Xem mã nguồn của Giai thừa nguyên tố

Với ''n'' ≥ 2, '''giai thừa nguyên tố''' ([[tiếng Anh]]: ''primorial'') (ký hiệu ''n''#) là tích của tất cả các [[số nguyên tố]] nhỏ hơn hoặc bằng ''n''. Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2·3·5·7). Tên này đặt theo [[Harvey Dubner]] và là từ ghép của ''[[nguyên tố|prime]]'' và ''[[giai thừa|factorial]]''.

Dãy các ''giai thừa nguyên tố'' đầu tiên là:

:[[2 (số)|2]], [[6 (số)|6]], [[30 (số)|30]], 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410 (theo [[OEIS]]).

== Định nghĩa cho các số nguyên tố ==
[[Tập tin:Primorial pn plot.png|nhỏ|300px|''p<sub>n</sub>''# là một hàm của ''n'', các điểm đã logarit hóa.]]
Đối với số nguyên tố tứ {{mvar|n}} {{mvar|p<sub>n</sub>}}, primorial {{math|''p<sub>n</sub>''#}} được định nghĩa là tích của {{mvar|n}} số nguyên tố đầu tiên:<ref name="mathworld">{{Mathworld | urlname=Primorial | title=Primorial}}</ref><ref name="OEIS A002110">{{OEIS|id=A002110}}</ref>

:<math>p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k</math>,

trong đó {{mvar|p<sub>k</sub>}} là số nguyên tố thứ {{mvar|k}}. Để lấy ví dụ, {{math|''p''<sub>5</sub>#}} là tích của 5 số nguyên tố đầu tiên:

:<math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.</math>

5 primorial {{math|''p<sub>n</sub>''#}} đầu tiên là:

:[[2 (số)|2]], [[6 (số)|6]], [[30 (số)|30]], [[210 (số)|210]], [[2310 (số)|2310]] {{OEIS|id=A002110}}.

Dãy cũng bao gồm {{math|''p''<sub>0</sub># {{=}} 1}} là [[tích rỗng]]. Theo tiệm cận thì, các primorial {{math|''p<sub>n</sub>''#}} lớn ngang với:

:<math>p_n\# = e^{(1 + o(1)) n \log n},</math>

trong đó {{math|''o''( )}} là [[ký hiệu o nhỏ]].<ref name="OEIS A002110" />

== Định nghĩa cho các số tự nhiên ==
[[Tập tin:Primorial n plot.png|nhỏ|300px|''So hàm n''# (các điểm màu đỏ) với hàm ''n''!. Cả hai hàm đều đã được logarit hóa.]]
Đối với số tự nhiên {{mvar|n}}, primorial của n, {{math|''n#''}}, là tích của các số nguyên tố không lớn hơn {{mvar|n}}; nghĩa là,<ref name="mathworld" /><ref name="OEIS A034386">{{OEIS|id=A034386}}</ref>

:<math>n\# = \prod_{p \le n\atop p \text{ prime}} p = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# </math>,

trong đó {{math|''π''(''n'')}} là [[hàm đếm số nguyên tố]] {{OEIS|id=A000720}}, hàm đếm các số nguyên tố {{mvar|p}} ≤ {{mvar|n}}. Định nghĩa này tương đương với:

:<math>n\# = 
\begin{cases}
    1 & \text{nếu }n = 0,\ 1 \\
    (n-1)\# \times n & \text{nếu } n \text{ là số nguyên tố} \\
    (n-1)\# & \text{nếu } n \text{ là hợp số}.
\end{cases}</math>

Để lấy ví dụ, 12# là tích của các số nguyên tố ''p'' ≤ 12:

:<math>12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.</math>

Bởi {{math|''π''(12) {{=}} 5}}, ta cũng có thể tính như sau:

:<math>12\# = p_{\pi(12)}\# = p_5\# = 2310.</math>

12 giá trị đầu tiên của {{math|''n''#}} là :

:1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.

== Tính chất và ứng dụng ==
Ý tưởng lấy tích của tất cả các số nguyên tố nằm trong chứng minh số các số nguyên tố là vô hạn; nó được sử dụng để mâu thuẫn khi giả thiết rằng số các số nguyên tố là hữu hạn.

Các ''Primorial'' đóng vai trò quan trọng trong việc tìm các số nguyên tố trong [[cấp số cộng]]. Chẳng hạn, 2236133941 + 23# là một số nguyên tố, khởi đầu dãy 13 số nguyên tố bằng cách cộng thêm 23#, và kết thúc với 5136341251. Số 23# chính là công bội của các cấp số cộng gồm mười lăm và mười sáu số nguyên tố.

Mọi [[siêu hợp số]] có thể viết thành tích của các giai thừa nguyên tố (ví dụ như [[360 (số)|360]] = 2·6·30).

== Bảng các giai thừa nguyên tố ==
{| class="wikitable" style="text-align:right"
|-
! rowspan="2" | {{mvar|n}}
! rowspan="2" | {{math|''n''#}}
! rowspan="2" | {{mvar|p<sub>n</sub>}}
! rowspan="2" | {{math|''p<sub>n</sub>''#}}<ref>{{Chú thích web|url=http://planetmath.org/TableOfTheFirst100Primorials|title = Table of the first 100 primorials}}</ref>
! colspan="2" | Là [[số nguyên tố Primorial]]?
|-
! ''p<sub>n</sub>''# + 1<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A014545|name=Primorial plus 1 prime indices}}</ref>
! ''p<sub>n</sub>''# − 1<ref>{{Cite OEIS|sequencenumber=A057704|name=Primorial - 1 prime indices}}</ref>
|-
| 0
| 1
| {{n/a}}
| [[Tích rỗng|1]]
| {{Yes}}  
| {{No}}
|-
| 1
| 1
| 2
| 2
| {{Yes}}
| {{No}}
|-
| 2
| 2
| 3
| 6
| {{Yes}}
| {{Yes}}
|-
| 3
| 6
| 5
| 30
| {{Yes}}
| {{Yes}}
|-
| 4
| 6
| 7
| 210
| {{Yes}}
| {{No}}
|-
| 5
| 30
| 11
| {{val|2310|fmt=gaps}}
| {{Yes}}
| {{Yes}}
|-
| 6
| 30
| 13
| {{val|30030}}
| {{No}}
| {{Yes}}
|-
| 7
| 210
| 17
| {{val|510510}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 8
| 210
| 19
| {{val|9699690}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 9
| 210
| 23
| {{val|223092870}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 10
| 210
| 29
| {{val|6469693230}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 11
| {{val|2310|fmt=gaps}}
| 31
| {{val|200560490130}}
| {{Yes}}
| {{No}}
|-
| 12
| {{val|2310|fmt=gaps}}
| 37
| {{val|7420738134810}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 13
| {{val|30030}}
| 41
| {{val|304250263527210}}
| {{No}}
| {{Yes}}
|-
| 14
| {{val|30030}}
| 43
| {{val|13082761331670030}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 15
| {{val|30030}}
| 47
| {{val|614889782588491410}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 16
| {{val|30030}}
| 53
| {{val|32589158477190044730}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 17
| {{val|510510}}
| 59
| {{val|1922760350154212639070}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 18
| {{val|510510}}
| 61
| {{val|117288381359406970983270}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 19
| {{val|9699690}}
| 67
| {{val|7858321551080267055879090}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 20
| {{val|9699690}}
| 71
| {{val|557940830126698960967415390}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 21
| {{val|9699690}}
| 73
| {{val|40729680599249024150621323470}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 22
| {{val|9699690}}
| 79
| {{val|3217644767340672907899084554130}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 23
| {{val|223092870}}
| 83
| {{val|267064515689275851355624017992790}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 24
| {{val|223092870}}
| 89
| {{val|23768741896345550770650537601358310}}
| {{No}}
| {{Yes}}
|-
| 25
| {{val|223092870}}
| 97
| {{val|2305567963945518424753102147331756070}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 26
| {{val|223092870}}
| 101
| {{val|232862364358497360900063316880507363070}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 27
| {{val|223092870}}
| 103
| {{val|23984823528925228172706521638692258396210}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 28
| {{val|223092870}}
| 107
| {{val|2566376117594999414479597815340071648394470}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 29
| {{val|6469693230}}
| 109
| {{val|279734996817854936178276161872067809674997230}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 30
| {{val|6469693230}}
| 113
| {{val|31610054640417607788145206291543662493274686990}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 31
| {{val|200560490130}}
| 127
| {{val|4014476939333036189094441199026045136645885247730}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 32
| {{val|200560490130}}
| 131
| {{val|525896479052627740771371797072411912900610967452630}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 33
| {{val|200560490130}}
| 137
| {{val|72047817630210000485677936198920432067383702541010310}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 34
| {{val|200560490130}}
| 139
| {{val|10014646650599190067509233131649940057366334653200433090}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 35
| {{val|200560490130}}
| 149
| {{val|1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 36
| {{val|200560490130}}
| 151
| {{val|225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 37
| {{val|7420738134810}}
| 157
| {{val|35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 38
| {{val|7420738134810}}
| 163
| {{val|5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 39
| {{val|7420738134810}}
| 167
| {{val|962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270}}
| {{No}}
| {{No}}
|-
| 40
| {{val|7420738134810}}
| 173
| {{val|166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710}}
| {{No}}
| {{No}}
|}

== Xem thêm ==
* [[Bất đẳng thức Bonse]]
* [[Số nguyên tố Primorial]]

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

* Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". ''[[Journal of Recreational Mathematics|J. Recr. Math.]]'', 19, 197–203, 1987.

== Liên kết==

* {{Mathworld | urlname=Primorial | title=Primorial}}

[[Thể loại:Giai thừa]]
[[Thể loại:Toán học tổ hợp]]
[[Thể loại:Số nguyên tố]]
[[Thể loại:Chuỗi số nguyên]]

[[ru:Факториал#Праймориал или примориал]]