Căn bậc hai của 2

Căn bậc hai của 2 bằng với độ dài của cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh đáy bằng 1.

Căn bậc hai của 2, hay lũy thừa 1/2 của 2, được viết là Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math, là số đại số dương sao cho khi nhân với chính nó, cho ta số 2. Đúng hơn, nó được gọi là căn bậc hai số học của 2 để phân biệt với số đối của nó có tính chất tương tự.

Trong hình học, căn bậc hai của 2 là độ dài đường chéo của một hình vuông với cạnh dài 1 đơn vị; xuất phát từ định lý Pythagoras. Nó có lẽ là số vô tỉ được biết đến đầu tiên.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc hai của hai với mẫu số nhỏ vừa phải là phân số Bản mẫu:Sfrac (≈ 1.4142857).

Dãy Bản mẫu:OEIS link trong OEIS gồm các chữ số trong biểu diễn thập phân của căn bậc hai của 2, đến 65 chữ số thập phân:

Bản mẫu:Gaps...

Danh sách các số Số vô tỉ [[Hằng số Euler–Mascheroni|Bản mẫu:Mvar]] [[Hằng số Apéry|Bản mẫu:Mvar(3)]] Bản mẫu:Sqrt [[Căn bậc hai của 3|Bản mẫu:Sqrt]] [[Căn bậc hai của 5|Bản mẫu:Sqrt]] [[Tỷ lệ vàng|Bản mẫu:Mvar]] [[Tỷ lệ bạc|Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar]] [[e (số)|Bản mẫu:Mvar]] [[Pi|Bản mẫu:Pi]]
Nhị phân	Bản mẫu:Gaps
Thập phân	Bản mẫu:Gaps
Thập lục phân	Bản mẫu:Gaps
Phân số liên tục	$1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}}$

Lịch sử

Bản đất sét Babylon YBC 7289 với ghi chú. Ngoài việc cho thấy căn bậc hai của 2 trong hệ lục thập phân (Bản mẫu:Nowrap), bản đất sét này cũng cho một ví dụ nếu một cạnh của hình vuông là 30 thì đường chéo là Bản mẫu:Nowrap. Trong hệ lục thập phân 30 có thể là Bản mẫu:Nowrap = Bản mẫu:Sfrac, còn Bản mẫu:Nowrap xấp xỉ bằng 0.7071065.

Bảng đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho một xấp xỉ của Bản mẫu:Math trong bốn chữ số lục thập phân, Bản mẫu:Nowrap, đúng đến khoảng sáu chữ số thập phân, và là xấp xỉ lục thập phân tốt nhất của Bản mẫu:Math dùng 4 chữ số:

$1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=\frac{305470}{216000}=1.41421\overline{296}.$

Một xấp xỉ sơ khai khác xuất hiện trong văn kiện toán học của Ấn Độ cổ đại, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng độ dài [của cạnh] bằng một phần ba chính nó và một phần tư của một phần ba và giảm đi một phần ba mươi tư của một phần tư đó. Tức là,

$1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3\times 4}-\frac{1}{3\times 4\times 34}=\frac{577}{408}=1.41421\overline{56862745098039}.$

Các môn đồ của Pythagoras phát hiện rằng đường chéo của hình vuông và cạnh của nó là không thể so được, hay theo ngôn ngữ hiện đại, căn bậc hai của 2 là một số vô tỉ. Không nhiều điều được biết rõ về thời gian hay tình cảnh của khám phá này, nhưng cái tên thường được nhắc đến là Hippasus của Metapontum. Các môn đồ Pythagoras xem tính vô tỉ của căn bậc hai của 2 là một bí mật, và theo lời kể, Hippasus đã bị giết vì tiết lộ nó. Căn bậc hai của 2 đôi khi còn được gọi là số Pythagoras hay hằng số Pythagoras, như trong Bản mẫu:Harvtxt.

Thuật toán tính toán

Bản mẫu:Further Có một số thuật toán để xấp xỉ Bản mẫu:Math, thường là dưới dạng tỉ số của hai số nguyên hoặc một số thập phân. Thuật toán phổ biến nhất cho việc này, được dùng làm cơ sở trong nhiều máy tính và máy tính bỏ túi, là phương pháp Babylon, một trong những phương pháp tính căn bậc hai. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một số Bản mẫu:Math bất kì. Sau đó, dùng số vừa đoán, tính từng số hạng theo công thức truy hồi sau:

$a_{n+1}=\frac{a_n+\frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}.$

Càng nhiều lần thực hiện phép tính trên (tức là càng nhiều lần lặp lại và số "Bản mẫu:Math" càng lớn), cho ta xấp xỉ càng tốt của căn bậc hai của 2. Mỗi lần tính cho ta khoảng gấp đôi số chữ số đúng. Bắt đầu với Bản mẫu:Math những số tiếp theo là

• Bản mẫu:Sfrac = 1.5
• Bản mẫu:Sfrac = 1.416...
• Bản mẫu:Sfrac = 1.414215...
• Bản mẫu:Sfrac = 1.4142135623746...

Giá trị của Bản mẫu:Math được tính đến 137.438.953.444 chữ số thập phân bởi đội của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng 2 năm 2006, kỉ lục cho việc tính Bản mẫu:Math bị phá vỡ sử dụng một chiếc máy tính cá nhân. Shigeru Kondo tính 1 nghìn tỷ chữ số thập phân của căn bậc hai của 2 trong năm 2010. Trong số các hằng số toán học với biểu diễn thập phân cần nhiều tài nguyên tính toán, chỉ có [[pi|Bản mẫu:Pi]] là được tính chính xác hơn. Những tính toán như vậy chủ yếu là để kiểm tra bằng thực nghiệm xem những số đó có phải là bình thường hay không.

Xấp xỉ hữu tỉ

Một xấp xỉ hữu tỉ đơn giản Bản mẫu:Sfrac (≈ 1.4142857) thường được sử dụng. Mặc dù có mẫu số chỉ là 70, độ sai lệch của nó với giá trị đúng là ít hơn Bản mẫu:Sfrac (khoảng Bản mẫu:Val). Do nó là một giản phân của biểu diễn liên phân số của căn bậc hai của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ nào gần hơn phải có mẫu số không bé hơn 169, do Bản mẫu:Sfrac (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp theo với sai số khoảng Bản mẫu:Val.

Xấp xỉ hữu tỉ Bản mẫu:Sfrac, từ bước thứ bốn trong phương pháp Babylon ở trên bắt đầu với Bản mẫu:Math, có sai số khoảng Bản mẫu:Val: bình phương của nó là Bản mẫu:Val…

Kỉ lục

Đây là bảng những kỉ lục gần đây trong việc tính các chữ số của Bản mẫu:Math Bản mẫu:Nowrap

Nguồn:

Ngày	Tên	Số chữ số
28 tháng 6 năm 2016	Ron Watkins	10 nghìn tỷ
3 tháng 4 năm 2016	Ron Watkins	5 nghìn tỷ
9 tháng 2 năm 2012	Alexander Yee	2 nghìn tỷ
22 tháng 3 năm 2010	Shigeru Kondo	1 nghìn tỷ

Chứng minh tính vô tỉ

Một chứng minh ngắn về tính vô tỉ của Bản mẫu:Math sử dụng định lý nghiệm hữu tỉ, phát biểu rằng nếu Bản mẫu:Math là một đa thức monic với hệ số nguyên, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào của Bản mẫu:Math cũng là một số nguyên. Áp dụng định lý cho đa thức Bản mẫu:Math, ta suy ra Bản mẫu:Math hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Vì Bản mẫu:Math nên nó không là một số nguyên, do đó Bản mẫu:Math là một số vô tỉ. Chứng minh này có thể tổng quát: căn bậc hai của bất kì số tự nhiên nào không phải số chính phương là một số vô tỉ.

Xem số vô tỉ bậc hai hoặc lùi vô hạn cho chứng minh rằng căn bậc hai của bất kì số tự nhiên không phải số chính phương nào cũng là vô tỉ.

Chứng minh bằng lùi vô hạn

Một trong những chứng minh phổ biến nhất sử dụng phương pháp lùi vô hạn. Đây cũng là chứng minh bằng phản chứng, trong đó mệnh đề cần chứng minh được giả sử là sai rồi suy ra giả sử này không thể xảy ra, tức mệnh đề cần chứng minh là đúng.

1. Giả sử Bản mẫu:Math là một số hữu tỉ, tức Bản mẫu:Math có thể viết dưới dạng một phân số tối giản Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar nguyên tố cùng nhau.
2. Ta suy ra Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.   (Bản mẫu:Math là các số nguyên)
3. Do đó Bản mẫu:Math là số chẵn, nên Bản mẫu:Math cũng là số chẵn, tức tồn tại số nguyên Bản mẫu:Math sao cho Bản mẫu:Math.
4. Thay Bản mẫu:Math cho Bản mẫu:Math trong đẳng thức ở bước 2: Bản mẫu:Math ta được Bản mẫu:Math.
5. Lập luận như bước 3, ta được Bản mẫu:Math là số chẵn, nên Bản mẫu:Math là số chẵn.
6. Như vậy cả Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math đều là số chẵn, trái với giả thiết rằng Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vì ta suy ra được một điều vô lý, giả sử (1) rằng Bản mẫu:Math là số hữu tỉ là sai. Tức là, Bản mẫu:Math phải là một số vô tỉ.

Chứng minh này được gợi ý bởi Aristotle, trong cuốn Analytica Priora, §I.23. Chứng minh hoàn chỉnh đầu tiên xuất hiện trong bộ Cơ sở của Euclid, là mệnh đề 117 của Quyển X. Tuy nhiên, từ đầu thế kỷ 19 nhiều sử gia cho rằng chứng minh này không nằm trong bản thảo gốc và do đó không thể cho là của Euclid.

Chứng minh hình học

Hình 1. Chứng minh hình học của Stanley Tennenbaum cho tính vô tỉ của Bản mẫu:Sqrt.

Một biểu diễn hình học của chứng minh trên được John Horton Conway cho là của Stanley Tennenbaum khi ông còn là học sinh đầu thập niên 1950 và lần xuất hiện gần đây nhất là trong một bài báo bởi Noson Yanofsky trong tạp chí American Scientist số tháng 5-6 2016. Cho hai hình vuông có cạnh là số nguyên Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, trong đó một cái có diện tích gấp đôi cái kia, đặt hai hình vuông nhỏ trong hình vuông lớn như trong hình 1. Phần giao nhau ở giữa có diện tích (Bản mẫu:Math) phải bằng tổng diện tích của hai hình vuông nhỏ không được che phủ (Bản mẫu:Math). Như vậy ta thu được hai hình vuông nhỏ hơn các hình vuông ban đầu và diện tích cái này gấp đôi cái kia. Lặp lại quá trình này ta có thể thu nhỏ các hình vuông tùy ý, nhưng điều này là vô lý do chúng phải có cạnh là số nguyên dương, tức lớn hơn hoặc bằng 1.

Hình 2. Chứng minh hình học của Tom Apostol cho tính vô tỉ của Bản mẫu:Sqrt.

Một chứng minh hình học sử dụng phản chứng khác xuất hiện năm 2000 trong tập san American Mathematical Monthly. Nó cũng là một chứng minh sử dụng phương pháp lùi vô hạn, đồng thời sử dụng phép dựng hình bằng thước kẻ và compa đã được biết từ thời Hy Lạp cổ đại.

Lấy Bản mẫu:Math vuông cân với cạnh huyền Bản mẫu:Math và cạnh bên Bản mẫu:Math như trong Hình 2. Theo định lý Pythagoras, Bản mẫu:Math. Giả sử Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là các số nguyên và Bản mẫu:Math là phân số tối giản

Vẽ các cung Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math với tâm Bản mẫu:Math. Nối Bản mẫu:Math cắt Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math. Dễ thấy, hai tam giác Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math bằng nhau theo cạnh-góc-cạnh.

Ngoài ra ta cũng thấy Bản mẫu:Math là tam giác vuông cân. Do đó Bản mẫu:Math. Theo tính đối xứng, Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math cũng là tam giác vuông cân. Ta suy ra Bản mẫu:Math.

Như vậy ta có một tam giác vuông cân nhỏ hơn với cạnh huyền Bản mẫu:Math và cạnh bên Bản mẫu:Math. Chúng nhỏ hơn Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math nhưng có cùng tỉ lệ, trái với giả thiết là Bản mẫu:Math là tối giản. Do đó, Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math không thể cùng là số nguyên, nên Bản mẫu:Math.

Chứng minh trực tiếp

Một hướng đi khác mang tính xây dựng là thiết lập một chặn dưới cho hiệu của Bản mẫu:Sqrt và một số hữu tỉ bất kì. Với hai số nguyên dương Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, số mũ đúng của 2 (tức số mũ của 2 trong khai triển ra thừa số nguyên tố) của Bản mẫu:Math là chẵn, còn của Bản mẫu:Math là lẻ, nên chúng là các số nguyên khác nhau; do đó Bản mẫu:Math với mọi Bản mẫu:Math nguyên dương. Khi đó

$|\sqrt{2}-\frac{a}{b}|=\frac{|2b^2-a^2|}{b^2(\sqrt{2}+\frac{a}{b})}\ge \frac{1}{b^2(\sqrt{2}+\frac{a}{b})}\ge \frac{1}{3b^2},$

bất đẳng thức cuối đúng do ta giả sử Bản mẫu:Math (nếu không thì hiệu trên hiển nhiên lớn hơn Bản mẫu:Math). Bất đẳng thức này cho ta chặn dưới Bản mẫu:Math của hiệu Bản mẫu:Math, từ đó dẫn đến chứng minh tính vô tỉ trực tiếp mà không cần giả sử phản chứng. Chứng minh này chỉ ra rằng tồn tại một khoảng cách giữa Bản mẫu:Math và bất kỳ số hữu tỉ nào.

Tính chất của căn bậc hai của 2

Một nửa của Bản mẫu:Math, đồng thời cũng là nghịch đảo của Bản mẫu:Math, xấp xỉ bằng Bản mẫu:Gaps, là một giá trị thường gặp trong hình học và lượng giác vì vectơ đơn vị tạo góc 45° với các trục thì có tọa độ

$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}).$

Số này thỏa mãn

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.$

Một giá trị có liên quan là tỷ lệ bạc. Hai số dương Bản mẫu:Math có tỷ lệ bạc Bản mẫu:Math nếu

$\frac{2a+b}{a}=\frac{a}{b}={\delta }_S$.

Bằng cách biến đổi về phương trình bậc hai, ta có thể giải được Bản mẫu:Math.

Bản mẫu:Math có thể được biểu diễn theo đơn vị ảo Bản mẫu:Math chỉ sử dụng căn bậc hai và các phép toán số học:

$\frac{\sqrt{i}+i\sqrt{i}}{i}\text{ and }\frac{\sqrt{-i}-i\sqrt{-i}}{-i}$

nếu ký hiệu căn bậc hai được định nghĩa hợp lý cho số phức Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.

Bản mẫu:Math cũng là số thực duy nhất khác Bản mẫu:Math mà tetration vô hạn lần bằng với bình phương của nó. Một cách phát biểu chặt chẽ như sau: nếu với số thực Bản mẫu:Math ta định nghĩa Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math, thì giới hạn của Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math (nếu tồn tại) gọi là Bản mẫu:Math. Khi ấy Bản mẫu:Math là số Bản mẫu:Math duy nhất thỏa Bản mẫu:Math. Hay nói cách khác:

${\sqrt{2}}^{({\sqrt{2}}^{({\sqrt{2}}^{({\cdot }^{{\cdot }^{\cdot })))}}}}=2.$

Bản mẫu:Math cũng xuất hiện trong công thức Viète cho Bản mẫu:Pi:

$2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}\to \pi \text{ khi }m\to \mathrm{\infty }$

với Bản mẫu:Math dấu căn và đúng một dấu trừ.

Ngoài ra, Bản mẫu:Math còn xuất hiện trong nhiều hằng số lượng giác:

$\begin{array}{cccccc}\sin \frac{\pi }{32}& =\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}& \sin \frac{3\pi }{16}& =\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}& \sin \frac{11\pi }{32}& =\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}}\\ \sin \frac{\pi }{16}& =\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}& \sin \frac{7\pi }{32}& =\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}& \sin \frac{3\pi }{8}& =\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\\ \sin \frac{3\pi }{32}& =\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}}& \sin \frac{\pi }{4}& =\frac{1}{2}\sqrt{2}& \sin \frac{13\pi }{32}& =\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}}\\ \sin \frac{\pi }{8}& =\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}& \sin \frac{9\pi }{32}& =\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}& \sin \frac{7\pi }{16}& =\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\\ \sin \frac{5\pi }{32}& =\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}}& \sin \frac{5\pi }{16}& =\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}& \sin \frac{15\pi }{32}& =\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\end{array}$

Hiện vẫn chưa biết liệu Bản mẫu:Math có phải là số chuẩn, một tính chất mạnh hơn tính vô tỉ, nhưng phân tích thống kê biểu diễn của nó trong hệ nhị phân cho thấy có khả năng nó chuẩn trong hệ cơ số hai.

Biểu diễn chuỗi

Hệ thức Bản mẫu:Math, cùng với các biểu diễn tích vô hạn của sin và cosin cho ta

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{(4k+2{)}^2})=(1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{36})(1-\frac{1}{100})\cdots$

và

$\sqrt{2}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k+2{)}^2}{(4k+1)(4k+3)}=\left(\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\right)\left(\frac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\right)\left(\frac{10\cdot 10}{9\cdot 11}\right)\left(\frac{14\cdot 14}{13\cdot 15}\right)\cdots$

hoặc tương đương,

$\sqrt{2}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{1}{4k+1})(1-\frac{1}{4k+3})=(1+\frac{1}{1})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})\cdots .$

Ngoài ra ta có thể dùng chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Ví dụ, chuỗi Taylor cho Bản mẫu:Math cho ta

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{2k}}{(2k)!}.$

Chuỗi Taylor cho Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math cùng với giai thừa kép Bản mẫu:Math cho ta

$\sqrt{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{(2k-3)!!}{(2k)!!}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}+\cdots .$

Sử dụng biến đổi Euler để đẩy nhanh tốc độ hội tụ của dãy, ta được

$\sqrt{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k+1)!}{2^{3k+1}(k!{)}^2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{15}{64}+\frac{35}{256}+\frac{315}{4096}+\frac{693}{16384}+\cdots .$

Một công thức dạng BBP cho Bản mẫu:Math vẫn chưa được tìm ra, tuy nhiên đã có những công thức dạng BBP cho Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.

Bản mẫu:Sqrt có thể biểu diễn bằng phân số Ai Cập, với mẫu số bằng các số hạng thứ Bản mẫu:Math của một dãy hồi quy tuyến tính giống dãy Fibonacci. Đặt Bản mẫu:Math

$\sqrt{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a_{2^n}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(\frac{1}{6}+\frac{1}{204}+\frac{1}{235416}+\dots )$

Liên phân số

Xấp xỉ căn bậc hai của 2 bằng dãy giản phân.

Căn bậc hai của 2 có biểu diễn bằng liên phân số sau:

$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}}.$

Những giản phân đầu tiên là: Bản mẫu:Math. Giản phân Bản mẫu:Math cách Bản mẫu:Math một khoảng gần bằng Bản mẫu:MathBản mẫu:Citation needed và giản phân tiếp theo là Bản mẫu:Math.

Bình phương lồng nhau

Biểu thức sau đây hội tụ về Bản mẫu:Sqrt:

$\begin{array}{cc}\sqrt{2}& =\frac{3}{2}-2{(\frac{1}{4}-{(\frac{1}{4}-{(\frac{1}{4}-{(\frac{1}{4}-\cdots )}^2)}^2)}^2)}^2\\ & =\frac{3}{2}-4{(\frac{1}{8}+{(\frac{1}{8}+{(\frac{1}{8}+{(\frac{1}{8}+\cdots )}^2)}^2)}^2)}^2.\end{array}$

Hằng số liên quan

Nghịch đảo của căn bậc hai của 2 (căn bậc hai của Bản mẫu:Sfrac) là một hằng số thường dùng.

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=0.70710678118654752440084436210484903928...$ Bản mẫu:OEIS

Khổ giấy

Năm 1786, giáo sư vật lý người Đức Georg Lichtenberg phát hiện rằng bất kỳ tờ giấy nào có cạnh dài dài gấp Bản mẫu:Sqrt lần cạnh ngắn có thể được gấp đôi để tạo thành một tờ giấy mới có tỉ lệ giống hệt tờ ban đầu. Tỉ lệ giấy này bảo đảm rằng cắt giấy thành hai nửa cho ra các tờ giấy nhỏ hơn cùng tỉ lệ. Khi Đức chuẩn hóa khổ giấy vào đầu thế kỷ 20, họ dùng tỉ lệ của Lichtenberg để tạo thành giấy khổ "A". Hiện nay, tỉ lệ khung hình (xấp xỉ) của khổ giấy theo tiêu chuẩn ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:Bản mẫu:Math.

Chứng minh:
Gọi $S=$ cạnh ngắn và $L=$ cạnh dài của tờ giấy, với

$R=\frac{L}{S}=\sqrt{2}$ theo ISO 216.

Gọi $R^{\prime }=\frac{L^{\prime }}{S^{\prime }}$ là tỉ số của một nửa tờ giấy thì

$R^{\prime }=\frac{S}{L/2}=\frac{2S}{L}=\frac{2}{(L/S)}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=R$.

Xem thêm

• Căn bậc hai của 3
• Căn bậc hai của 5
• Tỷ lệ bạc, Bản mẫu:Math
• Căn bậc hai của 2 hình thành trong quan hệ giữa các f-stop của thấu kính máy ảnh, dẫn đến tỉ lệ diện tích giữa hai khẩu độ liên tiếp là 2.
• Hằng số Gelfond–Schneider, Bản mẫu:Math.
• Công thức Viète cho pi

Tham khảo

• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation
• Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:Citation.

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:Citation.
• Bản mẫu:MathWorld
• Căn bậc hai của Hai đến 5 triệu chữ số bởi Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
• Căn bậc hai của 2 là vô tỉ, một tuyển tập các chứng minh
• Bản mẫu:Chú thích web