Giả thuyết Catalan

Từ testwiki
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Bản mẫu:Short description Giả thuyết Catalan (hoặc định lý Mihăilescu) là định lý trong lý thuyết số được đặt giả thuyết bởi nhà toán học Eugène Charles Catalan trong 1844 và được chứng minh trong 2002 bởi Preda Mihăilescu của đại học Paderborn.[1][2] Hai số 23 và 32 là hai lũy thừa hoàn hảo có giá trị (8 và 9 tương ứng) liên tiếp.Định lý phát biểu rằng đây là trường hợp duy nhất của hai số lũy thừa hoàn hảo liên tiếp. Có nghĩa là Bản mẫu:Math theorem

Lịch sử

Lịch sử của bài toán bắt nguồn ít nhất từ Gersonides ngừoi đã chứng minh trường hợp đặc biệt trong 1343 khi (x, y) bị giới hạn bằng (2, 3) hoặc (3, 2). Bước tiến đầu tiên sau khi Catalan đưa ra giả thuyết là vào năm 1850 khi Victor-Amédée Lebesgue xét trường hợp b = 2.[3]

Trong 1976, Robert Tijdeman áp dụng phương pháp Baker trong lý thuyết siêu việt để đặt ra các giới hạn cho a,b và dùng các kết quả giới hạn có sẵn cho x,y khi biết a, b để tìm ra chặn trên của x,y,a,b. Michel Langevin đã tính ra exp⁡exp⁡exp⁡exp⁡730≈10101010317 cho giới hạn trên,[4] đưa giả thuyết Catalan về một lượng hữu hạn còn lại cần xét.

Giả thuyết Catalan đã được chứng minh bởi Preda Mihăilescu vào tháng 4 năm 2002. Bái chứng minh được xuất bản trong Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2004. Bài chứng minh sử dụng chủ yếu các trường cyclotomic và các modun Galois. Một bài luận cho bài chứng minh được viết bởi Yuri Bilu trong Séminaire Bourbaki.[5] Vào 2005, Mihăilescu xuất bản một bài chứng minh khác đơn giản hơn [6]

Tổng quát hóa

Hiện đang có giả thuyết rằng với mọi số nguyên dương n, chỉ có hữu hạn số cặp lũy thừa hoàn hảo có khoảng cách n. Danh sách bên dưới xét n ≤ 64 ,hiển thị các nghiệm lũy thừa hoàn hảo nhỏ hơn 1018, xem Bản mẫu:Oeis . Xem thêm Bản mẫu:Oeis cho nghiệm nhỏ nhất (> 0).

n số
nghiệm 		số k sao cho k và k + n
đều là lũy thừa hoàn hảo 		n số
nghiệm 		số k sao cho k và k + n
đều là lũy thừa hoàn hảo
1 1 8 33 2 16, 256
2 1 25 34 0 none
3 2 1, 125 35 3 1, 289, 1296
4 3 4, 32, 121 36 2 64, 1728
5 2 4, 27 37 3 27, 324, Bản mẫu:Val
6 0 none 38 1 1331
7 5 1, 9, 25, 121, Bản mẫu:Val 39 4 25, 361, 961, Bản mẫu:Val
8 3 1, 8, Bản mẫu:Val 40 4 9, 81, 216, 2704
9 4 16, 27, 216, Bản mẫu:Val 41 3 8, 128, 400
10 1 2187 42 0 none
11 4 16, 25, 3125, 3364 43 1 441
12 2 4, 2197 44 3 81, 100, 125
13 3 36, 243, 4900 45 4 4, 36, 484, 9216
14 0 none 46 1 243
15 3 1, 49, Bản mẫu:Val 47 6 81, 169, 196, 529, 1681, Bản mẫu:Val
16 3 9, 16, 128 48 4 1, 16, 121, 21904
17 7 8, 32, 64, 512, Bản mẫu:Val, Bản mẫu:Val, Bản mẫu:Val 49 3 32, 576, Bản mẫu:Val
18 3 9, 225, 343 50 0 none
19 5 8, 81, 125, 324, Bản mẫu:Val 51 2 49, 625
20 2 16, 196 52 1 144
21 2 4, 100 53 2 676, Bản mẫu:Val
22 2 27, 2187 54 2 27, 289
23 4 4, 9, 121, 2025 55 3 9, 729, Bản mẫu:Val
24 5 1, 8, 25, 1000, Bản mẫu:Val 56 4 8, 25, 169, 5776
25 2 100, 144 57 3 64, 343, 784
26 3 1, Bản mẫu:Val, Bản mẫu:Val 58 0 none
27 3 9, 169, 216 59 1 841
28 7 4, 8, 36, 100, 484, Bản mẫu:Val, Bản mẫu:Val 60 4 4, 196, Bản mẫu:Val, Bản mẫu:Val
29 1 196 61 2 64, 900
30 1 6859 62 0 none
31 2 1, 225 63 4 1, 81, 961, Bản mẫu:Val
32 4 4, 32, 49, 7744 64 4 36, 64, 225, 512

Giả thuyết Pillai

Bản mẫu:Vấn đề mở Giả thuyết Pillai xét đến khoảng cách tổng quát giữa hai số lũy thừa hoàn hảo Bản mẫu:OEIS: là bài toán mở được đưa ra bởi S. S. Pillai, người đặt ra giả thuyết rằng khoảng cách giữa các lũy thừa hoàn hảo tiến đến vô cùng. Ta có thể hiểu tương đương là mỗi số tự nhiên đều có thể biểu diễn thành khoảng cách giữa hai lũy thừa hoàn hảo nhưng chỉ có hữu hạn số lần biểu diễn như vậy.Thậm chí, tổng quát hơn trong 1931 Pillai đã đặt ra giả thuyết khi cố định A, B, C thì phương trình Axn−Bym=C có hữu hạn số nghiệm (x, y, m, n) với (m, n) ≠ (2, 2). Pillai chứng minh rằng khoảng cách |Axn−Bym|≫xλn với bất kỳ λ nhỏ hơn 1, cách đều với m và n.[7]

Giả thuyết tổng quát có thể được chứng minh từ giả thuyết abc.[7][8]

Paul Erdős đặt ra giả thuyết rằngBản mẫu:Citation needed dãy tăng dần (an)n∈ℕ của lũy thừa hoàn hảo thỏa mãn an+1−an>nc với một số giá trị c và giá trị  n đủ lớn.

Xem thêm

Bản mẫu:Div col

Bản mẫu:Div col end

Chú thích

Bản mẫu:Tham khảo

Tham khảo

Liên kết ngoài

  1. ↑ Bản mẫu:Citation
  2. ↑ Bản mẫu:Harvnb
  3. ↑ Bản mẫu:Citation
  4. ↑ Bản mẫu:Citation
  5. ↑ Bản mẫu:Citation
  6. ↑ Bản mẫu:Harvnb
  7. ↑ 7,0 7,1 Bản mẫu:Citation
  8. ↑ Bản mẫu:Citation
Lấy từ “https://vi.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Giả_thuyết_Catalan&oldid=3210”