Xem mã nguồn của Giả thuyết Firoozbakht

[[Tập tin:Wikipedia primegaps.png|thumb|450px|Hàm khoảng cách số nguyên tố]]
Trong [[lý thuyết số]], '''Giả thuyết Firoozbakht''' <ref name="Ribenboim">{{chú thích sách|last=Ribenboim|first=Paulo|title=The Little Book of Bigger Primes Second Edition |year=2004|url=https://archive.org/details/littlebookbigger00ribe_610|url-access=limited| publisher=Springer-Verlag| page=[https://archive.org/details/littlebookbigger00ribe_610/page/n209 185]|isbn=9780387201696 }}</ref><ref name=ppagc30>{{chú thích web|last=Rivera|first=Carlos|title=Conjecture 30. The Firoozbakht Conjecture|url=http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_030.htm|access-date=22 August 2012}}</ref>) là giả thuyết về sự phân phối của các [[số nguyên tố]]. Nó được đặt tên theo nhà toán học [[Farideh Firoozbakht]] người phát biểu nó lần đầu trong 1982.

Giả thuyết phát biểu rằng <math>p_{n}^{1/n}</math> (trong đó <math>p_n</math> là số nguyên tố thứ ''n)'' là hàm giảm ngặt của ''n'',

:<math>\sqrt[n+1]{p_{n+1}} < \sqrt[n]{p_n} \qquad \text{ với mọi } n \ge 1.</math>

hoặc tương đương:

:<math>p_{n+1} < p_n^{1+\frac{1}{n}} \qquad \text{ với mọi } n \ge 1,</math>

xem {{OEIS2C|id=A182134}}, {{OEIS2C|id=A246782}}.

Sử dụng [[Khoảng cách số nguyên tố|các khoảng cách tối đại]], Farideh Firoozbakht đã kiểm chứng giả thuyết của bà cho tới 4.444{{e|12}}.<ref name=ppagc30/> Nhờ mở rộng đáng kể bảng các khoảng cách tối đại, giả thuyết được kiểm chứng cho tất cả số nguyên tố nằm dưới 2<sup>64</sup> &asymp; {{val|1.84|e=19}}.<ref>[http://www.ieeta.pt/~tos/gaps.html Gaps between consecutive primes]</ref><ref name="Kourbatov2018">{{chú thích web|last=Kourbatov|first=Alexei|title=Prime Gaps: Firoozbakht Conjecture | url=http://www.javascripter.net/math/primes/firoozbakhtconjecture.htm}}</ref>

Nếu giả thuyết đúng, thì hàm [[khoảng cách số nguyên tố]] <math>g_n = p_{n+1} - p_n </math> sẽ thỏa mãn:<ref>{{cite arXiv |last=Sinha |first=Nilotpal Kanti |title=On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture |year=2010 |pages= |class=math.NT |eprint=1010.1399|mode=cs2}}.</ref>

:<math> g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n \qquad \text{ với mọi } n > 4.</math>

Hơn nữa:<ref>{{citation |last=Kourbatov |first=Alexei |title=Upper bounds for prime gaps related to Firoozbakht's conjecture |journal=Journal of Integer Sequences |arxiv=1506.03042 |year=2015 |volume=18 |issue=Article 15.11.2 |url=http://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Kourbatov/kourb7.html|bibcode=|mr=3436186|zbl=1390.11105}}.</ref>

:<math> g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n - 1 \qquad \text{ với mọi } n > 9,</math>

xem thêm {{OEIS2C|id=A111943}}. Đây làm một trong những cận trên mạnh nhất cho khoảng cách số nguyên tố, đôi khi còn mạnh hơn cả ''giả thuyết của Cramér và Shanks''.<ref name="Kourbatov2018" /> Nó suy ra dạng mạnh hơn của [[giả thuyết Cramér]] và do đó không nhất quán với heuristic của [[Andrew Granville|Granville]] và [[János Pintz|Pintz]]<ref>{{citation |last=Granville |first=A. |author-link=Andrew Granville |title=Harald Cramér and the distribution of prime numbers | journal = Scandinavian Actuarial Journal |volume=1 |year=1995 |pages=12–28 |doi=10.1080/03461238.1995.10413946 |mr=1349149 |zbl=0833.01018 | url=http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20160502155118/http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf |archive-date=2016-05-02 }}.</ref><ref>{{citation |last=Granville |first=Andrew |author-link=Andrew Granville |title=Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers |journal=Proceedings of the International Congress of Mathematicians |volume=1 |year=1995 |pages=388–399 |doi=10.1007/978-3-0348-9078-6_32 |isbn=978-3-0348-9897-3 |zbl=0843.11043 |url=http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/icm.pdf }}.</ref><ref name="Pintz07">{{citation|last=Pintz|first=János|author-link=János Pintz|title=Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes|journal=Funct. Approx. Comment. Math.| volume=37 |issue=2 |year=2007|pages=232–471|doi=10.7169/facm/1229619660 | url=http://projecteuclid.org/euclid.facm/1229619660|mr=2363833 |zbl=1226.11096 |s2cid=120236707 |doi-access=free}}</ref> và của [[Helmut Maier|Maier]]<ref>[[Leonard Adleman]] and Kevin McCurley, "[ftp://www.cs.sandia.gov/pub/papers/mccurley/open.ps Open Problems in Number Theoretic Complexity, II]{{Liên kết hỏng|date=2023-06-17 |bot=InternetArchiveBot }}" (PS), ''Algorithmic number theory'' (Ithaca, NY, 1994), Lecture Notes in Comput. Sci. '''877''': 291–322, Springer, Berlin, 1994.  {{doi|10.1007/3-540-58691-1_70}}. {{ISBN|978-3-540-58691-3}}.</ref><ref>{{Citation | last1=Maier | first1=Helmut | author-link=Helmut Maier | title=Primes in short intervals | url=http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029003189 | doi = 10.1307/mmj/1029003189 | mr=783576 | year=1985 | journal=The Michigan Mathematical Journal | issn=0026-2285 | volume=32 | issue=2 | pages=221–225 | zbl = 0569.10023 | doi-access=free }}</ref> rằng

:<math> g_n > \frac{2-\varepsilon}{e^\gamma}(\log p_n)^2 \approx 1.1229(\log p_n)^2 ,</math>

xuất hiện vô số lần với bất kỳ <math>\varepsilon>0,</math> trong đó <math>\gamma</math> là [[hằng số Euler–Mascheroni]].

Có hai giả thuyết có liên quan sau (xem bình luận dưới {{OEIS2C|id=A182514}}) là

:<math>\left(\frac{\log(p_{n+1})}{\log(p_n)}\right)^n < e,</math>

là dạng yếu hơn, và

:<math>\left(\frac{p_{n+1}}{p_n}\right)^n < n\log(n)\qquad \text{ với mọi } n > 5,</math>

là dạng mạnh hơn.

==Xem thêm==
*[[Định lý số nguyên tố]]
*[[Giả thuyết Andrica]]
*[[Giả thuyết Legendre]]
*[[Giả thuyết Oppermann]]
*[[Giả thuyết Cramér]]

==Chú thích==
{{tham khảo|colwidth=80em}}

==Tham khảo==
* {{chú thích sách|last=Ribenboim|first=Paulo|title=The Little Book of Bigger Primes Second Edition |url=https://archive.org/details/littlebookofbigg0000ribe| publisher=Springer-Verlag | year=2004|isbn=0-387-20169-6}}
* {{chú thích sách|last=Riesel|first=Hans|title=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition | publisher=Birkhauser|year=1985|isbn=3-7643-3291-3}}

{{Giả thuyết số nguyên tố}}

{{DEFAULTSORT:Giả thuyết Firoozbakht}}
[[Thể loại:Giả thuyết về số nguyên tố]]
[[Thể loại:Vấn đề mở trong lý thuyết số]]
[[Thể loại:Phỏng đoán về số nguyên tố]]