Giả thuyết Firoozbakht

Hàm khoảng cách số nguyên tố

Trong lý thuyết số, Giả thuyết Firoozbakht ) là giả thuyết về sự phân phối của các số nguyên tố. Nó được đặt tên theo nhà toán học Farideh Firoozbakht người phát biểu nó lần đầu trong 1982.

Giả thuyết phát biểu rằng $p_n^{1/n}$ (trong đó $p_n$ là số nguyên tố thứ n) là hàm giảm ngặt của n,

$\sqrt[n+1]{p_{n+1}}<\sqrt[n]{p_n}\text{ với mọi }n\ge 1.$

hoặc tương đương:

$p_{n+1}<p_n^{1+\frac{1}{n}}\text{ với mọi }n\ge 1,$

xem Bản mẫu:OEIS2C, Bản mẫu:OEIS2C.

Sử dụng các khoảng cách tối đại, Farideh Firoozbakht đã kiểm chứng giả thuyết của bà cho tới 4.444Bản mẫu:E. Nhờ mở rộng đáng kể bảng các khoảng cách tối đại, giả thuyết được kiểm chứng cho tất cả số nguyên tố nằm dưới 2⁶⁴ ≈ Bản mẫu:Val.

Nếu giả thuyết đúng, thì hàm khoảng cách số nguyên tố $g_n=p_{n+1}-p_n$ sẽ thỏa mãn:

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n\text{ với mọi }n>4.$

Hơn nữa:

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n-1\text{ với mọi }n>9,$

xem thêm Bản mẫu:OEIS2C. Đây làm một trong những cận trên mạnh nhất cho khoảng cách số nguyên tố, đôi khi còn mạnh hơn cả giả thuyết của Cramér và Shanks. Nó suy ra dạng mạnh hơn của giả thuyết Cramér và do đó không nhất quán với heuristic của Granville và Pintz và của Maier rằng

$g_n>\frac{2-\epsilon }{e^{\gamma }}(\log p_n{)}^2\approx 1.1229(\log p_n{)}^2,$

xuất hiện vô số lần với bất kỳ $\epsilon >0,$ trong đó $\gamma$ là hằng số Euler–Mascheroni.

Có hai giả thuyết có liên quan sau (xem bình luận dưới Bản mẫu:OEIS2C) là

${\left(\frac{\log (p_{n+1})}{\log (p_n)}\right)}^n<e,$

là dạng yếu hơn, và

${\left(\frac{p_{n+1}}{p_n}\right)}^n<n\log (n)\text{ với mọi }n>5,$

là dạng mạnh hơn.

Xem thêm

• Định lý số nguyên tố
• Giả thuyết Andrica
• Giả thuyết Legendre
• Giả thuyết Oppermann
• Giả thuyết Cramér

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách