Xem mã nguồn của Giả thuyết Catalan

{{short description|Nghiệm nguyên dương duy nhất không tầm thường sao cho x^a-y^b bằng 1 là 3^2-2^3}}
<!--
{{for|Catalan's aliquot sequence conjecture|Aliquot sequence#Catalan–Dickson conjecture}}
{{for|Catalan's Mersenne number conjecture|Double Mersenne number#Catalan–Mersenne number conjecture}}
-->
'''Giả thuyết Catalan''' (hoặc '''định lý Mihăilescu''') là [[định lý]] trong [[lý thuyết số]] được [[giả thuyết|đặt giả thuyết]] bởi nhà toán học [[Eugène Charles Catalan]] trong 1844 và được chứng minh trong 2002 bởi [[Preda Mihăilescu]] của [[đại học Paderborn]].<ref>{{Citation |last=Weisstein |first=Eric W. |author-link=Eric W. Weisstein |title=Catalan's conjecture |publisher=[[MathWorld]] |url=https://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html }}</ref><ref>{{Harvnb|Mihăilescu|2004}}</ref>  Hai số 2<sup>3</sup> và 3<sup>2</sup> là hai [[lũy thừa hoàn hảo]] có giá trị (8 và 9 tương ứng) liên tiếp.Định lý phát biểu rằng đây là trường hợp ''duy nhất'' của hai số lũy thừa hoàn hảo liên tiếp.  Có nghĩa là {{math_theorem|Giả thuyết Catalan|[[Phương trình Đi-ô-phăng|Nghiệm tự nhiên]] duy nhất của
:<math>x^a - y^b = 1</math>
với {{math|''a'', ''b'' &gt; 1}}, {{math|''x'', ''y'' &gt; 0}} là {{math|''x'' {{=}} 3}}, {{math|''a'' {{=}} 2}}, {{math|''y'' {{=}} 2}}, {{math|''b'' {{=}} 3}}.}}

==Lịch sử==
Lịch sử của bài toán bắt nguồn ít nhất từ [[Gersonides]] ngừoi đã chứng minh trường hợp đặc biệt trong 1343 khi (''x'', ''y'') bị giới hạn bằng (2, 3) hoặc (3, 2). Bước tiến đầu tiên sau khi Catalan đưa ra giả thuyết là vào năm 1850 khi [[Victor-Amédée Lebesgue]] xét trường hợp ''b'' = 2.<ref>{{citation | author=Victor-Amédée Lebesgue | author-link=Victor-Amédée Lebesgue | title=Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation ''x<sup>m</sup>''=''y''<sup>2</sup>+1 | journal=Nouvelles annales de mathématiques | series=1<sup>re</sup> série | volume=9 | year=1850 | pages=178–181 }}</ref>

Trong 1976, [[Robert Tijdeman]] áp dụng [[phương pháp Baker]] trong [[lý thuyết số siêu việt|lý thuyết siêu việt]] để đặt ra các giới hạn cho a,b và dùng các kết quả giới hạn có sẵn cho ''x'',''y'' khi biết ''a'', ''b'' để tìm ra chặn trên của ''x'',''y'',''a'',''b''. Michel Langevin đã tính ra <math>\exp \exp \exp \exp 730 \approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}</math> cho giới hạn trên,<ref>{{citation | title=13 Lectures on Fermat's Last Theorem | first=Paulo | last=Ribenboim | author-link=Paulo Ribenboim | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1979 | isbn=0-387-90432-8 | zbl=0456.10006 | page=236 }}</ref> đưa giả thuyết Catalan về một lượng hữu hạn còn lại cần xét.

Giả thuyết Catalan đã được chứng minh bởi [[Preda Mihăilescu]] vào tháng 4 năm 2002. Bái chứng minh được xuất bản trong ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]'', 2004. Bài chứng minh sử dụng chủ yếu các [[trường cyclotomic]] và các [[modun Galois]].  Một bài luận cho bài chứng minh được viết bởi [[Yuri Bilu]] trong [[Séminaire Bourbaki]].<ref>{{Citation | last1=Bilu | first1=Yuri | title=Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923 | series=Astérisque | year=2004 | volume=294 | chapter= Catalan's conjecture | pages=1–26| chapter-url=http://www.numdam.org/book-part/SB_2002-2003__45__1_0/ }}</ref>  Vào 2005, Mihăilescu xuất bản một bài chứng minh khác đơn giản hơn <ref>{{Harvnb|Mihăilescu|2005}}</ref>

==Tổng quát hóa==

Hiện đang có giả thuyết rằng với mọi số nguyên dương ''n'', chỉ có hữu hạn số cặp [[lũy thừa hoàn hảo]] có khoảng cách ''n''. Danh sách bên dưới xét ''n''&nbsp;≤&nbsp;64 ,hiển thị các nghiệm lũy thừa hoàn hảo nhỏ hơn 10<sup>18</sup>, xem {{oeis|id=A076427}} . Xem thêm {{oeis|id=A103953}} cho nghiệm nhỏ nhất (&gt;&nbsp;0).

{|class="wikitable" style="border:none;text-align:right;"
! ''n''
! số<br />nghiệm
! số ''k'' sao cho ''k'' và ''k'' + ''n''<br /> đều là lũy thừa hoàn hảo
|rowspan="33" style="padding:2px;background:white;border:none;"|
! ''n''
! số<br />nghiệm
! số ''k'' sao cho ''k'' và ''k'' + ''n''<br />đều là lũy thừa hoàn hảo
|-
| 1 || 1 ||style="text-align:left"| 8
| 33 || 2 ||style="text-align:left"| 16, 256
|-
| 2 || 1 ||style="text-align:left"| 25
| 34 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
|-
| 3 || 2 ||style="text-align:left"| 1, 125
| 35 || 3 ||style="text-align:left"| 1, 289, 1296
|-
| 4 || 3 ||style="text-align:left"| 4, 32, 121
| 36 || 2 ||style="text-align:left"| 64, 1728
|-
| 5 || 2 ||style="text-align:left"| 4, 27
| 37 || 3 ||style="text-align:left"| 27, 324, {{val|14348907}}
|-
| 6 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
| 38 || 1 ||style="text-align:left"| 1331
|-
| 7 || 5 ||style="text-align:left"| 1, 9, 25, 121, {{val|32761}}
| 39 || 4 ||style="text-align:left"| 25, 361, 961, {{val|10609}}
|-
| 8 || 3 ||style="text-align:left"| 1, 8, {{val|97336}}
| 40 || 4 ||style="text-align:left"| 9, 81, 216, 2704
|-
| 9 || 4 ||style="text-align:left"| 16, 27, 216, {{val|64000}}
| 41 || 3 ||style="text-align:left"| 8, 128, 400
|-
| 10 || 1 ||style="text-align:left"| 2187
| 42 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
|-
| 11 || 4 ||style="text-align:left"| 16, 25, 3125, 3364
| 43 || 1 ||style="text-align:left"| 441
|-
| 12 || 2 ||style="text-align:left"| 4, 2197
| 44 || 3 ||style="text-align:left"| 81, 100, 125
|-
| 13 || 3 ||style="text-align:left"| 36, 243, 4900
| 45 || 4 ||style="text-align:left"| 4, 36, 484, 9216
|-
| 14 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
| 46 || 1 ||style="text-align:left"| 243
|-
| 15 || 3 ||style="text-align:left"| 1, 49, {{val|1295029}}
| 47 || 6 ||style="text-align:left"| 81, 169, 196, 529, 1681, {{val|250000}}
|-
| 16 || 3 ||style="text-align:left"| 9, 16, 128
| 48 || 4 ||style="text-align:left"| 1, 16, 121, 21904
|-
| 17 || 7 ||style="text-align:left"| 8, 32, 64, 512, {{val|79507}}, {{val|140608}}, {{val|143384152904}}
| 49 || 3 ||style="text-align:left"| 32, 576, {{val|274576}}
|-
| 18 || 3 ||style="text-align:left"| 9, 225, 343
| 50 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
|-
| 19 || 5 ||style="text-align:left"| 8, 81, 125, 324, {{val|503284356}}
| 51 || 2 ||style="text-align:left"| 49, 625
|-
| 20 || 2 ||style="text-align:left"| 16, 196
| 52 || 1 ||style="text-align:left"| 144
|-
| 21 || 2 ||style="text-align:left"| 4, 100
| 53 || 2 ||style="text-align:left"| 676, {{val|24336}}
|-
| 22 || 2 ||style="text-align:left"| 27, 2187
| 54 || 2 ||style="text-align:left"| 27, 289
|-
| 23 || 4 ||style="text-align:left"| 4, 9, 121, 2025
| 55 || 3 ||style="text-align:left"| 9, 729, {{val|175561}}
|-
| 24 || 5 ||style="text-align:left"| 1, 8, 25, 1000, {{val|542939080312}}
| 56 || 4 ||style="text-align:left"| 8, 25, 169, 5776
|-
| 25 || 2 ||style="text-align:left"| 100, 144
| 57 || 3 ||style="text-align:left"| 64, 343, 784
|-
| 26 || 3 ||style="text-align:left"| 1, {{val|42849}}, {{val|6436343}}
| 58 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
|-
| 27 || 3 ||style="text-align:left"| 9, 169, 216
| 59 || 1 ||style="text-align:left"| 841
|-
| 28 || 7 ||style="text-align:left"| 4, 8, 36, 100, 484, {{val|50625}}, {{val|131044}}
| 60 || 4 ||style="text-align:left"| 4, 196, {{val|2515396}}, {{val|2535525316}}
|-
| 29 || 1 ||style="text-align:left"| 196
| 61 || 2 ||style="text-align:left"| 64, 900
|-
| 30 || 1 ||style="text-align:left"| 6859
| 62 || 0 ||style="text-align:left"| ''none''
|-
| 31 || 2 ||style="text-align:left"| 1, 225
| 63 || 4 ||style="text-align:left"| 1, 81, 961, {{val|183250369}}
|-
| 32 || 4 ||style="text-align:left"| 4, 32, 49, 7744
| 64 || 4 ||style="text-align:left"| 36, 64, 225, 512
|}

==Giả thuyết Pillai==
{{vấn đề mở|toán học|Có đúng rằng mỗi số nguyên dương chỉ xuất hiện hữu hạn lần là khoảng cách giữa hai lũy thừa hoàn hảo?}}
'''Giả thuyết Pillai''' xét đến khoảng cách tổng quát giữa hai số lũy thừa hoàn hảo {{OEIS|id=A001597}}: là bài toán mở được đưa ra bởi [[S. S. Pillai]], người đặt ra giả thuyết rằng khoảng cách giữa các lũy thừa hoàn hảo tiến đến vô cùng.  Ta có thể hiểu tương đương là mỗi số tự nhiên đều có thể biểu diễn thành khoảng cách giữa hai lũy thừa hoàn hảo nhưng chỉ có hữu hạn số lần biểu diễn như vậy.Thậm chí, tổng quát hơn trong 1931 Pillai đã đặt ra giả thuyết khi cố định ''A'', ''B'', ''C'' thì phương trình <math>Ax^n - By^m = C</math> có hữu hạn số nghiệm (''x'',&nbsp;''y'',&nbsp;''m'',&nbsp;''n'') với (''m'',&nbsp;''n'') ≠ (2,&nbsp;2).  Pillai chứng minh rằng khoảng cách <math>|Ax^n - By^m| \gg x^{\lambda n}</math> với bất kỳ λ nhỏ hơn 1,  cách đều với ''m'' và ''n''.<ref name=rnt>{{citation | pages=[https://archive.org/details/rationalnumberth00nark/page/n261 253]–254 | title=Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT | url=https://archive.org/details/rationalnumberth00nark | url-access=limited | series=Springer Monographs in Mathematics | first=Wladyslaw | last=Narkiewicz | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2011 | isbn=978-0-857-29531-6}}</ref>

Giả thuyết tổng quát có thể được chứng minh từ [[giả thuyết abc]].<ref name=rnt/><ref>{{citation | last=Schmidt | first=Wolfgang M. | author-link=Wolfgang M. Schmidt | title=Diophantine approximations and Diophantine equations | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1467 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1996 | edition=2nd | isbn=3-540-54058-X | zbl=0754.11020 | page=207}}</ref>

[[Paul Erdős]] đặt ra giả thuyết rằng{{citation needed|date=May 2017}} dãy tăng dần <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> của lũy thừa hoàn hảo thỏa mãn <math>a_{n+1} - a_n > n^c</math> với một số giá trị ''c'' và giá trị &nbsp;''n'' đủ lớn.

==Xem thêm==
{{Div col}}
*[[Giả thuyết Beal]]
*[[Phương trình x^y = y^x|Equation x<sup>y</sup> = y<sup>x</sup>]]
*[[Giả thuyết Fermat–Catalan]]
*[[Đường cong Mordell]]
*[[Phương trình Ramanujan–Nagell]]
*[[Định lý Størmer]]
*[[Định lý Tijdeman]]
{{Div col end}}

== Chú thích ==
{{tham khảo|30em}}

==Tham khảo==
* {{citation | first=Yuri | last=Bilu | title=Catalan's conjecture (after Mihăilescu) | journal=[[Astérisque]] | volume=294 | year=2004 | pages=vii, 1–26 | mr=2111637 }}
* {{citation | last=Catalan | first=Eugene | year=1844 | title=Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur | language=fr | journal=[[J. Reine Angew. Math.]] | pages=192 | doi=10.1515/crll.1844.27.192 | volume=27 | mr=1578392| url=https://zenodo.org/record/1448842 }}
* {{cite conference | last=Cohen | first=Henri | year=2005 | title=Démonstration de la conjecture de Catalan | language=fr | trans-title=A proof of the Catalan conjecture | conference=Théorie algorithmique des nombres et équations diophantiennes | publisher=Éditions de l'École Polytechnique | mr=222434 | location=Palaiseau | isbn=2-7302-1293-0 | pages=1–83}}
* {{citation | first=Tauno | last=Metsänkylä | title=Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | volume=41 | year=2004 | issue=1 | pages=43–57 | doi=10.1090/S0273-0979-03-00993-5 | mr=2015449| url=https://www.ams.org/journals/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf | doi-access=free }}
* {{citation | first=Preda | last=Mihăilescu | author-link=Preda Mihăilescu | title=Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture | journal=[[J. Reine Angew. Math.]] | volume=2004 | issue=572 | year=2004 | pages=167–195 | doi=10.1515/crll.2004.048 |mr=2076124}}
* {{citation | first=Preda | last=Mihăilescu | title=Reflection, Bernoulli numbers and the proof of Catalan's conjecture | journal=European Congress of Mathematics | year=2005 | pages=325-340 | publisher=Eur. Math. Soc. | location=Zurich | mr=2185753 | url=https://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf | access-date=2022-06-20 | archive-date=2022-06-26 | archive-url=https://web.archive.org/web/20220626111548/https://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf }}
* {{citation | first=Paulo | last=Ribenboim | author-link=Paulo Ribenboim | title=Catalan's Conjecture | publisher=Academic Press, Inc. | location=Boston, MA | year=1994 | isbn=0-12-587170-8 | mr=1259738}}  Predates Mihăilescu's proof.
* {{citation | first=Robert | last=Tijdeman | author-link=Robert Tijdeman | title=On the equation of Catalan | journal=[[Acta Arith.]] | volume=29 | issue=2 | year=1976 | pages=197–209 | mr=0404137 | doi=10.4064/aa-29-2-197-209| url=https://www.impan.pl/shop/publication/transaction/download/product/100989?download.pdf | doi-access=free }}

==Liên kết ngoài==
* {{MathWorld | urlname=CatalansConjecture | title=Catalan's conjecture}}
* [https://web.archive.org/web/20130122060110/http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html Ivars Peterson's MathTrek]
* [http://www.math.ubc.ca/~bennett/paper19.pdf On difference of perfect powers]
* Jeanine Daems: [https://web.archive.org/web/20060221125555/http://www.math.leidenuniv.nl/~jdaems/scriptie/Catalan.pdf A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture]

<!--{{Authority control}}-->

[[Thể loại:Giả thuyết]]
[[Thể loại:Giả thuyết đã được chứng minh]]
[[Thể loại:Phương trình Diophantine]]
[[Thể loại:Định lý trong lý thuyết số]]