Bài toán thứ bảy của Hilbert

Bản mẫu:Short description Bài toán thứ bảy của Hilbert là một trong số các bài toán mở do David Hilbert đưa ra năm 1900. Bài toán đặt câu hỏi về tính vô tỉ và tính siêu việt của một số nhất định (Irrationalität und Transzendenz bestimmter Zahlen).

Phát biểu

Hai câu hỏi tương đương nhau được đặt ra là:

1. Trong một tam giác cân, nếu tỉ số góc ở đáy với góc ở đỉnh là đại số nhưng không hữu tỉ, thì liệu tỉ số giữa cạnh đáy và cạnh bên có là siêu việt không?
2. Cho số đại số Bản mẫu:Mvar khác 0 và 1, và số đại số vô tỉ Bản mẫu:Mvar, liệu Bản mẫu:Math luôn là số siêu việt?

Lời giải

Câu hỏi ở dạng thứ hai được giải quyết bởi Aleksandr Gelfond năm 1934 với câu trả lời là có, và được cải thiện bởi Theodor Schneider năm 1935. Kết quả này được gọi là định lý Gelfond hay định lý Gelfond–Schneider. Việc xét Bản mẫu:Mvar vô tỉ là cần thiết, do Bản mẫu:Math là số đại số với Bản mẫu:Mvar đại số và Bản mẫu:Mvar hữu tỉ.

Bài toán này là một trường hợp đặc biệt của tổ hợp tuyến tính logarit, cụ thể là

$b\ln \alpha +\ln \beta =0.$

Bài toán tổng quát được nghiên cứu bởi Gelfond và giải quyết bởi Alan Baker. Kết quả này được đặt tên là định lý Baker. Baker nhận huy chương Fields năm 1970 cho thành tựu này.

Xem thêm

• Hằng số Gelfond–Schneider

Đọc thêm

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách

Liên kết ngoài

• Bản dịch tiếng Anh của bài toán gốc do Hilbert đặt ra