Phương trình bậc hai

Trong đại số sơ cấp, phương trình bậc hai là phương trình có dạng ^[1] $a x^{2} + b x + c = 0,$ Với Bản mẫu:Math là ẩn số chưa biết và Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math là các số đã biết sao cho Bản mẫu:Math khác 0. Các số Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hay hệ số tự do.^[2]

Vì phương trình bậc hai chỉ có một ẩn nên nó được gọi là phương trình "đơn biến". Phương trình bậc hai chỉ chứa lũy thừa của Bản mẫu:Math là các số tự nhiên, bởi vậy chúng là một dạng phương trình đa thức, cụ thể là phương trình đa thức bậc hai do bậc cao nhất là hai.

Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến là nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm, hoặc đồ thị. Giải pháp cho các vấn đề tương tự phương trình bậc hai đã được con người biết đến từ năm 2000 trước Công Nguyên.

Giải phương trình bậc hai

Một phương trình bậc hai với các hệ số thực hoặc phức có hai đáp số, gọi là các nghiệm. Hai nghiệm này có thế phân biệt hoặc không, và có thể là thực hoặc không.

Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra

Phương trình bậc hai Bản mẫu:Math có thể viết được thành Bản mẫu:Math. Trong một vài trường hợp, điều này có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn giản để xác định các giá trị p, q, r, và s sao cho phù hợp với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math. Giải hai phương trình bậc nhất này ta sẽ tìm ra được nghiệm.

Với hầu hết học sinh, phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậc hai đầu tiên mà họ được tiếp cận.^[3]Bản mẫu:Rp Nếu phương trình bậc hai ở dạng Bản mẫu:Math (a = Bản mẫu:Math) thì có thể tìm cách phân tích vế trái thành Bản mẫu:Math, trong đó q và s có tổng là b và tích là c (đây đôi khi được gọi là "quy tắc Viet"^[4]) Ví dụ, Bản mẫu:Math viết thành Bản mẫu:Math. Trường hợp tổng quát hơn khi Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math đòi hỏi nỗ lực lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằng hoàn toàn có thể làm được như vậy.

Trừ những trường hợp đặc biệt như khi Bản mẫu:Math hay Bản mẫu:Math, phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là đa phần các phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này.^[3]Bản mẫu:Rp

Phần bù bình phương

Bản mẫu:Main

Hình 2. Đồ thị hàm số bậc hai Bản mẫu:Math. Các hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là nghiệm của phương trình bậc hai Bản mẫu:Math.

Trong quá trình hoàn thành bình phương ta sử dụng hằng đẳng thức:

x^{2} + 2 h x + h^{2} = (x + h)^{2},

một thuật toán rạch ròi có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.^[3]Bản mẫu:Rp Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát Bản mẫu:Math

Chia hai vế cho Bản mẫu:Math, hệ số của ẩn bình phương.
Trừ Bản mẫu:Math mỗi vế.
Thêm bình phương của một nửa Bản mẫu:Math, hệ số của Bản mẫu:Math, vào hai vế, vế trái sẽ trở thành bình phương đầy đủ.
Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải nếu cần thiết.
Khai căn hai vế thu được hai phương trình bậc nhất.
Giải hai phương trình bậc nhất.

$a x^{2} + b x + c = 0$

$\Leftrightarrow a x^{2} + b x = - c$

$\Leftrightarrow x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$

$\Leftrightarrow x^{2} + \frac{b}{a} x + (\frac{b}{2 a})^{2} = - \frac{c}{a} + (\frac{b}{2 a})^{2}$

$\Leftrightarrow (x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{- 4 a c + b^{2}}{4 a^{2}}$

$\Leftrightarrow (x + \frac{b}{2 a})^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$

$\Leftrightarrow x + \frac{b}{2 a} = \frac{\pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

$\Leftrightarrow x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán này. Giải phương trình Bản mẫu:Math

Đây là lời giải.

\Leftrightarrow x^{2} + 2 x - 2 = 0

\Leftrightarrow x^{2} + 2 x = 2

\Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 1 = 2 + 1

\Leftrightarrow {(x + 1)}^{2} = 3

\Leftrightarrow x + 1 = \pm \sqrt{3}

\Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt{3}

Dấu cộng-trừ "±" biểu thị rằng cả Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math đều là nghiệm của phương trình.^[5]

Công thức nghiệm

Bản mẫu:Main Có thể áp dụng phương pháp phần bù bình phương để rút ra một công thức tổng quát cho việc giải phương trình bậc hai, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai.^[6] Giờ là phần chứng minh tóm tắt.^[7] Bằng khai triển đa thức, dễ thấy phương trình dưới đây tương đương với phương trình đầu:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 . a^{2}} .

Lấy căn bậc hai của hai vế rồi chuyển Bản mẫu:Math về một bên, ta được:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .

Một số nguồn tài liệu, đặc biệt là tài liệu cũ, sử dụng tham số hóa phương trình bậc hai thay thế như Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math ,^[8] ở đây Bản mẫu:Math có độ lớn bằng một nửa và có thể mang dấu ngược lại. Các dạng nghiệm là hơi khác, còn lại thì tương đương.

Còn một số cách rút ra công thức nghiệm có thể tìm thấy trong tài liệu. Các cách chứng minh này là đơn giản hơn phương pháp phần bù bình phương tiêu chuẩn.

Một công thức ít phổ biến hơn, như dùng trong phương pháp Muller và có thể tìm được từ công thức Viet:

x = \frac{- 2 c}{b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}} .

Một tính chất của công thức này là khi Bản mẫu:Math nó sẽ cho ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn lại có chứa phép chia cho Bản mẫu:Math, bởi khi Bản mẫu:Math thì phương trình bậc hai sẽ chuyển về bậc nhất có một nghiệm. Ngược lại, công thức phổ biến chứa phép chia cho Bản mẫu:Math ở cả hai trường hợp.

Phương trình bậc hai rút gọn

Việc rút gọn phương trình bậc hai để cho hệ số lớn nhất bằng một đôi khi là tiện lợi. Cách làm là chia cả hai vế cho a, điều này luôn thực hiện được bởi a khác Bản mẫu:Math, ta được phương trình bậc hai rút gọn:^[9]

x^{2} + p x + q = 0,

trong đó p = b/a và q = c/a. Công thức nghiệm của phương trình này là:

x = \frac{1}{2} (- p \pm \sqrt{p^{2} - 4 q}) .

Biệt thức

Bản mẫu:Main

Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là biệt thức và thường được biểu diễn bằng chữ Bản mẫu:Math hoa hoặc chữ delta hoa (Δ) trong bảng chữ cái Hy Lạp:^[10]

Δ = b^{2} - 4 a c .

Ngoài ra, với b = 2b' thì ta có biệt thức thu gọn:

Δ^{'} = b'^{2} - a c .

với Δ = 4Δ'

Phương trình bậc hai với các hệ số thực có thể có một hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức phân biệt. Trong trường hợp này biệt thức quyết định số lượng và bản chất của nghiệm. Có ba trường hợp:

Nếu Δ (hoặc Δ') dương (Δ > Bản mẫu:Math hay Δ'>0), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} và \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} (hoặc \frac{- b^{'} + \sqrt{Δ^{'}}}{a} và \frac{- b^{'} - \sqrt{Δ^{'}}}{a})

cả hai đều là nghiệm thực. Đối với những phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ, nếu Δ, Δ' là một số chính phương thì nghiệm là hữu tỉ; còn với những trường hợp khác chúng có thể là các số vô tỉ.

Nếu Δ = Bản mẫu:Math (hoặc Δ' = Bản mẫu:Math), phương trình có một nghiệm thực:

- \frac{b}{2 a}

(hoặc

- \frac{b^{'}}{a}

)

hay đôi khi còn gọi là nghiệm kép.

Nếu Δ (hoặc Δ') âm (Δ < Bản mẫu:Math hoặc Δ' < Bản mẫu:Math), phương trình không có nghiệm thực, thay vào đó là hai nghiệm phức phân biệt^[11]

\frac{- b}{2 a} + \frac{\sqrt{| Δ |}}{2 a} i và \frac{- b}{2 a} - \frac{\sqrt{| Δ |}}{2 a} i

hoặc

\frac{- b^{'}}{a} + \frac{\sqrt{| Δ^{'} |}}{a} i và \frac{- b^{'}}{a} - \frac{\sqrt{| Δ^{'} |}}{a} i

là những số phức liên hợp, còn Bản mẫu:Math là đơn vị ảo.

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ khác Bản mẫu:Math, có nghiệm thực khi và chỉ khi Δ không âm (Δ ≥ Bản mẫu:Math) .

Diễn giải bằng hình học

Hàm số Bản mẫu:Math là hàm số bậc hai.^[12] Đồ thị của bất kỳ hàm bậc hai nào cũng đều có một dạng chung được gọi là parabol. Vị trí, hình dạng, kích cỡ của parabol phụ thuộc vào giá trị của Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Math, prabol có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên; nếu Bản mẫu:Math, parabol có một điểm cực đại và bề lõm hướng xuống dưới (xem hình 1, a). Cực điểm của parabol ứng với đỉnh của nó; điểm này có hoành độ $x = \frac{- b}{2 a}$ , tính Bản mẫu:Math rồi thế vào hàm số ta sẽ tìm được giá trị tung độ. Đồ thị giao trục tung tại điểm có tọa độ Bản mẫu:Math.

Các nghiệm của phương trình bậc hai Bản mẫu:Math tương ứng là các nghiệm của hàm số Bản mẫu:Math bởi chúng là những giá trị của Bản mẫu:Math để cho Bản mẫu:Math. Nếu Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math là những số thực và miền xác định của hàm Bản mẫu:Math là tập hợp số thực thì nghiệm của Bản mẫu:Math là hoành độ của giao/tiếp điểm của đồ thị với trục hoành (xem hình 3).

Nhân tử hóa đa thức bậc hai

Biểu thức

x - r

là nhân tử của đa thức

a x^{2} + b x + c

khi và chỉ khi Bản mẫu:Math là một nghiệm của phương trình bậc hai

a x^{2} + b x + c = 0 .

Từ công thức nghiệm ta có

a x^{2} + b x + c = a (x - \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) .

Trong trường hợp đặc biệt Bản mẫu:Math (hay Δ = Bản mẫu:Math) phương trình chỉ có một nghiệm phân biệt, có thể nhân tử hóa đa thức bậc hai thành

a x^{2} + b x + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} .

Lịch sử

Ngay từ năm 2000 trước Công Nguyên, các nhà toán học Babylon đã có thể giải những bài toán liên quan đến diện tích và các cạnh của hình chữ nhật. Có bằng chứng chỉ ra thuật toán này xuất hiện từ triều đại Ur thứ ba.^[13] Theo ký hiệu hiện đại, các bài toán này thường liên quan đến việc giải hệ gồm hai phương trình:

x + y = p, x y = q

tương đương với phương trình:^[14]Bản mẫu:Rp

x^{2} + q = p x

Các bước giải được người Babylon đưa ra như sau:

Tính p/2.
Bình phương kết quả tìm được.
Trừ đi q.
Tính căn bậc hai bằng bảng căn bậc hai.
Cộng kết quả của bước (1) và (4) để tìm Bản mẫu:Math. Điều này về cơ bản là tương đương với việc tính $x = \frac{p}{2} + \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$

Ở Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, Trung Quốc, và Ấn Độ, phương pháp hình học được sử dụng để giải phương trình bậc hai. Tài liệu Berlin Papyrus của người Ai Cập có từ thời Trung vương quốc (từ năm 2050 đến 1650 trước CN) có chứa lời giải của phương trình bậc hai hai số hạng.^[15] Trong nguyên bản kinh Sulba Sutras, khoảng thế kỷ 8 trước CN, phương trình bậc hai dạng Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math được khảo sát bằng phương pháp hình học. Các nhà toán học Babylon từ khoản năm 400 trước CN và các nhà toán học Trung Quốc từ khoảng năm 200 trước CN đã sử dụng phương pháp phân chia hình học để giải các phương trình bậc hai với nghiệm dương.^[16]^[17] Cuốn Cửu chương toán thuật của người Trung Quốc có ghi những quy tắc của phương trình bậc hai.^[17]^[18] Trong những phương pháp hình học thuở đầu này không xuất hiện một công thức tổng quát. Tới khoảng năm 300 trước CN, nhà toán học Hy Lạp Euclid đã cho ra một phương pháp hình học trừu tượng hơn. Với cách tiếp cận hoàn toàn bằng hình học, Pythagoras và Euclid đã tạo dựng một phương pháp tổng quan để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Trong tác phẩm Arithmetica của mình, nhà toán học Hy Lạp Diophantus đã giải phương trình bậc hai, tuy nhiên chỉ cho ra một nghiệm, kể cả khi cả hai nghiệm đều là dương.^[19]

Vào năm 628 CN, Brahmagupta, một nhà toán học Ấn Độ đưa ra lời giải rõ ràng đầu tiên (dù vẫn chưa hoàn toàn tổng quát) cho phương trình bậc hai Bản mẫu:Math như sau: "Nhân số tuyệt đối (c) với bốn lần hệ số bình phương, cộng với bình phương hệ số số hạng ở giữa; căn bậc hai toàn bộ, trừ đi hệ số số hạng ở giữa, rồi chia cho hai lần hệ số bình phương là giá trị." (Brahmasphutasiddhanta, Colebrook translation, 1817, tr 346)^[14]Bản mẫu:Rp Điều này tương đương:

x = \frac{\sqrt{4 a c + b^{2}} - b}{2 a} .

Thủ bản Bakhshali ra đời ở Ấn Độ vào thế kỷ 7 CN có chứa một công thức đại số cho việc giải phương trình bậc hai, cũng như những phương trình vô định. Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi đi xa hơn trong việc cung cấp một lời giải đầy đủ cho phương trình bậc hai dạng tổng quát,^[20] ông cũng đã mô tả phương pháp phần bù bình phương và thừa nhận rằng biệt thức phải dương,^[20]^[21]Bản mẫu:Rp điều đã được 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Trung Á, thế kỷ 9) chứng minh. Turk là người đưa ra những biểu đồ hình học chứng minh rằng nếu biệt thức âm thì phương trình bậc hai vô nghiệm.^[21]Bản mẫu:Rp Trong khi bản thân al-Khwarizmi không chấp nhận nghiệm âm, các nhà toán học Hồi giáo kế tục ông sau này đã chấp nhận nghiệm âm cũng như nghiệm vô tỉ.^[20]Bản mẫu:Rp^[22] Cá biệt Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Ai Cập, thế kỷ 10) là người đầu tiên chấp nhận các số vô tỉ (thường ở dạng căn bậc hai, căn bậc ba hay căn bậc bốn) là nghiệm hay là hệ số của phương trình bậc hai.^[23] Nhà toán học Ấn Độ thế kỷ thứ 9 Sridhara đã viết ra các quy tắc giải phương trình bậc hai.^[24]

Nhà toán học người Do Thái Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (thế kỷ 12, Tây Ban Nha) là tác giả cuốn sách đầu tiên của người châu Âu có chứa lời giải đầy đủ cho phương trình bậc hai dạng tổng quát.^[25] Giải pháp của Ha-Nasi dựa nhiều vào tác phẩm của Al-Khwarizmi.^[20] Lần đầu tiên hệ số âm của 'x' xuất hiện trong tác phẩm của nhà toán học người Trung Quốc Yang Hui (1238–1298 CN), dù vậy ông cho điều này là từ nhà toán học Liu Yi ở thời trước đó.^[26] Vào năm 1545 Gerolamo Cardano biên soạn các tác phẩm liên quan đến phương trình bậc hai. Công thức nghiệm cho mọi trường hợp lần đầu đạt được bởi Simon Stevin vào năm 1594.^[27] Năm 1637 René Descartes công bố tác phẩm La Géométrie trong đó có chứa công thức nghiệm mà chúng ta biết ngày nay. Lời giải tổng quát xuất hiện lần đầu trong tài liệu toán học hiện đại vào năm 1896, bởi Henry Heaton.^[28]

Công thức Viète

Công thức Viète cho ta thấy quan hệ đơn giản giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, chúng được phát biểu như sau:

Nếu $x_{1}$ và $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ thì: ${\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = S = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} = P = \frac{c}{a} \end{matrix}$
Ngược lại nếu x₁ và x₂ có tổng là S và tích là P thì x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình x² - Sx + P=0

Các trường hợp nhận biết đặc biệt

Khi phương trình bậc hai đã cho có dấu hiệu sau:

$a + b + c = 0$ (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là: $x_{1} = 1; x_{2} = \frac{c}{a}$ .
$a - b + c = 0$ (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là: $x_{1} = - 1; x_{2} = - \frac{c}{a}$
Nếu $a c < 0$ (tức a và c trái dấu nhau) thì phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Chủ đề liên quan

Tham khảo

Bản mẫu:Tham khảo

Liên kết ngoài

Bản mẫu:Các phương trình đại số

↑ Bản mẫu:Cite book Extract of page 219
↑ Protters & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry. First Course"
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Bản mẫu:Chú thích sách
↑ Bản mẫu:Citation.
↑ Bản mẫu:Citation
↑ Bản mẫu:Citation, Chapter 13 §4.4, p. 291
↑ Himonas, Alex. Calculus for Business and Social Sciences, p. 64 (Richard Dennis Publications, 2001).
↑ Bản mẫu:Citation
↑ Alenit͡syn, Aleksandr and Butikov, Evgeniĭ. Concise Handbook of Mathematics and Physics, p. 38 (CRC Press 1997)
↑ Δ is the initial of the Greek word Διακρίνουσα, Diakrínousa, discriminant.
↑ Bản mẫu:Chú thích sách
↑ Bản mẫu:Chú thích sách
↑ Bản mẫu:Chú thích tạp chí
↑ ^14,0 ^14,1 Bản mẫu:Chú thích sách
↑ Bản mẫu:Chú thích sách
↑ Bản mẫu:Chú thích web
↑ ^17,0 ^17,1 Bản mẫu:Chú thích web
↑ Bản mẫu:Chú thích sách
↑ Bản mẫu:Chú thích sách Extract of page 134
↑ ^20,0 ^20,1 ^20,2 ^20,3 Bản mẫu:Chú thích tạp chí
↑ ^21,0 ^21,1 Bản mẫu:Chú thích sách
↑ Bản mẫu:MacTutor "Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., to all be treated as "algebraic objects"."
↑ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Bản mẫu:Citation
↑ Bản mẫu:Chú thích sách
↑ Bản mẫu:Chú thích sách
↑ Bản mẫu:Chú thích sách
↑ Bản mẫu:Citation
↑ Bản mẫu:Chú thích tạp chí

[1] Bản mẫu:Cite book Extract of page 219

[2] Protters & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry. First Course"

[Washington2000-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 Bản mẫu:Chú thích sách

[4] Bản mẫu:Citation.

[5] Bản mẫu:Citation

[6] Bản mẫu:Citation, Chapter 13 §4.4, p. 291

[7] Himonas, Alex. Calculus for Business and Social Sciences, p. 64 (Richard Dennis Publications, 2001).

[kahan-8] Bản mẫu:Citation

[9] Alenit͡syn, Aleksandr and Butikov, Evgeniĭ. Concise Handbook of Mathematics and Physics, p. 38 (CRC Press 1997)

[10] Δ is the initial of the Greek word Διακρίνουσα, Diakrínousa, discriminant.

[11] Bản mẫu:Chú thích sách

[12] Bản mẫu:Chú thích sách

[Friberg2009-13] Bản mẫu:Chú thích tạp chí

[Stillwell2004-14] 14,0 ^14,1 Bản mẫu:Chú thích sách

[15] Bản mẫu:Chú thích sách

[Henderson-16] Bản mẫu:Chú thích web

[Aitken-17] 17,0 ^17,1 Bản mẫu:Chú thích web

[18] Bản mẫu:Chú thích sách

[19] Bản mẫu:Chú thích sách Extract of page 134

[Katz2007-20] 20,0 ^20,1 ^20,2 ^20,3 Bản mẫu:Chú thích tạp chí

[Boyer1991-21] 21,0 ^21,1 Bản mẫu:Chú thích sách

[22] Bản mẫu:MacTutor "Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., to all be treated as "algebraic objects"."

[23] Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Bản mẫu:Citation

[24] Bản mẫu:Chú thích sách

[Livio2006-25] Bản mẫu:Chú thích sách

[Ron-26] Bản mẫu:Chú thích sách

[27] Bản mẫu:Citation

[heaton-1896-28] Bản mẫu:Chú thích tạp chí

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

Phương trình bậc hai

Mục lục

Giải phương trình bậc hai

Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra

Phần bù bình phương

Công thức nghiệm

Phương trình bậc hai rút gọn

Biệt thức

Diễn giải bằng hình học

Nhân tử hóa đa thức bậc hai

Lịch sử

Công thức Viète

Các trường hợp nhận biết đặc biệt

Chủ đề liên quan

Tham khảo

Liên kết ngoài

Bảng điều hướng

Phương trình bậc hai

Giải phương trình bậc hai

Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra

Phần bù bình phương

Công thức nghiệm

Phương trình bậc hai rút gọn

Biệt thức

Diễn giải bằng hình học

Nhân tử hóa đa thức bậc hai

Lịch sử

Công thức Viète

Các trường hợp nhận biết đặc biệt

Chủ đề liên quan

Tham khảo

Liên kết ngoài

Bảng điều hướng

Tìm kiếm