Định lý Gelfond–Schneider

Bản mẫu:Chú thích trong bài Định lý Gelfond-Schneider mang tên của nhà toán học người Nga Alexander Osipovich Gelfond (1906-1968) và của nhà toán học Theodor Schneider (1911-1988), hai người cùng độc lập chứng minh trong lý thuyết số định lý này trong năm 1934.

Phát biểu

Cho một số đại số a khác 1 và khác 0, và một số vô tỉ đại số b, thì số a^b là số siêu việt.

Ví dụ

Các số sau đây là siêu việt:

• $e^{\pi }=(e^{i\pi }{)}^{-i}=(-1{)}^i$
• $3^{\sqrt{5}}$

Nếu không có điều kiện a và b là các số đại số, định lý nói chung không đúng. Ví dụ, ${\left({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}={\sqrt{2}}^2=2.$ ở đây, a là Bản mẫu:Radic^{Bản mẫu:Radic}, là một số siêu việt. Tương tự, nếu Bản mẫu:Nowrap và Bản mẫu:Nowrap là một số siêu việt, thì Bản mẫu:Nowrap là một số đại số.

Phân tích

• Định lý này được tổng quát hóa thành định lý Baker, bởi nhà toán học người Anh Alan Baker (1939- ) chứng minh năm 1966, như sau:

Nếu a₁,a₂,..., a_n là các số khác không sao cho log a₁, log a₂,..., log a_n là độc lập tuyến tính trên trường số hữu tỉ, thì 1, log a₁, log a₂,..., log a_n cũng độc lập tuyến tính trên mọi trường số đại số.

• Định lý này cũng cung cấp một lời giải cho vấn đề thứ 7 của Các bài toán Hilbert.

Lưu ý

• Quy ước log lấy trên cơ số tự nhiên e (đôi khi còn được viết là ln).

Thư mục

Sách

• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách

Báo

• Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert". Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. VII (4): 623–634.

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:MathWorld