Xem mã nguồn của Tích chập Dirichlet

Trong [[toán học]], '''tích chập Dirichlet''', còn gọi là '''phép nhân Dirichlet''', là một [[phép toán hai ngôi đóng]] giữa các [[hàm số học]], tức những hàm số đi từ tập [[số nguyên dương]] đến tập [[số phức]].{{efn|Tổng quát hơn, từ tập số nguyên dương đến một [[Trường (toán học)|trường]] bất kỳ.}} Phép toán này được sử dụng trong [[lý thuyết số]], bao gồm [[lý thuyết số đại số]] và [[lý thuyết số giải tích]], cũng như những bài toán đếm [[tổ hợp]].

[[Hình:Dirichlet.jpg|thumb|right|Nhà toán học [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]]]]
Nhà toán học [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]] phát triển tích chập này năm 1837 để chứng minh [[Định lý Dirichlet về cấp số cộng|định lý về cấp số cộng mang tên ông]].<ref name="Dirichlet pp. 307–312">{{chú thích sách | last=Dirichlet | first=Peter Gustav Lejeune | editor-last=Kronecker | editor-first=L. | title=G. Lejeune Dirichlet's Werke | chapter=Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression | publisher=Cambridge University Press | publication-place=Cambridge | doi=10.1017/cbo9781139237338.022 | pages=307–312}}</ref>

== Định nghĩa và ví dụ ==
=== Ký hiệu ===
Trong bài viết này, ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau:
* {{mvar|F}} là tập hợp các [[hàm số học]], trong đó
* [[Kronecker delta|{{math|''δ''{{sub|1}}}}]] là [[hàm chỉ thị]] cho [[tập đơn vị]] {{math|{{mset|1}}}}: {{math|1=''δ''{{sub|1}}(1) = 1}} và {{math|1=δ{{sub|''n''}} = 0}} với mọi số nguyên dương {{mvar|n}} khác {{math|1}},
* {{math|'''1'''}} là [[hàm hằng]] có giá trị {{math|1}}: {{math|1='''1'''(''n'') = 1}},
* {{math|Id}} là [[hàm đồng nhất]]: {{math|1=Id(''n'') = ''n''}}.

=== Định nghĩa ===
{{math theorem|name=Định nghĩa|''[[Tích chập]] Dirichlet'' của hai hàm số học {{mvar|f}} và {{mvar|g}} là một hàm số học {{math|''f'' &lowast; ''g''}} định nghĩa bởi:
:<math>
(f*g)(n) \ =\ \sum_{d\,\mid \,n} f(d)\,g\!\left(\frac{n}{d}\right) \ =\  \sum_{ ab\,=\,n}\!f(a)\,g(b)
</math>

trong đó tổng chạy trên các [[ước số|ước]] nguyên dương {{mvar|d}} của {{mvar|n}}, hoặc chạy trên các cặp số nguyên dương {{math|(''a'', ''b'')}} có tích bằng {{mvar|n.}}
}}

Tích chập này xuất hiện trong quá trình nghiên cứu các [[chuỗi Dirichlet]] như [[hàm zeta Riemann]]. Nó miêu tả phép nhân hai chuỗi Dirichlet biểu diễn bằng các hệ số của chúng:
:<math>
\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}\right)
\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{g(n)}{n^s}\right)
 = 
\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{(f*g)(n)}{n^s}\right).
</math>

=== Ví dụ ===
* Mọi hàm số học {{mvar|f}} đều thỏa mãn đẳng thức {{math|1=''δ''{{sub|1}} &lowast; ''f'' = ''f''.}}
* Tích chập của [[hàm phi Euler]] với hàm hằng là hàm đồng nhất: {{math|1=''φ'' &lowast; '''1''' = Id.}} Điều này tương đương với đẳng thức <math>n = \sum_{d\,\mid \,n} \varphi(d).</math>

== Tính chất ==
=== Cơ bản ===
Tích chập Dirichlet có các tính chất sau đây:
* [[Tính giao hoán]]
:<math>
f * g = g * f.
</math>
* [[Tính kết hợp]]
:<math>
f * (g * h) = (f * g) * h
</math>
* [[Tính phân phối]] với phép cộng
:<math>
f * (g + h) = f * g + f * h
</math>
* [[Phần tử đơn vị]] là {{math|''δ''{{sub|1}}}}
:<math>
f * \delta_1 = \delta_1 * f = f
</math>

=== Cấu trúc ===
Tập hợp {{mvar|F}} các hàm số học, cùng với [[phép cộng]] thông thường (tức {{math|1=(''f'' + ''g'')(''n'') = ''f''(''n'') + ''g''(''n'')}} với mọi {{mvar|n}}) và phép nhân Dirichlet, tạo thành một [[miền nguyên]], hay '''vành Dirichlet'''. Điều này suy ra từ việc {{mvar|F}} cùng với phép cộng tạo thành một [[nhóm giao hoán]], và phép toán tích chập {{math|&lowast;}} có tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân phối với phép cộng, đơn vị của phép nhân là hàm {{math|''δ''{{sub|1}}}}, và nếu {{math|''f'', ''g'' &ne; 0}} thì {{math|''f'' &lowast; ''g'' &ne; 0.}}

Phép toán {{math|''D''&ThinSpace;: ''F'' → ''F''}} định nghĩa bởi {{math|1=(''Df'')(''n'') = ''f''(''n'') log''n''}} (trong đó {{math|log}} là hàm [[lôgarít]] trong cơ số bất kỳ) là một [[Đạo hàm (đại số vi phân)|đạo hàm]] trên vành này.

== Hàm nhân tính ==
[[Hàm nhân tính]] là những hàm số học {{mvar|f}} thỏa mãn {{math|1=''f''(1) = 1}} và {{math|1=''f''(''ab'') = ''f''(''a'') ''f''(''b'')}} với mọi số nguyên dương {{mvar|a}} và {{mvar|b}} nguyên tố cùng nhau. [[Hàm nhân tính hoàn toàn]] là những hàm nhân tính {{mvar|f}} mà {{math|1=''f''(''ab'') = ''f''(''a'') ''f''(''b'')}} với mọi số nguyên dương {{mvar|a}} và {{mvar|b}}, bất kể có nguyên tố cùng nhau hay không.

=== Nhóm hàm nhân tính ===
Mặc dù phép nhân Dirichlet có tính giao hoán, [[vành]] các hàm số học {{mvar|F}} không phải là một [[trường (toán học)|trường]], bởi một [[nghịch đảo phép nhân]] không nhất thiết phải tồn tại. Cụ thể, một hàm số học {{mvar|f}} có [[#Nghịch đảo Dirichlet|nghịch đảo Dirichlet]] khi và chỉ khi {{math|1=''f''(1) &ne; 0.}} Các hàm số như thế tạo thành [[nhóm đơn vị]] của vành {{mvar|F.}}

Tích chập [[Dirichlet]] của hai [[hàm nhân tính]] thì là một hàm nhân tính, và mọi hàm nhân tính khác {{math|0}} đều có một nghịch đảo Dirichlet cũng nhân tính. Nói cách khác, các hàm nhân tính tạo thành một [[nhóm con]] của nhóm đơn vị các phần tử [[khả nghịch]] của vành Dirichlet. Cần chú ý rằng tổng của hai hàm nhân tính thì không nhất thiết nhân tính, do đó tập hợp các hàm nhân tính không tạo thành một [[vành con]] của vành Dirichlet.

=== Hàm Möbius ===
Hàm hằng {{math|'''1'''}} cũng thuộc nhóm hàm nhân tính ở trên. Nghịch đảo Dirichlet của nó là [[hàm Möbius]] {{mvar|μ}}:
:<math>
\mathbf{1} * \mu = \delta_1.
</math>

Nghịch đảo {{mvar|μ}} này của {{math|'''1'''}} đóng vai trò quan trọng trong tích chập Dirichlet. Nếu ta có hàm số học {{mvar|f}} và {{mvar|g}} thỏa mãn {{math|1=''g'' = ''f'' &lowast; '''1'''}} thì bằng tích chập với {{mvar|μ}}, ta có {{math|1=''f'' = ''g'' &lowast; ''μ''}}. Việc biểu diễn {{mvar|f}} theo {{mvar|g}} này được gọi là [[công thức nghịch đảo Möbius]].

Một ví dụ của công thức này là với [[hàm phi Euler]]. Theo ví dụ thứ hai ở trên, ta có đẳng thức {{math|1=Id = ''φ'' &lowast; '''1'''.}} Bằng công thức nghịch đảo, ta suy ra:
:<math>
\varphi = \textrm{Id} * \mu \quad \text{hay} \quad \varphi(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)d.
</math>

=== Hàm nhân tính hoàn toàn ===
Tích chập Dirichlet của hai hàm nhân tính hoàn toàn là một hàm nhân tính, nhưng không nhất thiết nhân tính hoàn toàn. Ví dụ như tích chập {{math|'''1''' &lowast; '''1'''}} chính là [[hàm ước số|hàm đếm số ước]] {{mvar|σ{{sub|0}}}} và là một hàm số không nhân tính hoàn toàn: {{math|1=''σ''{{sub|0}}(2) = 2}} còn {{math|1=''σ''{{sub|0}}(4) = 3.}}

Nếu {{mvar|f}} là một hàm nhân tính hoàn toàn thì:
* Nghịch đảo Dirichlet của nó là tích thông thường {{mvar|fμ}},
:<math>
f^{-1}(n) = (f\mu)(n) = f(n)\mu(n).
</math>
* Tích chập Dirichlet của {{mvar|f}} với chính nó bằng tích {{mvar|fσ{{sub|0}}}},
:<math>
(f * f)(n) = f(n) \sigma_0 (n).
</math>
* Với mọi hàm số học {{mvar|g}} và {{mvar|h}}, ta có tính chất phân phối {{math|1=''f'' (''g'' &lowast; ''h'') = (''fg'') &lowast; (''fh'').}}

Tính chất đầu tiên trong ba tính chất này còn xác định một hàm nhân tính hoàn toàn, tức một hàm số học là nhân tính hoàn toàn khi và chỉ khi nó thỏa tính chất đầu tiên.

== Xem thêm ==
* [[Hàm số học]]
* [[Tích chập]]
* [[Công thức nghịch đảo Möbius]]

== Ghi chú ==
{{notelist}}

== Tham khảo ==
{{tham khảo}}

=== Danh mục ===
* {{chú thích sách | last=Davenport | first=Harold | title=Graduate Texts in Mathematics | chapter=Multiplicative Number Theory | publisher=Springer New York | publication-place=New York, NY | year=1980 | isbn=978-1-4757-5929-7 | issn=0072-5285 | doi=10.1007/978-1-4757-5927-3 | page=}}
* {{Citation
| last=Apostol
| first=Tom M.
| author-link=Tom M. Apostol
| title=Introduction to Analytic Number Theory
| publisher=Springer-Verlag
| location=New York-Heidelberg
| series=Undergraduate Texts in Mathematics
| isbn=978-0-387-90163-3
| mr = 0434929 | zbl = 0335.10001 
| year=1976}}
* {{chú thích sách |
author=Chan, Heng Huat |
title=Analytic Number Theory for Undergraduates |
series=Monographs in Number Theory|
year=2009 |
isbn=981-4271-36-5 |
publisher=World Scientific Publishing Company 
}}
* {{chú thích sách | author=Hugh L. Montgomery | authorlink=Hugh Montgomery (mathematician) |author2=Robert C. Vaughan |authorlink2=Robert Charles Vaughan (mathematician)  | title=Multiplicative number theory I. Classical theory | series=Cambridge tracts in advanced mathematics | volume=97 | year=2007 | isbn=0-521-84903-9 | page=38 | publisher=Cambridge Univ. Press | location=Cambridge }}
* {{chú thích báo
|first1=Eckford
|last1=Cohen
|title=A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion
|journal=Pacific J. Math.
|volume=9
|number=1
|pages=13–23
|year=1959
|mr=0109806
}}
* {{chú thích báo
|first1=Eckford
|last1=Cohen
|title=Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer
|journal=[[Mathematische Zeitschrift]]
|volume=74
|year=1960
|pages=66–80
|mr=0112861
|doi=10.1007/BF01180473
}}
* {{chú thích báo
|first1=Eckford
|last1=Cohen
|title=The number of unitary divisors of an integer
|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1960-11_67_9/page/879
|volume=67
|number=9
|pages=879–880
|mr=0122790
|year=1960
|journal=[[American Mathematical Monthly]]
}}
* {{chú thích báo
|first1=Graeme L.
|last1=Cohen
|title=On an integers' infinitary divisors
|volume=54
|number=189
|pages=395–411
|mr=0993927
|doi=10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5
|journal=Math. Comp.
|year=1990
}}
* {{chú thích báo
|first1=Graeme L.
|last1=Cohen
|title=Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer
|volume=16
|number=2
|pages=373–383
|doi=10.1155/S0161171293000456
|journal=Int. J. Math. Math. Sci.
|year=1993
}}
* {{chú thích tạp chí
|first1=Jozsef
|last1=Sandor
|first2=Antal
|last2=Berge
|title=The Möbius function: generalizations and extensions
|journal=Adv. Stud. Contemp. Math. (Kyungshang)
|volume=6
|number=2
|pages=77–128
|year=2003
|mr=1962765
}}
* {{chú thích web
 |first1      = Steven
 |last1       = Finch
 |title       = Unitarism and Infinitarism
 |url         = http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/try.pdf
 |year        = 2004
 |url-status     = dead
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20150222094526/http://www.people.fas.harvard.edu/~sfinch/csolve/try.pdf
 |archivedate = ngày 22 tháng 2 năm 2015}}

== Liên kết ngoài ==
* {{springer|title=Dirichlet convolution|id=p/d130150}}

[[Thể loại:Hàm số học]]
[[Thể loại:Phép toán song tuyến]]