Căn bậc hai của 3

Danh sách các số Số vô tỉ [[Hằng số Euler–Mascheroni|Bản mẫu:Mvar]] [[Hằng số Apéry|Bản mẫu:Mvar(3)]] [[Căn bậc hai của hai|Bản mẫu:Sqrt]] Bản mẫu:Sqrt [[Căn bậc hai của 5|Bản mẫu:Sqrt]] [[Tỷ lệ vàng|Bản mẫu:Mvar]] [[Tỷ lệ bạc|Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar]] [[e (số)|Bản mẫu:Mvar]] [[Pi|Bản mẫu:Pi]]
Nhị phân	Bản mẫu:Gaps
Thập phân	Bản mẫu:Gaps
Thập lục phân	Bản mẫu:Gaps
Liên phân số	$1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\ddots }}}}}$

Căn bậc hai của 3 là một số thực dương sao cho khi nhân với chính nó thì cho ra số 3. Chính xác hơn, nó được gọi là căn bậc hai số học của 3, để phân biệt với số tâm có cùng tính chất. Nó được kí hiệu là Bản mẫu:Math hoặc Bản mẫu:Math.

Căn bậc hai của 3 là một số vô tỉ. Nó còn được biết là hằng số Theodorus, đặt tên theo Theodorus xứ Cyrene, người đã chứng minh tính vô tỉ của nó.

Sáu mươi chữ số đầu tiên trong biểu diễn thập phân của nó là:

Bản mẫu:Gaps Bản mẫu:OEIS

Thuật toán tính toán

Có một số cách để xấp xỉ giá trị của Bản mẫu:Math. Thuật toán thường được dùng trong các máy tính cá nhân và máy tính bỏ túi là phương pháp Babylon để tính căn bậc hai của một số. Các bước tiến hành như sau:

1. Lấy một số Bản mẫu:Math bất kì làm giá trị ban đầu (càng gần Bản mẫu:Math càng tốt)
2. Tính từng số hạng theo công thức truy hồi sau:

$a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\frac{3}{a_n}).$

1. Lặp lại bước 2 cho đến khi đạt được độ chính xác cần thiết.

Dãy Bản mẫu:Math trên là dãy hội tụ bậc hai, tức mỗi lần tính cho ta khoảng gấp đôi số chữ số thập phân đúng. Bắt đầu với Bản mẫu:Math cho ta các xấp xỉ:

• Bản mẫu:Math
• Bản mẫu:Math
• Bản mẫu:Math
• Bản mẫu:Math

Tháng 12 năm 2013, giá trị của Bản mẫu:Math đã được tính đến ít nhất mười tỉ chữ số thập phân.

Xấp xỉ hữu tỉ

Phân số Bản mẫu:Sfrac (Bản mẫu:Val…) có thể được dùng làm xấp xỉ cho căn bậc hai của 3. Tuy chỉ có mẫu số 56, nó chỉ cách biệt giá trị đúng ít hơn Bản mẫu:Sfrac (khoảng Bản mẫu:Val). Giá trị làm tròn 1.732 đúng đến 99.99% giá trị thực.

Archimedes khẳng định rằng Bản mẫu:Math, lần lượt với sai số là Bản mẫu:Sfrac (sáu chữ số thập phân) và Bản mẫu:Sfrac (bốn chữ số thập phân).

Liên phân số

Bản mẫu:Math có thể được biểu diễn bằng phân số liên tục Bản mẫu:Math Bản mẫu:OEIS, tức là

$\sqrt{3}=[1;\overline{1,2}]=1+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+{}_{\ddots }}}}}.$

Theo tính chất của liên phân số thì nếu

${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$

thì khi Bản mẫu:Math

$\sqrt{3}=2\cdot \frac{a_{22}}{a_{12}}-1$

Ngoài ra cũng có thể biễu diễn dưới dạng liên phân số tổng quát như

$[2;-4,-4,-4,...]=2-\frac{1}{4-\frac{1}{4-\frac{1}{4-{}_{\ddots }}}}$

thực chất là Bản mẫu:Math tính hai số hạng cùng lúc.

Biểu diễn bình phương

Biểu thức bình phương lồng nhau sau tiến về Bản mẫu:Math:

$\sqrt{3}=2-2{(\frac{1}{2}-{(\frac{1}{2}-{(\frac{1}{2}-{(\frac{1}{2}-\dots )}^2)}^2)}^2)}^2=\frac{7}{4}-4{(\frac{1}{16}+{(\frac{1}{16}+{(\frac{1}{16}+{(\frac{1}{16}+\dots )}^2)}^2)}^2)}^2.$

Chứng minh tính vô tỉ

Chứng minh bằng lùi vô hạn

Chứng minh thường được dùng cho tính vô tỉ của Bản mẫu:Math sử dụng phương pháp lùi vô hạn của Fermat. Phương pháp này có thể được áp dụng cho bất kì số nguyên nào không phải là số chính phương.

1. Giả sử Bản mẫu:Math là một số hữu tỉ, tức Bản mẫu:Math có thể viết dưới dạng một phân số tối giản Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar nguyên tố cùng nhau.
2. Ta suy ra Bản mẫu:Math hay Bản mẫu:Math.   (Bản mẫu:Math là các số nguyên)
3. Do đó Bản mẫu:Math chia hết cho Bản mẫu:Math, nên Bản mẫu:Math cũng chia hết cho Bản mẫu:Math, tức tồn tại số nguyên Bản mẫu:Math sao cho Bản mẫu:Math.
4. Thay Bản mẫu:Math cho Bản mẫu:Math trong đẳng thức ở bước 2: Bản mẫu:Math ta được Bản mẫu:Math.
5. Lập luận như bước 3, ta được Bản mẫu:Math là số chia hết cho Bản mẫu:Math, nên Bản mẫu:Math cũng chia hết cho Bản mẫu:Math.
6. Như vậy cả Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math đều chia hết cho Bản mẫu:Math, nên chúng có một ước chung là Bản mẫu:Math, trái với giả thiết rằng Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là hai số nguyên tố cùng nhau.

Chứng minh bằng định lý nghiệm hữu tỉ

Một chứng minh khác cho tính vô tỉ của Bản mẫu:Math là sử dụng một trường hợp đặc biệt của định lý nghiệm hữu tỉ, phát biểu rằng nếu Bản mẫu:Math là một đa thức monic (tức đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng Bản mẫu:Math) với hệ số nguyên, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào của Bản mẫu:Math cũng là một số nguyên. Áp dụng định lý cho đa thức Bản mẫu:Math, ta suy ra Bản mẫu:Math hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Vì Bản mẫu:Math nên nó không là một số nguyên, do đó Bản mẫu:Math là một số vô tỉ.

Hình học và lượng giác

Đường chéo của hình lập phương đơn vị có độ dài là Bản mẫu:Sqrt.

Bản mẫu:Math là độ dài cạnh của một tam giác đều nội tiếp đường tròn có bán kính bằng Bản mẫu:Math. Tương tự, nếu một tam giác đều có cạnh Bản mẫu:Math bị chia làm hai nửa bằng nhau, mỗi nửa là một tam giác vuông 30-60-90 với cạnh huyền bằng Bản mẫu:Math, cạnh góc vuông là Bản mẫu:Sfrac và Bản mẫu:Sfrac. Từ đó ta suy ra được giá trị các hàm số lượng giác của Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.

$\begin{array}{cc}& \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\\ & \tan 60^{\circ }=\sqrt{3}\end{array}$

Căn bậc hai của 3 cũng xuất hiện trong biểu thức đại số của nhiều hằng số lượng giác như

$\begin{array}{cc}\sin 15^{\circ }& =\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)\\ \tan 15^{\circ }& =2-\sqrt{3}\\ \sin 3.75^{\circ }& =\sin \frac{\pi }{48}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\\ \cos 3.75^{\circ }& =\sin \frac{\pi }{48}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}\end{array}$

Ngoài ra Bản mẫu:Math còn là khoảng cách giữa hai cạnh đối nhau của hình lục giác đều có cạnh 1, hay là đường chéo của hình lập phương đơn vị.

Ứng dụng khác

Kỹ thuật điện

Trong điện lực, hiệu điện thế giữa hai dây pha (điện áp dây) trong hệ thống điện ba pha bằng Bản mẫu:Math nhân hiệu điện thế của giữa một dây pha và dây trung hòa (điện áp pha). Đây là do hai pha cách nhau Bản mẫu:Math, và hai điểm cách nhau 120 độ trên đường tròn thì có khoảng cách bằng Bản mẫu:Math nhân bán kính đường tròn đó.

Xem thêm

• Căn bậc hai của 2
• Căn bậc hai của 5

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích sách

Liên kết ngoài

• Theodorus' Constant tại MathWorld
• [1] Kevin Brown
• [2] E. B. Davis