Trường cyclotomic

Bản mẫu:Short description Bản mẫu:More footnotes Trong lý thuyết số, trường cyclotomic là trường số có được bằng cách mở rộng thêm căn đơn vị phức cho Bản mẫu:Math là trường các số hữu tỉ.

Trừong cyclotomic đóng vai trò quan trọng trong phát triển đại số hiện đại và lý thuyết số bởi quan hệ của nó với định lý lớn Fermat. Fermat dùng nó trong quá trình nghiên cứu các phép tính trong các trường cho số nguyên tố Bản mẫu:Mvar) – và chính xác hơn thì, do không thể phân tích duy nhất trong các vành nguyên .

Định nghĩa

Với Bản mẫu:Math, đặt Bản mẫu:Math; là căn đơn vị nguyên thủy thứ Bản mẫu:Mvar. Trường cyclotomic thứ Bản mẫu:Mvar là mở rộng Bản mẫu:Math của Bản mẫu:Math sinh bởi Bản mẫu:Math.

Tính chất

• Đa thức cyclotomic thứ Bản mẫu:Mvar

${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\prod _{\stackrel{1\le k\le n}{\gcd (k,n)=1}}(x-e^{2\pi ik/n})=\prod _{\stackrel{1\le k\le n}{\gcd (k,n)=1}}(x-{{\zeta }_n}^k)$

không phân tích được, nên nó là đa thức tối tiểu của Bản mẫu:Math trên Bản mẫu:Math.

• Liên hợp của Bản mẫu:Math trong Bản mẫu:Math cũng là căn đơn vị nguyên thủy thứ Bản mẫu:Mvar: Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.
• Bậc của Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Mvar là hàm phi Euler.
• Các nghiệm của Bản mẫu:Math là lũy thừa của Bản mẫu:Math, nên Bản mẫu:Math là trường phân rã của Bản mẫu:Math (hoặc của Bản mẫu:Math) trên Bản mẫu:Math.
• Do đó, Bản mẫu:Math là mở rộng Galois của Bản mẫu:Math.
• Nhóm Galois $\mathrm{Gal}(𝐐({\zeta }_n)/𝐐)$ đẳng cấu tự nhiên với nhóm nhân $(𝐙/n𝐙{)}^{\times }$, bao gồm các giá trị dư khả nghịch modulo Bản mẫu:Mvar, tức là các giá trị Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math. Phép đẳng cấu biến mỗi $\sigma \in \mathrm{Gal}(𝐐({\zeta }_n)/𝐐)$ thành Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Mvar là số nguyên sao cho Bản mẫu:Math.
• Vành số nguyên của Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math.
• Với Bản mẫu:Math, biệt thức của mở rộng Bản mẫu:Math là:Bản mẫu:Sfn

$(-1{)}^{\phi (n)/2}\frac{n^{\phi (n)}}{\prod _{p|n}{p}^{\phi (n)/(p-1)}}.$