Xem mã nguồn của I-đê-an

{{ring theory sidebar}}
Trong [[lý thuyết vành]], một nhánh của [[đại số trừu tượng]], '''i-đê-an''' là một khái niệm tổng quá hóa khái niệm [[bội số]].

== Định nghĩa ==
Đối với một vành tùy ý <math>(R,+,\cdot)</math>, ký hiệu cho <math>(R,+)</math> là nhóm cộng nền của nó. Một tập hợp con <math>I</math> được gọi là '''i-đê-an trái''' nếu:

# <math>(I,+)</math> là một [[nhóm con]] của <math>(R,+),</math> 
# Với mọi <math>r \in R</math> và <math>x \in I</math>, tích <math>r x</math> thuộc <math>I</math>.

Tương tự, ta có thể định nghĩa '''i-đê-an phải''' và '''i-đê-an hai phía'''.

Một i-đê-an (không có giải thích thêm) thông thường được ngầm hiểu là một i-đê-an trái hoặc một i-đê-an hai phía, tùy ngữ cảnh.

== Ví dụ ==

* Trong vành ''R'', chính tập hợp ''R'' tạo thành một '''i-đê-an''' hai phía. Nó là [[i-đê-an chính]] <math>(1)</math>, được gọi là '''i-đê-an đơn vị'''.
* Một '''i-đê-an''' khác đơn vị được gọi là một '''i-đê-an đích thực''' (giống như là [[Tập hợp con (toán học)|tập con đích thực]]).<ref>{{Harvard citation no brackets|Lang|2005}}</ref> 
* Các số chẵn tạo thành một i-đê-an của vành các số nguyên <math>\mathbb{Z}</math>; nó thường được ký hiệu là <math>2\mathbb{Z}</math>. Tương tự, i-đê-an các bội số của một số nguyên <math>n</math> được ký hiệu là <math>n\mathbb{Z}</math>.
* Tập hợp tất cả các [[đa thức]] chia hết cho ''x''<sup>2</sup> + 1 là một i-đê-an chính của vành đa thức.
* Tập hợp các [[Ma trận (toán học)|ma trận]] <math>n\times n</math> với hàng dưới cùng bằng <math>0</math> là một i-đê-an phải của vành ma trận. Nó không phải là một i-đê-an trái.
* Vành <math>C(\mathbb{R})</math> các [[hàm liên tục]] ''f'' từ <math>\mathbb{R}</math> vào <math>\mathbb{R}</math> chứa i-đê-an các hàm số ''f'' sao cho ''f''(1) = 0 (i-đê-an các hàm số triệt tiêu tại 1; đây là một i-đê-an tối đại).

== Tính chất ==
Ta có một loạt các loại i-đê-an như sau.

* '''[[Lý tưởng tối đa|I-đê-an tối đại]]''': Một i-đê-an đích thực ''I'' được gọi là '''i-đê-an tối đại''' nếu nó không có i-đê-an đích thực nào chứa nó. Tức là, tồn tại một và chỉ một i-đê-an chứa ''I'': i-đê-an đơn vị. Nó là một [[Phần tử tối đại và phần tử tối tiểu|phần tử tối đại]] trong lớp các i-đê-an đích thực (với thứ tự cảm sinh bởi quan hệ bao hàm). Lớp này khác rỗng bởi luôn tồn tại một i-đê-an đích thực: i-đê-an <math>(0)</math>. Theo [[bổ đề Zorn]], tồn tại ít nhất một i-đê-an tối đại trong một vành (ta xây dựng chặn trên bằng phép [[Phép hợp|hợp]]).
* '''I-đê-an tối tiểu''': Một i-đê-an là tối tiểu nếu nó khác i-đê-an <math>(0)</math> và nó chỉ chứa duy nhất i-đê-an <math>(0)</math> (và chính nó). 
* '''[[I-đê-an nguyên tố]]'''. 
* '''I-đê-an gốc''' hoặc i-đê-an bán nguyên tố. 
* '''[[I-đê-an sơ cấp]].''' 
* '''[[I-đê-an chính]]''' 
* I-đê-an hữu hạn sinh. 
* '''I-đê-an nguyên thủy'''. 
* '''I-đê-an bất khả quy'''. 
* '''I-đê-an chính quy'''. 
* '''I-đê-an lũy linh đơn''': một i-đê-an là lũy linh đơn nếu mỗi phần tử của nó là [[lũy linh]].
* '''I-đê-an lũy linh''': một i-đê-an là lũy linh nếu một lũy thừa hữu hạn của nó bằng 0.

Một i-đê-an của một vành <math>R</math> được trang bị một cấu trúc <math>R</math>-[[Mô-đun (toán học)|mô-đun]] tự nhiên.

== Phép toán i-đê-an ==
Tổng và tích của các i-đê-an được định nghĩa như sau

: <math>\mathfrak{a}+\mathfrak{b}:=\{a+b \mid a \in \mathfrak{a} \mbox{ và } b \in \mathfrak{b}\}</math>,
:<math>\mathfrak{a} \mathfrak{b}:=\{a_1b_1+ \dots + a_nb_n \mid a_i \in \mathfrak{a} \text{ và } b_i \in \mathfrak{b}, i=1, 2, \dots, n; \text{ với  } n=1, 2, \dots\},</math>

== Ví dụ ==
Trong <math>\mathbb{Z}</math> ta có

: <math>(n)\cap(m) = \operatorname{bcnn}(n,m)\mathbb{Z}</math>

Đặt <math>R = \mathbb{C}[x,y,z,w]</math> và <math>I = (z, w),\text{ }J = (x+z,y+w),\text{ }K = (x+z, w)</math>. Thế thì,

* <math>I + J = (z,w, x+z, y+w) = (x, y, z, w)</math> và <math>I + K = (z, w, x + z)</math> 
* <math>IJ = (z(x + z), z(y + w), w(x + z), w(y + w))= (z^2 + xz, zy + wz, wx + wz, wy + w^2)</math> 
* <math>IK = (xz + z^2, zw, xw + zw, w^2)</math> 
* <math>I \cap J = IJ</math> trong khi <math>I \cap K = (w, xz + z^2) \neq IK</math>

== Xem thêm ==

* [[Số học mô đun|Số học mô-đun]] 
* Định lý đẳng cấu Noether 
* Định lý i-đê-an nguyên tố Boolean 
* Lý thuyết i-đê-an 
* I-đê-an (lý thuyết thứ tự) 
* Định chuẩn i-đê-an 
* Phân tách các i-đê-an nguyên tố trong phần mở rộng Galois
* Bó i-đê-an

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

* Atiyah, M. F. và Macdonald, I.G., ''Introduction to Commutative Algebra'', 1969, ISBN 0-201-00361-9
* Lang, Serge (2005), ''Undergraduate Algebra'' (tái bản lần thứ ba), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3

[[Thể loại:Cấu trúc đại số]]
[[Thể loại:Lý thuyết vành]]