Định lý số nguyên tố
Trong lý thuyết số, định lý số nguyên tố (prime number theorem - PNT, hay định lý phân bố số nguyên tố) mô tả sự phân bố tiệm cận của các số nguyên tố giữa các số nguyên dương. Định lý này chuẩn hóa ý tưởng trực quan rằng các số nguyên tố trở nên ít phổ biến hơn khi chúng trở nên lớn hơn bằng cách định lượng chính xác tỷ lệ xuất hiện các số này. Định lý đã được Jacques Hadamard và Charles Jean de la Vallée Poussin chứng minh độc lập vào năm 1896 bằng cách sử dụng các ý tưởng của Bernhard Riemann (đặc biệt là hàm zeta Riemann).
Tỷ lệ phân phối đầu tiên như vậy được tìm thấy là Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Math là hàm đếm số nguyên tố và Bản mẫu:Math là logarit tự nhiên của Bản mẫu:Mvar. Điều này có nghĩa là với Bản mẫu:Mvar đủ lớn, xác suất một số nguyên ngẫu nhiên không lớn hơn Bản mẫu:Mvar là số nguyên tố rất gần với Bản mẫu:Math. Do đó, một số nguyên ngẫu nhiên có tối đa Bản mẫu:Math chữ số (cho Bản mẫu:Mvar đủ lớn) có xác suất là số nguyên tố bằng 1/2 xác suất của một số nguyên ngẫu nhiên có nhiều nhất Bản mẫu:Mvar chữ số. Ví dụ: trong số các số nguyên dương có nhiều nhất 1000 chữ số, có khoảng một trong 2300 số là số nguyên tố (Bản mẫu:Math), trong khi trong số các số nguyên dương có nhiều nhất 2000 chữ số, thì khoảng một trong 4600 số là số nguyên tố (Bản mẫu:Math). Nói cách khác, khoảng cách trung bình giữa các số nguyên tố liên tiếp giữa các số nguyên Bản mẫu:Mvar đầu tiên là khoảng Bản mẫu:Math.[1]
Nội dung
Đặt Bản mẫu:Math là hàm đếm số nguyên tố cho số lượng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng Bản mẫu:Mvar, với bất kỳ số thực Bản mẫu:Mvar nào. Ví dụ: Bản mẫu:Math vì có bốn số nguyên tố (2, 3, 5 và 7) nhỏ hơn hoặc bằng 10. Định lý số nguyên tố sau đó nói rằng Bản mẫu:Math là một xấp xỉ tốt với Bản mẫu:Math, theo nghĩa là giới hạn của thương số giữa hai hàm Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Mvar tăng vô hạn, bằng 1:
được gọi là quy luật tiệm cận của việc phân phối số nguyên tố. Sử dụng ký hiệu tiệm cận, kết quả này có thể được trình bày lại dưới dạng