Hằng số Gelfond–Schneider

Hằng số Gelfond–Schneider hay số Hilbert là hai mũ căn bậc hai của hai:

2Bản mẫu:Sup = Bản mẫu:Val...

và được chứng minh là số siêu việt bởi Rodion Kuzmin năm 1930. Năm 1934, Aleksandr Gelfond và Theodor Schneider độc lập chứng minh định lý Gelfond–Schneider tổng quát hơn, đồng thời giải quyết bài toán thứ bảy của Hilbert, mô tả ở dưới.

Tính chất

Căn bậc hai của hằng số Gelfond–Schneider là số siêu việt:

$\sqrt{2^{\sqrt{2}}}={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}=1.6325269\dots$.

Hằng số này xuất hiện trong một số chứng minh của mệnh đề "một số vô tỉ lũy thừa một số vô tỉ có thể là số hữu tỉ", mà không cần chứng minh tính siêu việt của nó. Do nếu Bản mẫu:Math là số hữu tỉ, thì mệnh đề hiển nhiên đúng. Trường hợp ngược lại, nếu nó là số vô tỉ (và nó thực sự là số vô tỉ), thì

${\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}={\left(\sqrt{2}\right)}^{\left(\sqrt{2}\sqrt{2}\right)}={\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$

là một số vô tỉ mũ một số vô tỉ nhưng cho kết quả là số hữu tỉ Bản mẫu:Math, chứng minh mệnh đề. Chứng minh này không có tính xây dựng, và không thể chỉ ra trường hợp nào là đúng, nhưng nó đơn giản hơn nhiều so với chứng minh của Kuzmin.

Bài toán thứ bảy của Hilbert

Một phần của bài toán toán thứ bảy trong số 23 bài toán của Hilbert đặt ra trong năm 1900 là chứng minh, hoặc tìm phản ví dụ của mệnh đề Bản mẫu:Math luôn là số siêu việt với Bản mẫu:Mvar là số đại số khác Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Mvar là số đại số vô tỉ. Trong phát biểu của bài toán, Hilbert dưa hai ví dụ cụ thể, một trong số đó là hằng số Gelfond–Schneider Bản mẫu:Math.

Năm 1919, ông có một bài giảng về số học và nói về ba giả thiết: giả thiết Riemann, định lý cuối cùng của Fermat, và tính siêu việt của Bản mẫu:Math. Ông nói với thính giả rằng ông không nghĩ bất kỳ ai trong hội trường sẽ sống đủ lâu để thấy chứng minh của bài toán thứ ba. Nhưng kết quả này đã được chứng minh bởi Kuzmin năm 1930, vẫn trong quãng đời của Hilbert. Cụ thể, Kuzmin chứng minh trường hợp số mũ Bản mẫu:Mvar là một số vô tỉ bậc hai, sau đó được tổng quát thành một số mũ Bản mẫu:Mvar vô tỉ đại số bất kỳ bởi Gelfond và Schneider.

Xem thêm

• Hằng số Gelfond

Đọc thêm

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách