Xem mã nguồn của Dãy Lucas

Trong [[toán học]], '''dãy Lucas''' <math>U_n(P,Q)</math> và <math>V_n(P, Q)</math> là các [[dãy số nguyên]] [[đệ quy không đổi]] thỏa mãn [[Liên hệ lặp lại|hệ thức truy hồi]]

: <math>x_n = P \cdot x_{n - 1} - Q \cdot x_{n - 2}</math>

với <math>P</math> và <math>Q</math> là các số nguyên cho trước. Bất kỳ dãy số nào thỏa mãn hệ thức truy hồi này có thể được biểu diễn dưới dạng [[tổ hợp tuyến tính]] các dãy Lucas <math>U_n(P, Q)</math> và <math>V_n(P, Q)</math> .

Nói chung, dãy Lucas <math>U_n(P, Q)</math> và <math>V_n(P, Q)</math> biểu diễn dãy [[đa thức]] hệ số nguyên với biến <math>P</math> và <math>Q</math>.

Các ví dụ nổi tiếng về dãy Lucas gồm [[dãy Fibonacci]], [[số nguyên tố Mersenne]], [[số Pell]], [[số Lucas]], [[số Jacobsthal]] và tập siêu [[số Fermat]]. Các dãy Lucas được đặt theo tên [[nhà toán học]] [[Pháp]] [[Édouard Lucas]].

== Hệ thức truy hồi ==
Cho hai tham số nguyên ''P'' và ''Q'', dãy Lucas thứ nhất ''U''<sub>''n''</sub>(''P'',''Q'') và thứ hai ''V''<sub>''n''</sub>(''P'',''Q'') được xác định bằng [[Liên hệ lặp lại|hệ thức truy hồi]] :

: <math>\begin{align}
U_0(P,Q)&=0, \\
U_1(P,Q)&=1, \\
U_n(P,Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q) \mbox{ for }n>1,
\end{align}
</math>

và

: <math>\begin{align}

V_0(P,Q)&=2, \\
V_1(P,Q)&=P, \\
V_n(P,Q)&=P\cdot V_{n-1}(P,Q)-Q\cdot V_{n-2}(P,Q) \mbox{ for }n>1.
\end{align}</math>

Dễ thấy với <math>n>0</math> thì

: <math>\begin{align}
U_n(P,Q)&=\frac{P\cdot U_{n-1}(P,Q) + V_{n-1}(P,Q)}{2}, \\
V_n(P,Q)&=\frac{(P^2-4Q)\cdot U_{n-1}(P,Q)+P\cdot V_{n-1}(P,Q)}{2}. 
\end{align}</math>

Hệ thức trên có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:

: <math>\begin{bmatrix} U_n(P,Q)\\ U_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -Q & P\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} U_{n-1}(P,Q)\\ U_n(P,Q)\end{bmatrix},</math>

: <math>\begin{bmatrix} V_n(P,Q)\\ V_{n+1}(P,Q)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -Q & P\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} V_{n-1}(P,Q)\\ V_n(P,Q)\end{bmatrix},</math>

: <math>\begin{bmatrix} U_n(P,Q)\\ V_n(P,Q)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P/2 & 1/2\\ (P^2-4Q)/2 & P/2\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} U_{n-1}(P,Q)\\ V_{n-1}(P,Q)\end{bmatrix}.</math>

== Ví dụ ==
Các phần tử ban đầu của dãy Lucas ''U''<sub>''n''</sub>(''P'',''Q'') và ''V''<sub>''n''</sub>(''P'',''Q'') được cho trong bảng:

: <math>
\begin{array}{r|l|l}
n & U_n(P,Q) & V_n(P,Q)
\\
\hline
0 & 0 & 2
\\
1 & 1 & P
\\
2 & P & {P}^{2}-2Q
\\
3 & {P}^{2}-Q & {P}^{3}-3PQ
\\
4 & {P}^{3}-2PQ & {P}^{4}-4{P}^{2}Q+2{Q}^{2}
\\
5 & {P}^{4}-3{P}^{2}Q+{Q}^{2} & {P}^{5}-5{P}^{3}Q+5P{Q}^{2}
\\
6 & {P}^{5}-4{P}^{3}Q+3P{Q}^{2} & {P}^{6}-6{P}^{4}Q+9{P}^{2}{Q}^{2}-2{Q}^{3}
\end{array}
</math>

== Biểu thức tường minh ==
Phương trình đặc trưng của hệ thức truy hồi cho dãy Lucas <math>U_n(P,Q)</math> và <math>V_n(P,Q)</math> là:

: <math>x^2 - Px + Q=0 \,</math>

[[Biệt thức]] delta <math>D=P^2 - 4Q</math> với:

: <math>a = \frac{P+\sqrt{D}}2\quad\text{và}\quad b = \frac{P-\sqrt{D}}2. \,</math>

thì:

: <math>a + b = P\, ,</math>
: <math>a b = \frac{1}{4}(P^2 - D) = Q\, ,</math>
: <math>a - b = \sqrt{D}\, .</math>

Lưu ý rằng dãy <math>a^n</math> và dãy <math>b^n</math> cũng thỏa mãn hệ thức truy hồi nhưng không phải dãy số nguyên.

=== Nghiệm phân biệt ===
Khi <math>D\ne 0</math>, ''a'' và ''b'' khác nhau thì có thể xác định:

Theo đó, dãy Lucas có thể được biểu diễn qua ''a'' và ''b'' như sau

: <math>U_n= \frac{a^n-b^n}{a-b} = \frac{a^n-b^n}{ \sqrt{D}}</math>

: <math>V_n=a^n+b^n \,</math>

=== Nghiệm trùng nhau ===
Trường hợp <math> D=0 </math> khi và chỉ khi <math> P=2S \text{ và }Q=S^2</math> với <math>a=b=S</math> là số nguyên. Khi đó

: <math>U_n(P,Q)=U_n(2S,S^2) = nS^{n-1}\,</math>

: <math>V_n(P,Q)=V_n(2S,S^2)=2S^n\,</math> .

== Tính chất ==

=== Hàm sinh ===
[[Hàm sinh]] thông thường là

: <math>
\sum_{n\ge 0} U_n(P,Q)z^n = \frac{z}{1-Pz+Qz^2};
</math>
: <math>
\sum_{n\ge 0} V_n(P,Q)z^n = \frac{2-Pz}{1-Pz+Qz^2}.
</math>

=== Phương trình Pell ===
Khi <math>Q=\pm 1</math>, các dãy Lucas <math>U_n(P, Q)</math> và <math>V_n(P, Q)</math> sẽ thỏa mãn [[phương trình Pell]]:

: <math>V_n(P,1)^2 - D\cdot U_n(P,1)^2 = 4,</math>
: <math>V_{2n}(P,-1)^2 - D\cdot U_{2n}(P,-1)^2 = 4,</math>
: <math>V_{2n+1}(P,-1)^2 - D\cdot U_{2n+1}(P,-1)^2 = -4.</math>

=== Quan hệ các dãy với tham số khác nhau ===

* Với ''c'' là số bất kỳ, các dãy <math>U_n(P', Q')</math> và <math>V_n(P', Q')</math> với

:: <math> P' = P + 2c </math>
:: <math> Q' = cP + Q + c^2 </math>
: có biệt thức như <math>U_n(P, Q)</math> và <math>V_n(P, Q)</math> :
:: <math>P'^2 - 4Q' = (P+2c)^2 - 4(cP + Q + c^2) = P^2 - 4Q = D.</math>

* Với ''c'' bất kỳ cũng có

:: <math>U_n(cP,c^2Q) = c^{n-1}\cdot U_n(P,Q),</math>
:: <math>V_n(cP,c^2Q) = c^n\cdot V_n(P,Q).</math>

=== Quan hệ khác ===
Các phần tử của dãy Lucas thỏa mãn quan hệ tổng quát giữa [[dãy Fibonacci]] <math>F_n=U_n(1,-1)</math> và [[số Lucas]] <math>L_n=V_n(1,-1)</math>. Ví dụ:

: <math>
\begin{array}{r|l}
\text{Trường hợp chung} & (P,Q) = (1,-1)
\\
\hline
(P^2-4Q) U_n = {V_{n+1} - Q V_{n-1}}=2V_{n+1}-P V_n & 5F_n = {L_{n+1} + L_{n-1}}=2L_{n+1} - L_{n} 
\\
V_n = U_{n+1} - Q U_{n-1}=2U_{n+1}-PU_n & L_n = F_{n+1} + F_{n-1}=2F_{n+1}-F_n 
\\
U_{2n} = U_n V_n & F_{2n} = F_n L_n 
\\
V_{2n} = V_n^2 - 2Q^n & L_{2n} = L_n^2 - 2(-1)^n 
\\
U_{m+n} = U_n U_{m+1} - Q U_m U_{n-1}=\frac{U_mV_n+U_nV_m}{2} & F_{m+n} = F_n F_{m+1} + F_m F_{n-1}=\frac{F_mL_n+F_nL_m}{2} 
\\
V_{m+n} = V_m V_n - Q^n V_{m-n} = D U_m U_n + Q^n V_{m-n} & L_{m+n} = L_m L_n - (-1)^n L_{m-n} = 5 F_m F_n + (-1)^n L_{m-n} 
\\
V_n^2-DU_n^2=4Q^n & L_n^2-5F_n^2=4(-1)^n 
\\
U_n^2-U_{n-1}U_{n+1}=Q^{n-1} & F_n^2-F_{n-1}F_{n+1}=(-1)^{n-1} 
\\
V_n^2-V_{n-1}V_{n+1}=DQ^{n-1} & L_n^2-L_{n-1}L_{n+1}=5(-1)^{n-1} 
\\
DU_n=V_{n+1}-QV_{n-1} & F_n=\frac{L_{n+1}+L_{n-1}}{5} 
\\
V_{m+n}=\frac{V_mV_n+DU_mU_n}{2} & L_{m+n}=\frac{L_mL_n+5F_mF_n}{2} 
\\
U_{m+n}=U_mV_n-Q^nU_{m-n} & F_{n+m}=F_mL_n-(-1)^nF_{m-n}
\\
2^{n-1}U_n={n \choose 1}P^{n-1}+{n \choose 3}P^{n-3}D+\cdots & 2^{n-1}F_n={n \choose 1}+5{n \choose 3}+\cdots
\\
2^{n-1}V_n=P^n+{n \choose 2}P^{n-2}D+{n \choose 4}P^{n-4}D^2+\cdots & 2^{n-1}L_n=1+5{n \choose 2}+5^2{n \choose 4}+\cdots
\end{array}
</math>

=== Tính chia hết ===
<math>U_{km}(P,Q)</math> là bội số của <math>U_m(P,Q)</math>, như vậy<math>(U_m(P,Q))_{m\ge1}</math> là [[dãy chia hết]]. Cụ thể <math>U_n(P,Q)</math> chỉ có thể là số nguyên tố khi ''n'' là số nguyên tố. Hệ quả khác là [[thuật toán bình phương và nhân]] để tính nhanh <math>U_n(P,Q)</math> khi ''n'' có giá trị lớn. Hơn nữa, nếu <math>\gcd(P,Q)=1</math> thì <math>(U_m(P,Q))_{m\ge1}</math> là dãy số chia hết mạnh.

Các tính chia hết khác:<ref>Xem tính liên hệ và chia hết này trong {{Harvard citation|Carmichael|1913}}, {{Harvard citation|Lehmer|1930}} or {{Harvard citation|Ribenboim|1996}}.</ref>

* Nếu ''n'' / ''m'' lẻ thì <math>V_m</math> chia hết cho <math>V_n</math> .
* Gọi ''N'' là một số nguyên tố nhỏ hơn 2''Q.'' Nếu tồn tại số nguyên dương ''r'' nhỏ nhất để ''N'' chia hết cho <math>U_r</math>, thì đó tập hợp ''n'' thỏa mãn ''N'' chia hết cho <math>U_n</math> chính là tập hợp các bội số của ''r''.
* Nếu ''P'' và ''Q'' chẵn thì <math>U_n, V_n</math> luôn chẵn, ngoại trừ <math>U_1</math> 
* Nếu ''P'' chẵn và ''Q'' lẻ thì <math>U_n</math> cùng [[tính chẵn lẻ]] với ''n'' và <math>V_n</math> luôn chẵn.
* Nếu ''P'' lẻ và ''Q'' chẵn thì <math>U_n, V_n</math> luôn lẻ với <math>n=1, 2, \ldots</math> .
* Nếu ''P'' và ''Q'' đều lẻ thì <math>U_n, V_n</math> chẵn khi và chỉ khi ''n'' là bội của 3.
* Nếu ''p'' là một số nguyên tố lẻ thì <math>U_p\equiv\left(\tfrac{D}{p}\right), V_p\equiv P\pmod{p}</math> (xem [[ký hiệu Legendre]] ).
* Nếu ''p'' là số nguyên tố lẻ và chia ''P'' và ''Q'' thì ''p'' chia hết <math>U_n</math> Cho mọi <math>n>1</math> .
* Nếu ''p'' là số nguyên tố lẻ và chia ''P'' mà không chia cho ''Q'' thì ''p'' chia <math>U_n</math> nếu và chỉ khi ''n'' chẵn.
* Nếu ''p'' là một số nguyên tố lẻ và không chia ''P'' mà chia cho ''Q'' thì ''p'' không bao giờ chia <math>U_n</math> vì <math>n=1, 2, \ldots</math> .
* Nếu ''p'' là số nguyên tố lẻ và không chia ''PQ'' mà chia ''D'', thì ''p'' chia <math>U_n</math> nếu và chỉ khi ''p'' chia cho ''n'' .
* Nếu ''p'' là số nguyên tố lẻ và không chia ''PQD'' thì ''p'' chia hết <math>U_l</math>, với <math>l=p-\left(\tfrac{D}{p}\right)</math> .

Mệnh đề cuối cùng khái quát [[Định lý nhỏ Fermat]]. Những tính chất này được dùng trong [[Kiểm tra tính nguyên tố Lucas-Lehmer]]. Mệnh đề đảo của mệnh đề cuối không đúng, vì đình lý đảo của định lý nhỏ Fermat cũng không đúng. Tồn tại hợp số ''n'' nguyên tố cùng nhau với ''D'' và chia hết <math>U_l</math>, với <math>l=n-\left(\tfrac{D}{n}\right)</math>. Hợp số này được gọi là [[số giả nguyên tố Lucas]].

[[Số nguyên tố|Thừa số nguyên tố]] của một phần tử trong dãy Lucas mà không chia hết bất kỳ phần tử nào trước đó trong dãy được gọi là '''primitive'''. [[Định lý Carmichael]] phát biểu rằng tất cả ngoại trừ rất nhiều số hạng trong dãy Lucas đều có [[Số nguyên tố|thừa số nguyên tố]].<ref name="Yabuta">{{Chú thích tạp chí|last=Yabuta|first=M|date=2001|title=A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/39-5/yabuta.pdf|journal=Fibonacci Quarterly|volume=39|pages=439–443|access-date=4 October 2018}}</ref> Thật vậy, Carmichael (1913) đã chỉ ra rằng nếu ''D'' dương và ''n'' khác 1, 2 hoặc 6 thì <math>U_n</math> có một thừa số nguyên tố primitive. Trong trường hợp ''D'' âm, Bilu, Hanrot, Voutier và Mignotte<ref>{{Chú thích tạp chí|last=Bilu|first=Yuri|last2=Hanrot|first2=Guillaume|last3=Voutier|first3=Paul M.|last4=Mignotte|first4=Maurice|year=2001|title=Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers|url=https://hal.inria.fr/inria-00072867/file/RR-3792.pdf|journal=J. Reine Angew. Math.|volume=2001|issue=539|pages=75–122|doi=10.1515/crll.2001.080|mr=1863855}}
</ref> cho kết quả rằng nếu ''n'' &#x3E; 30, thì <math>U_n</math> có một thừa số nguyên tố primitive và xác định tất cả các trường hợp <math>U_n</math> không có thừa số nguyên tố primitive.

== Một số trường hợp cụ thể ==
Dãy Lucas cho một số giá trị cụ thể của ''P'' và ''Q'':

: {{Math|''U<sub>n</sub>''(1,&minus;1)}} : [[Dãy Fibonacci]]
: {{Math|''V<sub>n</sub>''(1,&minus;1)}} : [[Số Lucas]]
: {{Math|''U<sub>n</sub>''(2,&minus;1)}} : [[Pell số|Số Pell]]
: {{Math|''V<sub>n</sub>''(2,&minus;1)}} : [[Số Pell – Lucas|Số Pell–Lucas]] 
: {{Math|''U<sub>n</sub>''(1,&minus;2)}} : [[Số Jacobsthal]]
: {{Math|''V<sub>n</sub>''(1,&minus;2)}} : [[Số Jacobsthal – Lucas|Số Jacobsthal–Lucas]]
: {{Math|''U<sub>n</sub>''(3, 2)}} : [[Số nguyên tố Mersenne]] 2<sup>''n''</sup>&nbsp;&#x2212;&nbsp;1
: {{Math|''V<sub>n</sub>''(3, 2)}} : Những số có dạng 2<sup>''n''</sup>&nbsp;+&nbsp;1 bao gồm cả [[số Fermat]]<ref name="Yabuta"/>
: {{Math|''U<sub>n</sub>''(6, 1)}} : Căn bậc hai của [[số chính phương tam giác]].
: {{Math|''U<sub>n</sub>''(''x'',&minus;1)}} : [[Đa thức Fibonacci]]
: {{Math|''V<sub>n</sub>''(''x'',&minus;1)}} : [[Đa thức Lucas]]
: {{Math|''U<sub>n</sub>''(2''x'', 1)}} : [[Đa thức Chebyshev]] loại hai
: {{Math|''V<sub>n</sub>''(2''x'', 1)}} : [[Đa thức Chebyshev]] loại một nhân 2
: {{Math|''U<sub>n</sub>''(''x''+1, ''x'')}} : [[Chữ số lặp lại]] hệ cơ số ''x''
: {{Math|''V<sub>n</sub>''(''x''+1, ''x'')}} : ''x<sup>n</sup>'' + 1

Một số dãy Lucas được ghi nhận trong [[Bảng tra cứu dãy số nguyên trực tuyến]]:
:{|class="wikitable" style="background: #fff"
|-
!<math>P\,</math>!!<math>Q\, </math>!!<math>U_n(P,Q)\, </math>!! <math>V_n(P,Q)\,</math>
|- 
| −1 || 3 || {{OEIS2C|A214733}}
|-
| 1 || −1 || {{OEIS2C|A000045}} || {{OEIS2C|A000032}}
|-
| 1 || 1 || {{OEIS2C|A128834}} || {{OEIS2C|A087204}}
|-
| 1 || 2 || {{OEIS2C|A107920}} || {{OEIS2C|A002249}}
|-
| 2 || −1 || {{OEIS2C|A000129}} || {{OEIS2C|A002203}}
|-
| 2 || 1 || {{OEIS2C|A001477}}
|-
| 2 || 2 || {{OEIS2C|A009545}} || {{OEIS2C|A007395}}
|-
| 2 || 3 || {{OEIS2C|A088137}}
|-
| 2 || 4 || {{OEIS2C|A088138}}
|-
| 2 || 5 || {{OEIS2C|A045873}}
|-
| 3 || −5 || {{OEIS2C|A015523}} || {{OEIS2C|A072263}}
|-
| 3 || −4 || {{OEIS2C|A015521}} || {{OEIS2C|A201455}}
|-
| 3 || −3 || {{OEIS2C|A030195}} || {{OEIS2C|A172012}}
|-
| 3 || −2 || {{OEIS2C|A007482}} || {{OEIS2C|A206776}}
|-
| 3 || −1 || {{OEIS2C|A006190}} || {{OEIS2C|A006497}}
|-
| 3 || 1 || {{OEIS2C|A001906}} || {{OEIS2C|A005248}}
|-
| 3 || 2 || {{OEIS2C|A000225}} || {{OEIS2C|A000051}}
|-
| 3 || 5 || {{OEIS2C|A190959}}
|-
| 4 || −3 || {{OEIS2C|A015530}} || {{OEIS2C|A080042}}
|-
| 4 || −2 || {{OEIS2C|A090017}}
|-
| 4 || −1 || {{OEIS2C|A001076}} || {{OEIS2C|A014448}}
|-
| 4 || 1 || {{OEIS2C|A001353}} || {{OEIS2C|A003500}}
|-
| 4 || 2 || {{OEIS2C|A007070}}  || {{OEIS2C|A056236}}
|-
| 4 || 3 || {{OEIS2C|A003462}} || {{OEIS2C|A034472}}
|-
| 4 || 4 || {{OEIS2C|A001787}}
|-
| 5 || −3 || {{OEIS2C|A015536}}
|-
| 5 || −2 || {{OEIS2C|A015535}}
|-
| 5 || −1 || {{OEIS2C|A052918}} || {{OEIS2C|A087130}}
|-
| 5 || 1 || {{OEIS2C|A004254}} || {{OEIS2C|A003501}}
|-
| 5 || 4 ||{{OEIS2C|A002450}} || {{OEIS2C|A052539}}
|-
| 6 || 1 ||{{OEIS2C|A001109}} || {{OEIS2C|A003499}}
|}

== Ứng dụng ==
* Dãy Lucas được sử dụng trong kiểm tra xác suất giả nguyên tố Lucas nằm trong [[Kiểm tra tính nguyên tố Baillie-PSW]] thường dùng.
* Dãy Lucas được dùng trong một số phương pháp chứng minh tính nguyên tố, bao gồm [[Kiểm tra Lucas-Lehmer-Riesel]] và các phương pháp khác trong Brillhart-Lehmer-Selfridge 1975<ref name="BLS75">{{Chú thích tạp chí|last=John Brillhart|author-link=John Brillhart|last2=Derrick Henry Lehmer|author-link2=Derrick Henry Lehmer|last3=John Selfridge|author-link3=John Selfridge|date=April 1975|title=New Primality Criteria and Factorizations of 2<sup>m</sup> ± 1|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1975-04_29_130/page/620|journal=Mathematics of Computation|volume=29|pages=620–647|doi=10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1|jstor=2005583|doi-access=free}}</ref>
* LUC là hệ thống [[mật mã khóa công khai]] dựa trên dãy Lucas<ref>{{Chú thích tạp chí|last=P. J. Smith|last2=M. J. J. Lennon|year=1993|title=LUC: A new public key system|journal=Proceedings of the Ninth IFIP Int. Symp. On Computer Security|pages=103–117|citeseerx=10.1.1.32.1835}}</ref> thực hiện hệ analog ElGamal (LUCELG), [[Trao đổi khóa Diffie-Hellman|Diffie – Hellman]] (LUCDIF) và [[RSA (mã hóa)|RSA]] (LUCRSA). Việc mã hóa thông điệp trong LUC được tính như một phần tử của dãy Lucas nhất định, thay vì [[Luỹ thừa mô-đun|lũy thừa mô-đun]] như trong RSA hoặc Diffie – Hellman. Tuy nhiên, bài viết của Bleichenbacher và cộng sự<ref>{{Chú thích tạp chí|last=D. Bleichenbacher|last2=W. Bosma|last3=A. K. Lenstra|year=1995|title=Some Remarks on Lucas-Based Cryptosystems|url=http://www.math.ru.nl/~bosma/pubs/CRYPTO95.pdf|journal=[[Lecture Notes in Computer Science]]|volume=963|pages=386–396|doi=10.1007/3-540-44750-4_31|isbn=978-3-540-60221-7|doi-access=free}}</ref> cho thấy nhiều lợi thế bảo mật của LUC là không chính xác hoặc không đáng kể khi so sánh với các hệ thống dựa trên [[lũy thừa]] mô đun.

== Chú thích ==
{{Tham khảo|30em}} 

== Tham khảo ==
* {{Chú thích|last=Carmichael|first=R. D.|title=On the numerical factors of the arithmetic forms α<sup>''n''</sup>±β<sup>''n''</sup>|work=Annals of Mathematics|volume=15|issue=1/4|pages=30–70|year=1913|doi=10.2307/1967797|jstor=1967797|author-link=Robert Daniel Carmichael}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Lehmer|first=D. H.|year=1930|title=An extended theory of Lucas' functions|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1930_31/page/419|journal=Annals of Mathematics|volume=31|pages=419–448|bibcode=1930AnMat..31..419L|doi=10.2307/1968235|jstor=1968235}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Ward|first=Morgan|year=1954|title=Prime divisors of second order recurring sequences|url=https://archive.org/details/sim_duke-mathematical-journal_1954_21/page/607|journal=Duke Math. J.|volume=21|pages=607–614|doi=10.1215/S0012-7094-54-02163-8|mr=0064073}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Somer|first=Lawrence|year=1980|title=The divisibility properties of primary Lucas Recurrences with respect to primes|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/18-4/somer.pdf|journal=Fibonacci Quarterly|volume=18|pages=316}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Lagarias|first=J. C.|year=1985|title=The set of primes dividing Lucas Numbers has density 2/3|journal=Pac. J. Math.|volume=118|pages=449–461|doi=10.2140/pjm.1985.118.449|mr=789184}}
* {{Chú thích sách|title=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization|last=Hans Riesel|publisher=Birkhäuser|year=1994|isbn=0-8176-3743-5|edition=2nd|series=Progress in Mathematics|volume=126|pages=107–121|author-link=Hans Riesel}} 
* {{Chú thích tạp chí|last=Ribenboim|first=Paulo|last2=McDaniel|first2=Wayne L.|year=1996|title=The square terms in Lucas Sequences|journal=J. Number Theory|volume=58|pages=104–123|doi=10.1006/jnth.1996.0068|doi-access=free}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Joye|first=M.|last2=Quisquater|first2=J.-J.|year=1996|title=Efficient computation of full Lucas sequences|url=http://www.joye.site88.net/papers/JQ96lucas.pdf|journal=Electronics Letters|volume=32|pages=537–538|doi=10.1049/el:19960359|archive-url=https://web.archive.org/web/20150202074230/http://www.joye.site88.net/papers/JQ96lucas.pdf|archive-date=2015-02-02}}
* {{Chú thích sách|title=The New Book of Prime Number Records|last=Ribenboim|first=Paulo|publisher=[[Springer-Verlag]], New York|year=1996|isbn=978-1-4612-0759-7|edition=eBook|doi=10.1007/978-1-4612-0759-7}}
* {{Chú thích sách|title=My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory|last=Ribenboim|first=Paulo|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=2000|isbn=0-387-98911-0|location=New York|pages=1–50|author-link=Paulo Ribenboim}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Luca|first=Florian|year=2000|title=Perfect Fibonacci and Lucas numbers|journal=Rend. Circ Matem. Palermo|volume=49|pages=313–318|doi=10.1007/BF02904236}}
* {{Chú thích tạp chí|last=Yabuta|first=M.|year=2001|title=A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors|url=http://www.fq.math.ca/Scanned/39-5/yabuta.pdf|journal=Fibonacci Quarterly|volume=39|pages=439–443}}
* {{Chú thích sách|title=Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof|title-link=Proofs That Really Count|last=Benjamin|first=Arthur T.|last2=Quinn|first2=Jennifer J.|publisher=[[Mathematical Association of America]]|year=2003|isbn=978-0-88385-333-7|series=Dolciani Mathematical Expositions|volume=27|page=[https://archive.org/details/proofsthatreally0000benj/page/35 35]|author-link=Arthur T. Benjamin|author-link2=Jennifer Quinn}}
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Lucas_sequence ''Dãy Lucas''] tại [[Bách khoa toàn thư Toán học]] {{en}}
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles> {{MathWorld|title=Lucas Sequence}}
* {{Chú thích web|url=http://weidai.com/lucas.html|tựa đề=Lucas Sequences in Cryptography|tác giả=Wei Dai|lk tác giả=Wei Dai}}

[[Thể loại:Chuỗi số nguyên]]