, 1945.</ref> Căn bậc hai của 2 đôi khi còn được gọi là '''số Pythagoras''' hay '''hằng số Pythagoras''', như trong {{harvtxt|Conway|Guy|1996}}.<ref>{{citation
 | last1 = Conway | first1 = John H. | author1-link = John H. Conway
 | last2 = Guy | first2 = Richard K. | author2-link = Richard K. Guy
 | page = 25
 | publisher = Copernicus
 | title = The Book of Numbers
 | year = 1996}}</ref>
<!--
=== Kiến trúc La Mã cổ đại ===
Trong [[kiến trúc La Mã cổ đại]], [[Vitruvius]] mô tả  the use of the square root of 2 progression or ''ad quadratum'' technique. It consists basically in a geometric, rather than arithmetic, method to double a square, in which the diagonal of the original square is equal to the side of the resulting square. Vitruvius attributes the idea to [[Plato]]. The system was employed to build pavements by creating a square [[tangent]] to the corners of the original square at 45 degrees of it. The proportion was also used to design [[Atrium (architecture)|atria]] by giving them a length equal to a diagonal taken from a square which sides are equivalent to the intended atrium's width.<ref>{{chú thích sách|title=Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s|last=Williams|first=Kim|last2=Ostwald|first2=Michael|publisher=Birkhäuser|year=2015|isbn=9783319001371|location=|pages=204}}</ref>
-->
==Thuật toán tính toán==
{{further|Phương pháp tính căn bậc hai}}
Có một số thuật toán để xấp xỉ {{math|{{sqrt|2}}}},  thường là dưới dạng tỉ số của hai số nguyên hoặc một số thập phân. Thuật toán phổ biến nhất cho việc này, được dùng làm cơ sở trong nhiều máy tính và máy tính bỏ túi, là [[phương pháp Babylon]]<ref>Mặc dù ngày nay cụm từ "phương pháp Babylon" được dùng khá phổ biến, không có bằng chứng trực tiếp nào cho thấy cách người Babylon tính xấp xỉ {{math|{{sqrt|2}}}} trên bản đất sét YBC&nbsp;7289. Fowler và Robson đề xuất một số giả thiết.<br />Fowler và Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.</ref>, một trong những [[phương pháp tính căn bậc hai]]. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một số {{math|''a''{{sub|0}} > 0}} bất kì. Sau đó, dùng số vừa đoán, tính từng số hạng theo công thức [[truy hồi]] sau:
:<math>a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. </math>

Càng nhiều lần thực hiện phép tính trên (tức là càng nhiều lần lặp lại và số "{{math|''n''}}" càng lớn), cho ta xấp xỉ càng tốt của căn bậc hai của 2. Mỗi lần tính cho ta khoảng gấp đôi số chữ số đúng. Bắt đầu với {{math|''a''<sub>0</sub> {{=}} 1}} những số tiếp theo là
* {{sfrac|3|2}}     = '''1'''.5
* {{sfrac|17|12}}   = '''1.41'''6...
* {{sfrac|577|408}} = '''1.41421'''5...
* {{sfrac|665857|470832}} = '''1.41421356237'''46...

Giá trị của {{math|{{sqrt|2}}}} được tính đến 137.438.953.444 chữ số thập phân bởi đội của [[Yasumasa Kanada]] năm 1997. Tháng 2 năm 2006, kỉ lục cho việc tính {{math|{{sqrt|2}}}} bị phá vỡ sử dụng một chiếc [[máy tính cá nhân]]. Shigeru Kondo tính 1 [[Bậc độ lớn (số)|nghìn tỷ]] chữ số thập phân của căn bậc hai của 2 trong năm 2010.<ref>{{chú thích web |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html |title=Constants and Records of Computation |publisher=Numbers.computation.free.fr |date = ngày 12 tháng 8 năm 2010 |access-date = ngày 7 tháng 9 năm 2012 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120301190937/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html |archivedate = ngày 1 tháng 3 năm 2012}}</ref> Trong số các [[hằng số toán học]] với biểu diễn thập phân cần nhiều tài nguyên tính toán, chỉ có [[pi|{{pi}}]] là được tính chính xác hơn.<ref>{{chú thích web |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html |title=Number of known digits |publisher=Numbers.computation.free.fr |date = ngày 12 tháng 8 năm 2010 |access-date = ngày 7 tháng 9 năm 2012 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20120301190937/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html |archivedate = ngày 1 tháng 3 năm 2012}}</ref>
Những tính toán như vậy chủ yếu là để kiểm tra bằng thực nghiệm xem những số đó có phải là [[số bình thường|bình thường]] hay không.

===Xấp xỉ hữu tỉ===
Một xấp xỉ hữu tỉ đơn giản {{sfrac|99|70}} (≈ 1.4142857) thường được sử dụng. Mặc dù có [[mẫu số]] chỉ là 70, độ sai lệch của nó với giá trị đúng là ít hơn {{sfrac|1|10,000}} (khoảng {{val|+0.72e-4}}). Do nó là một giản phân của [[Căn bậc hai của 2#Biểu diễn liên phân số|biểu diễn liên phân số]] của căn bậc hai của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ nào gần hơn phải có mẫu số không bé hơn 169, do {{sfrac|239|169}} (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp theo với sai số khoảng {{val|-0.12e-4}}.

Xấp xỉ hữu tỉ {{sfrac|665857|470832}}, từ bước thứ bốn trong phương pháp Babylon ở trên bắt đầu với {{math|''a''<sub>0</sub> {{=}} 1}}, có sai số khoảng {{val|1.6e-12}}: [[bình phương]] của nó là {{val|2.0000000000045}}…

===Kỉ lục===
Đây là bảng những kỉ lục gần đây trong việc tính các chữ số của {{math|{{sqrt|2}}}} {{nowrap|(1 nghìn tỉ {{=}}  10<sup>12</sup> {{=}} 1.000.000.000.000).}}
{| class="wikitable" style="text-align:center; caption-side:bottom"
|-
! Ngày !! Tên !! Số chữ số
|-
| 28 tháng 6 năm 2016 || Ron Watkins || 10 nghìn tỷ
|-
| 3 tháng 4 năm 2016 || Ron Watkins || 5 nghìn tỷ
|-
| 9 tháng 2 năm 2012 || Alexander Yee || 2 nghìn tỷ
|-
| 22 tháng 3 năm 2010 || Shigeru Kondo || 1 nghìn tỷ
|-
|+ Nguồn:<ref name="y-cruncher">{{chú thích web |url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html |title=Records Set by y-cruncher |access-date = ngày 3 tháng 10 năm 2019 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20151020062050/http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html |archivedate = ngày 20 tháng 10 năm 2015}}</ref>
|}

==Chứng minh tính vô tỉ==
Một chứng minh ngắn về tính vô tỉ của {{math|{{sqrt|2}}}} sử dụng [[định lý nghiệm hữu tỉ]], phát biểu rằng nếu {{math|''P''(''x'')}} là một [[đa thức monic]] với hệ số nguyên, thì bất kì [[không điểm của một hàm số|nghiệm]] [[số hữu tỉ|hữu tỉ]] nào của {{math|''P''(''x'')}} cũng là một số nguyên. Áp dụng định lý cho đa thức {{math|1=''P''(''x'') = ''x''{{sup|2}} − 2}}, ta suy ra {{math|{{sqrt|2}}}} hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Vì {{math|1<{{sqrt|2}}<2}} nên nó không là một số nguyên, do đó {{math|{{sqrt|2}}}} là một số vô tỉ. Chứng minh này có thể tổng quát: căn bậc hai của bất kì [[số tự nhiên]] nào không phải [[số chính phương]] là một số vô tỉ.

Xem [[số vô tỉ bậc hai]] hoặc [[Chứng minh bằng lùi vô hạn#Tính vô tỉ của √k nếu nó không là số nguyên|lùi vô hạn]] cho chứng minh rằng căn bậc hai của bất kì số tự nhiên không phải số chính phương nào cũng là vô tỉ.

===Chứng minh bằng lùi vô hạn===
Một trong những chứng minh phổ biến nhất sử dụng phương pháp [[lùi vô hạn]]. Đây cũng là [[chứng minh bằng phản chứng]], trong đó mệnh đề cần chứng minh được giả sử là sai rồi suy ra giả sử này không thể xảy ra, tức mệnh đề cần chứng minh là đúng.

# Giả sử {{math|{{sqrt|2}}}} là một số hữu tỉ, tức {{math|{{sqrt|2}}}} có thể viết dưới dạng một [[phân số tối giản]] {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}}, trong đó {{mvar|a}} và {{mvar|b}} [[nguyên tố cùng nhau]].
# Ta suy ra {{math|1={{sfrac|''a''{{sup|2}}|''b''{{sup|2}}}} = 2}} và {{math|1=''a''{{sup|2}} = 2''b''{{sup|2}}}}. &emsp; ({{math|''a''{{sup|2}} và ''b''{{sup|2}}}} là các số nguyên)
# Do đó {{math|''a''{{sup|2}}}} là số chẵn, nên {{math|''a''}} cũng là số chẵn, tức tồn tại số nguyên {{math|''k''}} sao cho {{math|''a'' {{=}} 2''k''}}.
# Thay {{math|2''k''}} cho {{math|''a''}} trong đẳng thức ở bước 2: {{math|2''b''{{sup|2}} {{=}} (2''k''){{sup|2}}}} ta được {{math|''b''{{sup|2}} {{=}} 2''k''{{sup|2}}}}.
# Lập luận như bước 3, ta được {{math|''b''{{sup|2}}}} là số chẵn, nên {{math|''b''}} là số chẵn.
# Như vậy cả {{math|''a''}} và {{math|''b''}} đều là số chẵn, trái với giả thiết rằng {{math|''a''}} và {{math|''b''}} là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vì ta suy ra được một điều vô lý, giả sử (1) rằng {{math|{{sqrt|2}}}} là số hữu tỉ là sai. Tức là, {{math|{{sqrt|2}}}} phải là một số vô tỉ.

Chứng minh này được gợi ý bởi [[Aristotle]], trong cuốn ''[[Prior Analytics|Analytica Priora]]'', §I.23.<ref>Trong khi viết về [[chứng mihn bằng phản chứng]], Aristotle nói: "đường chéo của hình vuông là không thể so được với cạnh của nó, bởi vì số lẻ sẽ bằng số chẵn nếu chúng so được với nhau".</ref> Chứng minh hoàn chỉnh đầu tiên xuất hiện trong bộ [[Cơ sở (Euclid)|Cơ sở]] của [[Euclid]], là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia cho rằng chứng minh này không nằm trong bản thảo gốc và do đó không thể cho là của Euclid.<ref>Phiên bản tiếng Hy Lạp của bộ ''Cơ sở'' xuất bản bởi E. F. August tại [[Berlin]] trong 1826–1829 đưa chứng minh này vào phần Phụ lục. Điều tương tự xảy ra với phiên bản của sử gia J. L. Heiberg (1883–1888).</ref>

===Chứng minh hình học===
[[Tập tin:NYSqrt2.svg|thumb|Hình 1. Chứng minh hình học của Stanley Tennenbaum cho tính vô tỉ của {{sqrt|2}}.]]
Một biểu diễn hình học của chứng minh trên được [[John Horton Conway]] cho là của [[Stanley Tennenbaum]] khi ông còn là học sinh đầu thập niên 1950<ref>[http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Proof 8‴] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160422220756/http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml |date = ngày 22 tháng 4 năm 2016}}</ref> và lần xuất hiện gần đây nhất là trong một bài báo bởi Noson Yanofsky trong tạp chí ''[[American Scientist]]'' số tháng 5-6 2016.<ref>{{chú thích web|author=Yanofsky, N.|year=2016|title=Paradoxes, Contradictions, and the Limits of Science|url=http://www.americanscientist.org/issues/feature/paradoxes-contradictions-and-the-limits-of-science|archiveurl=https://web.archive.org/web/20160630035856/http://www.americanscientist.org/issues/feature/paradoxes-contradictions-and-the-limits-of-science|archivedate = ngày 30 tháng 6 năm 2016}}</ref> Cho hai hình vuông có cạnh là số nguyên {{math|''a''}} và {{math|''b''}}, trong đó một cái có diện tích gấp đôi cái kia, đặt hai hình vuông nhỏ trong hình vuông lớn như trong hình 1. Phần giao nhau ở giữa có diện tích ({{math|(2''b'' − ''a'')<sup>2</sup>}}) phải bằng tổng diện tích của hai hình vuông nhỏ không được che phủ ({{math|2(''a'' − ''b'')<sup>2</sup>}}). Như vậy ta thu được hai hình vuông nhỏ hơn các hình vuông ban đầu và diện tích cái này gấp đôi cái kia. Lặp lại quá trình này ta có thể thu nhỏ các hình vuông tùy ý, nhưng điều này là vô lý do chúng phải có cạnh là số nguyên dương, tức lớn hơn hoặc bằng 1.

[[Tập tin:Irrationality of sqrt2.svg|left|thumb|Hình 2. Chứng minh hình học của Tom Apostol cho tính vô tỉ của {{sqrt|2}}.]]
Một chứng minh hình học sử dụng phản chứng khác xuất hiện năm 2000 trong tập san [[American Mathematical Monthly]].<ref>{{citation|title=Irrationality of The Square Root of Two -- A Geometric Proof|author=Tom M. Apostol|journal=The American Mathematical Monthly|volume=107|number=9|date=Nov 2000|pages=841–842|doi=10.2307/2695741}}</ref> Nó cũng là một chứng [[minh sử]] dụng phương pháp [[lùi vô hạn]], đồng thời sử dụng [[phép dựng hình bằng thước kẻ và compa]] đã được biết từ thời Hy Lạp cổ đại.

Lấy {{math|△''ABC''}} vuông cân với cạnh huyền {{math|''m''}} và cạnh bên {{math|''n''}} như trong Hình 2. Theo [[định lý Pythagoras]], {{math|{{sfrac|''m''|''n''}} {{=}} {{sqrt|2}}}}. Giả sử {{math|''m''}} và {{math|''n''}} là các [[số nguyên]] và {{math|''m'':''n''}} là [[phân số tối giản]]

Vẽ các cung {{math|''BD''}} và {{math|''CE''}} với tâm {{math|''A''}}. Nối {{math|''DE''}} cắt {{math|''BC''}} tại {{math|''F''}}. Dễ thấy, hai [[tam giác]] {{math|''ABC''}} và {{math|''ADE''}} [[Tương đẳng (hình học)|bằng nhau]] theo cạnh-góc-cạnh.

Ngoài ra ta cũng thấy {{math|△''BEF''}} là [[tam giác]] vuông cân. Do đó {{math|''BE'' {{=}} ''BF'' {{=}} ''m'' − ''n''}}. Theo tính đối xứng, {{math|''DF'' {{=}} ''m'' − ''n''}}, và {{math|△''FDC''}} cũng là [[tam giác]] vuông cân. Ta suy ra {{math|''FC'' {{=}} ''n'' − (''m'' − ''n'') {{=}} 2''n'' − ''m''}}.

Như vậy ta có một [[tam giác]] vuông cân nhỏ hơn với cạnh huyền {{math|2''n'' − ''m''}} và cạnh bên {{math|''m'' − ''n''}}. Chúng nhỏ hơn {{math|''m''}} và {{math|''n''}} nhưng có cùng tỉ lệ, trái với giả thiết là {{math|''m'':''n''}} là tối giản. Do đó, {{math|''m''}} và {{math|''n''}} không thể cùng là số nguyên, nên {{math|{{sqrt|2}}}}.
<!--
===Analytic proof===
* Lemma: let {{math|''α'' ∈ ℝ{{sup|+}}}} and {{math|''p''{{sub|1}}, ''p''{{sub|2}},… ''q''{{sub|1}}, ''q''{{sub|2}},… ∈ ℕ}} such that {{math|{{abs|''αq{{sub|n}}'' − ''p{{sub|n}}''}} ≠ 0}} for all {{math|''n'' ∈ ℕ}} and
:: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} p_n = \lim_{n \rightarrow \infty} q_n = \infty</math>
:: <math>\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \alpha q_n - p_n \right| = 0.</math>
:Then {{math|''α''}} is irrational.

:'''Proof:''' suppose {{math|''α'' {{=}} {{sfrac|''a''|''b''}}}} with {{math|''a'',''b'' ∈ ℕ{{sup|+}}}}.

:For sufficiently big {{math|''n''}}
::<math>0 < \left| \alpha q_n - p_n \right| < \frac{1}{b}</math>
:then
::<math>0 < \left| \frac{a q_n}{b} - p_n \right| < \frac{1}{b}</math>
::<math>0 < \left| a q_n - b p_n \right| < 1 </math>
:but {{math|''aq{{sub|n}}'' − ''bp{{sub|n}}''}} is an integer, absurd, then {{math|''α''}} is irrational.
* {{math|{{sqrt|2}}}} is irrational.

:'''Proof:''' let {{math|''p''{{sub|1}} {{=}} ''q''{{sub|1}} {{=}} 1}} and
::<math>p_{n+1} = p_n^2 + 2 q_n^2 </math>
::<math>q_{n+1} = 2 p_n q_n </math>
:for all {{math|''n'' ∈ ℕ}}.

:By [[mathematical induction|induction]],

::<math>0 < \left| \sqrt{2} q_n - p_n \right| < \frac{1}{2^{2^{n-1}}} </math>

:for all {{math|''n'' ∈ ℕ}}. For {{math|''n'' {{=}} 1}},
::<math>0 < \left| \sqrt{2} q_1 - p_1 \right| < \frac{1}{2}</math>
:and if this is true for {{math|''n''}} then it is true for {{math|''n'' + 1}}. In fact
::<math>0 < \left| \sqrt{2} q_n - p_n \right|^2 < \frac{1}{2^{2^n}}</math>
::<math>0 < \left| \sqrt{2} (2 p_n q_n) - \left(p_n^2 + 2 q_n^2\right) \right| < \frac{1}{2^{2^n}}</math>
:: <math>0 < \left| \sqrt{2} q_{n + 1} - p_{n + 1} \right| < \frac{1}{2^{2^n}}.</math>
:By application of the lemma, {{math|{{sqrt|2}}}} is irrational.
-->
===Chứng minh trực tiếp===
Một hướng đi khác mang tính xây dựng là thiết lập một chặn dưới cho hiệu của {{sqrt|2}} và một số hữu tỉ bất kì. Với hai số nguyên dương {{math|''a''}} và {{math|''b''}}, số mũ đúng của 2 (tức số mũ của 2 trong khai triển ra thừa số nguyên tố) của {{math|''a''<sup>2</sup>}} là chẵn, còn của {{math|2''b''<sup>2</sup>}} là lẻ, nên chúng là các số nguyên khác nhau; do đó {{math|{{abs|2''b''{{sup|2}} − ''a''{{sup|2}}}} ≥ 1}} với mọi {{math|''a'', ''b''}} nguyên dương. Khi đó<ref>{{citation
 | last1 = Katz | first1 = Karin Usadi
 | last2 = Katz | first2 = Mikhail G.
 | author2-link = Mikhail Katz
 | arxiv = 1110.5456
 | doi =
 | issue = 2
 | journal = Intellectica
 | pages = 223–302 (Mục 2.3, ghi chú 15)
 | title = Meaning in Classical Mathematics: Is it at Odds with Intuitionism?
 | volume = 56
 | year = 2011| bibcode = 2011arXiv1110.5456U}}</ref>
:<math>\left|\sqrt2 - \frac{a}{b}\right| = \frac{|2b^2-a^2|}{b^2\left(\sqrt{2}+\frac{a}{b}\right)} \ge \frac{1}{b^2\left(\sqrt2 + \frac{a}{b}\right)} \ge \frac{1}{3b^2},</math>

bất đẳng thức cuối đúng do ta giả sử {{math|{{sfrac|''a''|''b''}} ≤ 3 − {{sqrt|2}}}} (nếu không thì hiệu trên hiển nhiên lớn hơn {{math|3 − 2{{sqrt|2}} > 0}}). Bất đẳng thức này cho ta chặn dưới {{math|{{sfrac|1|3''b''{{sup|2}}}}}} của hiệu {{math|{{abs|{{sqrt|2}} − {{sfrac|''a''|''b''}}}}}}, từ đó dẫn đến chứng minh tính vô tỉ trực tiếp mà không cần giả sử phản chứng. Chứng minh này chỉ ra rằng tồn tại một khoảng cách giữa {{math|{{sqrt|2}}}} và bất kỳ số hữu tỉ nào.

==Tính chất của căn bậc hai của 2==
Một nửa của {{math|{{sqrt|2}}}}, đồng thời cũng là [[Nghịch đảo phép nhân|nghịch đảo]] của {{math|{{sqrt|2}}}}, xấp xỉ bằng {{gaps|0.70710|67811|86548}}, là một giá trị thường gặp trong hình học và [[lượng giác]] vì [[vectơ đơn vị]] tạo góc 45° với các trục thì có tọa độ
:<math>\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).</math>
Số này thỏa mãn
:<math>\tfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ}.</math>

Một giá trị có liên quan là [[tỷ lệ bạc]]. Hai số dương {{math|''a'', ''b''}} có ''tỷ lệ bạc'' {{math|''δ''<sub>S</sub>}} nếu
:<math> \! \frac{2a+b}{a}=\frac{a}{b}=\delta_S </math>.
Bằng cách biến đổi về [[phương trình bậc hai]], ta có thể giải được {{math|1=''δ''<sub>''S''</sub> = 1 + {{sqrt|2}}}}.

{{math|{{sqrt|2}}}} có thể được biểu diễn theo [[đơn vị ảo]] {{math|''i''}} chỉ sử dụng [[căn bậc hai]] và các phép toán số học:
:<math>\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i}\text{ and }\frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}</math>
'''nếu''' ký hiệu căn bậc hai được định nghĩa hợp lý cho số phức {{math|''i''}} và {{math|−''i''}}.

{{math|{{sqrt|2}}}} cũng là [[số thực]] duy nhất khác {{math|1}} mà [[tetration]] vô hạn lần bằng với bình phương của nó. Một cách phát biểu chặt chẽ như sau: nếu với số thực {{math|c > 1}} ta định nghĩa {{math|''x''<sub>1</sub> {{=}} ''c''}} và {{math|''x''<sub>''n''+1</sub> {{=}} ''c''<sup>''x''<sub>''n''</sub></sup>}} với {{math|''n'' > 1}}, thì giới hạn của {{math|''x''<sub>''n''</sub>}} khi {{math|''n'' → ∞}} (nếu tồn tại) gọi là {{math|''f''(''c'')}}. Khi ấy {{math|{{sqrt|2}}}} là số {{math|''c'' > 1}} duy nhất thỏa {{math|''f''(''c'') {{=}} ''c''<sup>2</sup>}}. Hay nói cách khác:
:<math>\sqrt{2}^ {(\sqrt{2}^ {(\sqrt{2}^ {(\ \cdot^ {\cdot^ \cdot)))}}}} = 2.</math>

{{math|{{sqrt|2}}}} cũng xuất hiện trong [[Công thức Viète cho pi|công thức Viète]] cho {{pi}}:
: <math>2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} \to \pi\text{ khi }m \to \infty</math>
với {{math|''m''}} dấu căn và đúng một dấu trừ.<ref>{{Citation |title=What is mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods |first=Richard |last=Courant |first2=Herbert |last2=Robbins |location=London |publisher=Oxford University Press |year=1941 |page=124 }}</ref>

Ngoài ra, {{math|{{sqrt|2}}}} còn xuất hiện trong nhiều hằng số lượng giác:<ref>Julian D. A. Wiseman [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Sin and cos in surds] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090506080636/http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html |date = ngày 6 tháng 5 năm 2009}}</ref>
:<math>\begin{align}
\sin\frac{\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{3\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}} &\quad
\sin\frac{11\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}} \\[6pt]
\sin\frac{\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} &\quad
\sin\frac{7\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{3\pi}{8} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2}} \\[6pt]
\sin\frac{3\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{\pi}{4} &= \tfrac12\sqrt{2} &\quad
\sin\frac{13\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}} \\[6pt]
\sin\frac{\pi}{8} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2}} &\quad
\sin\frac{9\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{7\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \\[6pt]
\sin\frac{5\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{5\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}} &\quad
\sin\frac{15\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}
\end{align}</math>

Hiện vẫn chưa biết liệu {{math|{{sqrt|2}}}} có phải là [[số chuẩn]], một tính chất mạnh hơn tính vô tỉ, nhưng phân tích thống kê biểu diễn của nó trong [[hệ nhị phân]] cho thấy có khả năng nó chuẩn trong hệ cơ số hai.<ref>{{harvtxt|Good|Gover|1967}}.</ref>

==Biểu diễn chuỗi==
Hệ thức {{math|cos {{sfrac|π|4}} {{=}} sin {{sfrac|π|4}} {{=}} {{sfrac|1|{{sqrt|2}}}}}}, cùng với các biểu diễn tích vô hạn của sin và cosin cho ta
:<math>\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty \left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) =
\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{36}\right)\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots</math>
và
:<math>\sqrt{2} =\prod_{k=0}^\infty\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots</math>
hoặc tương đương,
:<math>\sqrt{2} =\prod_{k=0}^\infty\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)=
\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.</math>

Ngoài ra ta có thể dùng [[chuỗi Taylor]] của các [[hàm lượng giác]]. Ví dụ, chuỗi Taylor cho {{math|cos {{sfrac|π|4}}}} cho ta
:<math>\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.</math>
Chuỗi Taylor cho {{math|{{sqrt|1 + ''x''}}}} với {{math|''x'' {{=}} 1}} cùng với [[Giai thừa#giai thừa kép|giai thừa kép]] {{math|''n''!!}} cho ta

:<math>\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} =
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} - \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.</math>

Sử dụng [[Biến đổi nhị thức|biến đổi Euler]] để đẩy nhanh tốc độ hội tụ của dãy, ta được

:<math>\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{2^{3k+1}(k!)^2 } = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} + \frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.</math>

Một công thức dạng [[Công thức Bailey–Borwein–Plouffe|BBP]] cho {{math|{{sqrt|2}}}} vẫn chưa được tìm ra, tuy nhiên đã có những công thức dạng BBP cho {{math|π{{sqrt|2}}}} và {{math|{{sqrt|2}}ln(1+{{sqrt|2}})}}.<ref>{{chú thích web |url=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf |title=Archived copy |access-date = ngày 30 tháng 4 năm 2010 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110610050911/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf |archivedate = ngày 10 tháng 6 năm 2011}}</ref>

{{sqrt|2}} có thể biểu diễn bằng [[phân số Ai Cập]], với mẫu số bằng các số hạng thứ {{math|2{{sup|''n''}}}} của một dãy [[hồi quy tuyến tính]] giống [[dãy Fibonacci]]. Đặt {{math|1=''a''<sub>0</sub> = 0, ''a''<sub>1</sub> = 6, ''a''<sub>''n''</sub> = 34''a''<sub>''n'' − 1</sub> − ''a''<sub>''n'' − 2</sub>}}<ref>{{SloanesRef|1=A082405|2=a(n) = 34*a(n-1) - a(n-2); a(0)=0, a(1)=6|access-date = ngày 5 tháng 9 năm 2016}}</ref>

:<math>\sqrt{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a_{2^n}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{204}+\frac{1}{235416}+\dots \right) </math>

==Liên phân số==
[[Tập tin:Dedekind cut- square root of two.png|thumb|335px|Xấp xỉ căn bậc hai của 2 bằng dãy giản phân.]]
Căn bậc hai của 2 có biểu diễn bằng [[liên phân số]] sau:
:<math> \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}. </math>

Những [[Liên phân số#Dãy giản phân của số thực|giản phân]] đầu tiên là: {{math|{{sfrac|1|1}}, {{sfrac|3|2}}, {{sfrac|7|5}}, {{sfrac|17|12}}, {{sfrac|41|29}}, {{sfrac|99|70}}, {{sfrac|239|169}}, {{sfrac|577|408}}}}. Giản phân {{math|{{sfrac|''p''|''q''}}}} cách {{math|{{sqrt|2}}}} một khoảng gần bằng {{math|{{sfrac|1|2''q''{{sup|2}}{{sqrt|2}}}}}}{{Citation needed|date=September 2019}} và giản phân tiếp theo là {{math|{{sfrac|''p'' + 2''q''|''p'' + ''q''}}}}.

==Bình phương lồng nhau==
Biểu thức sau đây hội tụ về {{sqrt|2}}:
:<math>\begin{align} \sqrt{2}
&=\tfrac{3}{2} - 2 \left( \tfrac{1}{4}- \left( \tfrac{1}{4}-\left( \tfrac{1}{4}- \left( \tfrac{1}{4}- \cdots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2\\
&=\tfrac{3}{2} - 4 \left( \tfrac{1}{8}+ \left( \tfrac{1}{8}+\left( \tfrac{1}{8}+ \left( \tfrac{1}{8}+ \cdots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2.
\end{align} </math>

==Hằng số liên quan==
Nghịch đảo của căn bậc hai của 2 (căn bậc hai của {{sfrac|1|2}}) là một hằng số thường dùng.

:<math>\frac1{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = 0.70710\,67811\,86547\,52440\,08443\,62104\,84903\,928...</math> {{OEIS|id=A010503}}

==Khổ giấy==
Năm 1786, giáo sư vật lý người Đức Georg Lichtenberg<ref name=":0" /> phát hiện rằng bất kỳ tờ giấy nào có cạnh dài dài gấp {{sqrt|2}} lần cạnh ngắn có thể được gấp đôi để tạo thành một tờ giấy mới có tỉ lệ giống hệt tờ ban đầu. Tỉ lệ giấy này bảo đảm rằng cắt giấy thành hai nửa cho ra các tờ giấy nhỏ hơn cùng tỉ lệ. Khi Đức chuẩn hóa khổ giấy vào đầu thế kỷ 20, họ dùng tỉ lệ của Lichtenberg để tạo thành giấy [[ISO 216#Khổ A|khổ "A"]].<ref name=":0">{{chú thích sách|title=The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time|url=https://archive.org/details/bookcovertocover0000hous|last=Houston|first=Keith|publisher=W. W. Norton & Company|year=2016|isbn=0393244806|location=|pages=[https://archive.org/details/bookcovertocover0000hous/page/324 324]}}</ref> Hiện nay, [[tỉ lệ khung hình]] (xấp xỉ) của [[khổ giấy]] theo tiêu chuẩn [[ISO 216]] (A4, A0, vân vân) là 1:{{math|{{sqrt|2}}}}.

''Chứng minh'':<br />
Gọi <math>S = </math> cạnh ngắn và <math>L = </math> cạnh dài của tờ giấy, với<br />
:<math>R = \frac{L}{S} = \sqrt{2}</math> theo ISO 216.
Gọi <math>R' = \frac{L'}{S'}</math> là tỉ số của một nửa tờ giấy thì<br />
:<math>R' = \frac{S}{L/2} = \frac{2S}{L} = \frac{2}{(L/S)} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} = R</math>.

==Xem thêm==
* [[Căn bậc hai của 3]]
* [[Căn bậc hai của 5]]
* [[Tỷ lệ bạc]], {{math|1 + {{sqrt|2}}}}
* Căn bậc hai của 2 hình thành trong quan hệ giữa các [[f-stop]] của thấu kính máy ảnh, dẫn đến tỉ lệ ''diện tích'' giữa hai [[khẩu độ]] liên tiếp là 2.
* [[Hằng số Gelfond–Schneider]], {{math|2<sup>{{sqrt|2}}</sup>}}.
* [[Công thức Viète cho pi]]

==Ghi chú==
{{tham khảo|30em}}

==Tham khảo==
* {{Citation
 | last = Apostol | first = Tom M. | author-link = Tom M. Apostol
 | doi = 10.2307/2695741
 | issue = 9
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | pages = 841–842
 | title = Irrationality of square root of 2 – A geometric proof
 | volume = 107
 | year = 2000
 | jstor = 2695741}}.
* {{Citation | author = [[Aristotle]] | title = [[Prior Analytics|Analytica priora]] | year = 2007 | publisher = eBooks@Adelaide}}
* Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
* {{Citation
 | last = Flannery | first = David
 | isbn = 0-387-20220-X
 | publisher = Springer-Verlag
 | title = The Square Root of Two
 | year = 2005}}.
* {{Citation
 |last1        = Fowler
 |first1       = David
 |author1-link = David Fowler (mathematician)
 |last2        = Robson
 |first2       = Eleanor
 |author2-link = Eleanor Robson
 |doi          = 10.1006/hmat.1998.2209
 |issue        = 4
 |journal      = Historia Mathematica
 |pages        = 366–378
 |title        = Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context
 |url          = http://www.hps.cam.ac.uk/dept/robson-fowler-square.pdf
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20060903161813/http://www.hps.cam.ac.uk/dept/robson-fowler-square.pdf
 |archive-date = ngày 3 tháng 9 năm 2006 |volume       = 25
 |year         = 1998
}}.
* {{Citation
 | doi = 10.2307/2344040
 | last1 = Good | first1 = I. J. | author1-link = I. J. Good
 | last2 = Gover | first2 = T. N.
 | issue = 1
 | journal = Journal of the Royal Statistical Society, Series A
 | pages = 102–107
 | title = The generalized serial test and the binary expansion of {{math|{{sqrt|2}}}}
 | volume = 130
 | year = 1967
 | jstor = 2344040}}.
* {{Citation
 | last = Henderson | first = David W.
 | contribution = Square roots in the Śulba Sūtras
 | editor-last = Gorini | editor-first = Catherine A.
 | isbn = 978-0-88385-164-7
 | pages = 39–45
 | publisher = Cambridge University Press
 | title = Geometry At Work: Papers in Applied Geometry
 | url = http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html
 | year = 2000}}.

==Liên kết ngoài==
* {{Citation
 | last1 = Gourdon | first1 = X.
 | last2 = Sebah | first2 = P.
 | contribution = Pythagoras' Constant: {{math|{{sqrt|2}}}}
 | title = Numbers, Constants and Computation
 | url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html
 | year = 2001}}.
* {{MathWorld|urlname=PythagorassConstant|title=Pythagoras's Constant}}
* [http://www.gutenberg.org/etext/129 Căn bậc hai của Hai đến 5 triệu chữ số] bởi Jerry Bonnell và [[Robert J. Nemiroff]]. Tháng 5, 1994.
* [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Căn bậc hai của 2 là vô tỉ], một tuyển tập các chứng minh
* {{chú thích web|last=Grime|first=James|title=The Square Root {{math|{{sqrt|2}}}} of Two|url=http://www.numberphile.com/videos/root2.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|author2=Bowley, Roger|ngày truy cập=2019-12-19|archive-date = ngày 22 tháng 5 năm 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170522023427/http://www.numberphile.com/videos/root2.html|url-status=dead}}

{{Số đại số}}
{{Số vô tỉ}}
{{authority control}}

{{DEFAULTSORT:Square Root Of Two}}
[[Thể loại:Số đại số]]
[[Thể loại:Hằng số toán học]]
[[Thể loại:Định lý Pythagoras]]
[[Thể loại:Số vô tỉ]]