Xem mã nguồn của Quan hệ phản xạ

{{short description|Quan hệ hai ngôi quan hệ mỗi phần tử tới chính nó}}
{{stack|{{Quan hệ hai ngôi}}}}
Trong [[toán học]], [[quan hệ hai ngôi]] ''R'' trên [[tập hợp (toán học)|tập]] ''X'' có tính '''phản xạ''' nếu nó quan hệ mỗi phần tử của ''X'' tới chính phần tử đó.<ref>Levy 1979:74</ref><ref>Relational Mathematics, 2010</ref>. Nếu quan hệ có tính phản xạ thì ta gọi quan hệ đó là ''quan hệ phản xạ''.

Một ví dụ của quan hệ phản xạ là quan hệ "[[Đẳng thức|bằng với]]" trên tập các số, bởi mỗi số đều bằng với chính nó. Cùng với tính [[quan hệ đối xứng|đối xứng]] và tính [[quan hệ bắc cầu|bắc cầu]], 3 tính chất lập thành [[quan hệ tương đương]]

== Định nghĩa ==

Gọi <math>R</math> là quan hệ hai ngôi trên tập <math>X,</math>, theo định nghĩa tức là tập con của <math>X \times X.</math> 
Cho bất kỳ <math>x, y \in X,</math> ký hiệu <math>x R y</math> nghĩa là <math>(x, y) \in R</math> trong khi "không <math>x R y</math>" nghĩa là <math>(x, y) \not\in R.</math>

Quan hệ <math>R</math> được gọi là có tính {{em|phản xạ}} nếu <math>x R x</math> với mọi <math>x \in X</math> hoặc tương đương: nếu <math>\operatorname{I}_X \subseteq R</math> trong đó <math>\operatorname{I}_X := \{ (x, x) ~:~ x \in X \}</math> ký hiệu [[quan hệ đơn vị]] trên <math>X.</math> 
{{em|[[Bao đóng phản xạ]]}} của <math>R</math> là hợp <math>R \cup \operatorname{I}_X,</math>, hay định nghĩa tương đương của nó là quan hệ phản xạ nhỏ nhất đối với <math>\subseteq</math>) trên tập <math>X</math> là [[Tập hợp con|tập chứa]] của <math>R.</math> Quan hệ <math>R</math> có tính phản xạ khi và chỉ khi nó bằng với bao đóng phản xạ của nó,

{{em|Rút gọn phản xạ}} hay {{em|hạt nhân không phản xạ}} của <math>R</math> là quan hệ nhỏ nhất (đối với <math>\subseteq</math>) trên <math>X</math> có bao đóng phản xạ của nó bằng với <math>R.</math> Nó bằng với <math>R \setminus \operatorname{I}_X = \{ (x, y) \in R ~:~ x \neq y \}.</math> Hạt nhân không phản xạ của <math>R</math> có thể hiểu là cách xây "ngược lại" với bao đóng phản xạ <math>R.</math> 
Lấy ví dụ, bao đóng phản xạ của quan hệ chặt chính tắc <math> < </math> trên các [[số thực]] <math>\mathbb{R}</math> là quan hệ không chặt <math>\leq</math> trong khi rút gọn phản xạ của <math>\leq</math> là <math><.</math>

=== Các định nghĩa gần với tính phản xạ ===

Có một số định nghĩa gần với tính phản xạ. 
Quan hệ <math>R</math> được gọi là có tính:

;'''{{visible anchor|Hoàn toàn không phản xạ|Irreflexivity|Irreflexive relation}}''' <ref>Ngoài ra còn có tên phản phản xạ và alioreflexive, thuật ngữ được đưa bởi [[C S Peirce]], xem {{Chú thích sách|url=https://people.umass.edu/klement/imp/imp-ebk.pdf|title=Introduction to Mathematical Philosophy|author=Bertrand Russell|date=Apr 1920|publisher=George Allen & Unwin, Ltd.|isbn=|edition=2nd|location=London|author-link=Bertrand Russell}}  (Online corrected edition, Feb 2010). Here: p. 32. Russel also introduces two equivalent terms ''to be contained in'' or ''imply diversity''.</ref>:Nếu nó không quan hệ bất cứ phần tử nào với chính nó; nghĩa là không <math>x R x</math> với mọi <math>x \in X.</math> Quan hệ hoàn toàn không phản xạ [[khi và chỉ khi]] [[Phần bù|phần bù của nó]] trong <math>X \times X</math> có tính phản xạ. [[Quan hệ không đối xứng]] thì cũng sẽ không phản xạ. Quan hệ bắc cầu và hoàn toàn không phản xạ thì sẽ không đối xứng.

;'''{{visible anchor|Tựa phản xạ trái}}''': Bất cứ khi nào có <math>x, y \in X</math> sao cho <math>x R y,</math> thì <math>x R x.</math><ref name="Britannica">Quyển [https://www.britannica.com/topic/formal-logic/Logical-manipulations-in-LPC#ref534730 Encyclopedia Britannica] gọi tính chất này là tựa phản xạ.</ref>

;'''{{visible anchor|Tựa phản xạ phải|Right quasi-reflexivity|Quan hệ tựa phản xạ phải}}''': Bất cứ khi nào có <math>x, y \in X</math> sao cho <math>x R y,</math> thì <math>y R y.</math>

;'''{{visible anchor|Tựa phản xạ|Quan hệ tựa phản xạ}}''': Nếu hai phần tử có quan hệ với nhau, thì mỗi phần tử trong cặp quan hệ đó có quan hệ với chính nó. Cụ thể hơn, nghĩa là bất cứ khi nào có <math>x, y \in X</math> sao cho <math>x R y,</math> thì <math>x R x</math> {{em|và}} <math>y R y.</math> Một định nghĩa tương đương khác là, quan hệ hai ngôi có tính tựa phản xạ khi và chỉ khi nó vừa tựa phản xạ trái vừa tựa phản xạ phải. Một quan hệ <math>R</math> có tính tựa phản xạ khi và chỉ khi [[bao đóng phản xạ]] <math>R \cup R^{\operatorname{T}}</math> có tính tựa phản xạ trái hoặc phải.

;'''[[Quan hệ phản xứng|Phản xứng]]''': Bất cứ khi nào <math>x, y \in X</math> sao cho <math>x R y \text{ và } y R x,</math> thì <math>x = y.</math>

;'''{{visible anchor|Đối phản xạ|Quan hệ đối phản xạ}}''': Bất cứ khi nào <math>x, y \in X</math> sao cho <math>x R y,</math> thì <math>x = y.</math><ref>Fonseca de Oliveira, J. N., & Pereira Cunha Rodrigues, C. D. J. (2004). Transposing Relations: From Maybe Functions to Hash Tables. In Mathematics of Program Construction (p. 337).</ref> Quan hệ <math>R</math> có tính đối phản xạ khi và chỉ khi bao đóng phản xạ của nó có tính [[Quan hệ phản đối xứng|phản đối xứng]].

Quan hệ phản xạ trên tập khác rỗng <math>X</math> không thể hoàn toàn không phản xạ, [[Quan hệ không đối xứng|không đối xứng]] (<math>R</math> được gọi là {{em|không đối xứng}} nếu <math>x R y</math> thì không <math>y R x</math>), và [[không bắc cầu]] (<math>R</math> được gọi là {{em|không bắc cầu}} nếu <math>x R y \text{ và } y R z</math> thì không <math>x R z</math>).

== Các ví dụ ==
{{multiple image
| image1=GreaterThanOrEqualTo.png
| width1=250
| image2=GreaterThan.png
| width2=200
}}

Các ví dụ của quan hệ phản xạ bao gồm:
* "bằng với" ([[Đẳng thức (toán học)|đẳng thức]])
* "là [[tập con]] của" (bao hàm tập hợp)
* "là ước của" ([[chia hết|Tính chia hết]])
* "lớn hơn hoặc bằng với"
* "nhỏ hơn hoặc bằng với"
Các ví dụ của quan hệ không phản xạ bao gồm:
* "không bằng với"
* "nguyên tố cùng nhau" trên các số nguyên lớn hơn 1
* "là tập con thực sự của"
* "lớn hơn"
* "nhỏ hơn"

{{clear}}

Nếu quan hệ không có tính phản xạ thì không nhất thiết nó hoàn toàn không phản xạ; ta có thể định nghĩa quan hệ sao cho một số phần tử có quan hệ với chính nó nhưng các phần tử khác thì không (nghĩa là không phải tất cả đều phải có tính phản xạ) . Lấy ví dụ, quan hệ hai ngôi "tích của <math>x</math> và <math>y</math> là số chẵn" có tính phản xạ trên tập các [[số chẵn]], hoàn toàn không phản xạ trên tập các [[số lẻ]], và không có tính phản xạ hay hoàn toàn không phản xạ trên tập các [[số tự nhiên]].

== Số các quan hệ phản xạ ==

Số các quan hệ phản xạ trên tập có <math>n</math> phần tử là <math>2^{n^2-n}.</math><ref>On-Line Encyclopedia of Integer Sequences [[OEIS:A053763|A053763]]</ref>

{{Số các quan hệ}}

== Logic triết học ==

Các tác giả trong [[logic triết học]] thường sử dụng thuật ngữ khác so với toán học. Quan hệ phản xạ trong toán học thì sẽ được gọi là '''phản xạ toàn phần''' trong logic triết học, còn quan hệ tựa phản xạ thì sẽ được gọi là quan hệ '''phản xạ'''.<ref>{{cite book|author1=Alan Hausman|author2=Howard Kahane|author3=Paul Tidman|title=Logic and Philosophy — A Modern Introduction|url=https://archive.org/details/logicphilosophym0000haus|year=2013|publisher=Wadsworth|isbn=1-133-05000-X}} Here: p.327-328</ref><ref>{{cite book|author1=D.S. Clarke|author2=Richard Behling|title=Deductive Logic — An Introduction to Evaluation Techniques and Logical Theory|year=1998|publisher=University Press of America|isbn=0-7618-0922-8}} Here: p.187</ref>

== Chú thích ==

{{reflist|group=note}}
{{reflist}}

== Tham khảo ==

* Levy, A. (1979) ''Basic Set Theory'', Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. {{isbn|0-486-42079-5}}
* Lidl, R. and Pilz, G. (1998). ''Applied abstract algebra'', [[Undergraduate Texts in Mathematics]], Springer-Verlag. {{isbn|0-387-98290-6}}
* Quine, W. V. (1951). ''Mathematical Logic'', Revised Edition. Reprinted 2003, Harvard University Press. {{isbn|0-674-55451-5}}
* Gunther Schmidt, 2010. ''Relational Mathematics''. Cambridge University Press, {{isbn|978-0-521-76268-7}}.

==Liên kết ngoài==
* {{springer|title=Reflexivity|id=p/r080590}}

[[Thể loại:Quan hệ hai ngôi]]
[[Thể loại:Quan hệ phản xạ]]