Xem mã nguồn của Hằng số Gelfond–Schneider

{{distinguish|Hằng số Gelfond}}

'''Hằng số Gelfond–Schneider''' hay '''số Hilbert'''<ref name="Courant 1996 p. ">{{chú thích sách | last=Courant | first=Richard | title=What is mathematics?: an elementary approach to ideas and methods | url=https://archive.org/details/whatismathematic00cour_633 | publisher=Oxford University Press | publication-place=New York | year=1996 | isbn=978-0-19-510519-3 | oclc=34024642 | page=[https://archive.org/details/whatismathematic00cour_633/page/n130 107]}}</ref> là [[2 (số)|hai]] [[lũy thừa|mũ]] [[căn bậc hai của hai]]:
:2{{sup|{{sqrt|2}}}} = {{val|2.6651441426902251886502972498731}}...
và được chứng minh là [[số siêu việt]] bởi [[Rodion Kuzmin]] năm 1930.<ref name=Kuzmin>{{chú thích tạp chí |author=R. O. Kuzmin |title=On a new class of transcendental numbers |journal=Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. matem. |volume=7 |year=1930 |pages=585–597 |url=http://mi.mathnet.ru/eng/izv5316}}</ref>
Năm 1934, [[Aleksandr Gelfond]] và [[Theodor Schneider]] độc lập chứng minh [[định lý Gelfond–Schneider]] tổng quát hơn,<ref>{{chú thích tạp chí |author=Aleksandr Gelfond |title=Sur le septième Problème de Hilbert |journal=Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na |volume=VII |issue=4 |pages=623–634 |year=1934 |url=http://mi.mathnet.ru/eng/izv4924}}</ref> đồng thời giải quyết [[bài toán thứ bảy của Hilbert]], mô tả ở dưới.

==Tính chất==

[[Căn bậc hai]] của hằng số Gelfond–Schneider là số siêu việt:
:<math>\sqrt{2^{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}=1.6325269\ldots</math>.

Hằng số này xuất hiện trong một số chứng minh của mệnh đề "một số vô tỉ lũy thừa một số vô tỉ có thể là số hữu tỉ", mà không cần chứng minh tính siêu việt của nó. Do nếu {{math|{{sqrt|2}}{{sup|{{sqrt|2}}}}}} là số hữu tỉ, thì mệnh đề hiển nhiên đúng. Trường hợp ngược lại, nếu nó là số vô tỉ (và nó thực sự là số vô tỉ), thì
:<math>\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=\left(\sqrt{2}\right)^\left(\sqrt{2} \sqrt{2}\right)=\left(\sqrt{2}\right)^2=2</math>
là một số vô tỉ mũ một số vô tỉ nhưng cho kết quả là số hữu tỉ {{math|2}}, chứng minh mệnh đề.<ref>{{citation
 | last = Jarden | first = D.
 | journal = [[Scripta Mathematica]]
 | page = 229
 | title = Curiosa: A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational
 | volume = 19
 | year = 1953}}.</ref><ref name="Jones Toporowski 1973 p=423">{{chú thích tạp chí | last=Jones | first=J. P. | last2=Toporowski | first2=S. | title=Irrational Numbers | url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1973-04_80_4/page/423 | journal=[[American Mathematical Monthly]] | publisher=JSTOR | volume=80 | issue=4 | year=1973 | issn=0002-9890 | doi=10.2307/2319091 | page=423}}</ref> Chứng minh này không có [[tính xây dựng]], và không thể chỉ ra trường hợp nào là đúng, nhưng nó đơn giản hơn nhiều so với chứng minh của [[Rodion Kuzmin|Kuzmin]].

==Bài toán thứ bảy của Hilbert==

{{main|Bài toán thứ bảy của Hilbert}}

Một phần của bài toán toán thứ bảy trong số [[Các bài toán của Hilbert|23 bài toán của Hilbert]] đặt ra trong năm 1900 là chứng minh, hoặc tìm phản ví dụ của mệnh đề {{math|''a''<sup>''b''</sup>}} luôn là số siêu việt với {{mvar|a}} là [[số đại số]] khác {{math|0, 1}} và {{mvar|b}} là số đại số [[số vô tỉ|vô tỉ]]. Trong phát biểu của bài toán, [[David Hilbert|Hilbert]] dưa hai ví dụ cụ thể, một trong số đó là hằng số Gelfond–Schneider {{math|2<sup>{{sqrt|2}}</sup>}}.

Năm 1919, ông có một bài giảng về [[số học]] và nói về ba giả thiết: [[giả thiết Riemann]], [[định lý cuối cùng của Fermat]], và tính siêu việt của {{math|2<sup>{{sqrt|2}}</sup>}}. Ông nói với thính giả rằng ông không nghĩ bất kỳ ai trong hội trường sẽ sống đủ lâu để thấy chứng minh của bài toán thứ ba.<ref name="Hilbert 1992 p. ">{{chú thích sách | last=Hilbert | first=David | title=Natur und mathematisches Erkennen : Vorlesungen, gehalten 1919-1920 in Göttingen | publisher=Birkhäuser | publication-place=[[Basel]] | year=1992 | isbn=978-3-7643-2668-5 | oclc=26702968 | language=de | page=}}</ref> Nhưng kết quả này đã được chứng minh bởi Kuzmin năm 1930,<ref name=Kuzmin/> vẫn trong quãng đời của [[David Hilbert|Hilbert]]. Cụ thể, Kuzmin chứng minh trường hợp số mũ {{mvar|b}} là một [[số vô tỉ bậc hai]], sau đó được tổng quát thành một số mũ {{mvar|b}} vô tỉ đại số bất kỳ bởi Gelfond và Schneider.

==Xem thêm==
* [[Hằng số Gelfond]]

==Tham khảo==
{{tham khảo}}

==Đọc thêm==
* {{chú thích sách | last=Ribenboim | first=Paulo | authorlink=Paulo Ribenboim | title=My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory | series=Universitext | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2000 | isbn=0-387-98911-0 | zbl=0947.11001 }}
* {{chú thích sách | editor=Felix E. Browder | editor-link=Felix Browder | title=Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems | series=[[Proceedings of Symposia in Pure Mathematics]] | volume=XXVIII.1 | year=1976 | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=0-8218-1428-1 | first=Robert | last=Tijdeman | authorlink=Robert Tijdeman | chapter=On the Gel'fond–Baker method and its applications | pages=241–268 | zbl=0341.10026 }}

{{DEFAULTSORT:Hằng số Gelfond-Schneider}}
[[Thể loại:Số thực siêu việt]]
[[Thể loại:Hằng số toán học]]