Tích chập Dirichlet

Trong toán học, tích chập Dirichlet, còn gọi là phép nhân Dirichlet, là một phép toán hai ngôi đóng giữa các hàm số học, tức những hàm số đi từ tập số nguyên dương đến tập số phức.Bản mẫu:Efn Phép toán này được sử dụng trong lý thuyết số, bao gồm lý thuyết số đại số và lý thuyết số giải tích, cũng như những bài toán đếm tổ hợp.

Nhà toán học Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Nhà toán học Dirichlet phát triển tích chập này năm 1837 để chứng minh định lý về cấp số cộng mang tên ông.

Định nghĩa và ví dụ

Ký hiệu

Trong bài viết này, ta sẽ sử dụng các ký hiệu sau:

• Bản mẫu:Mvar là tập hợp các hàm số học, trong đó
• [[Kronecker delta|Bản mẫu:Math]] là hàm chỉ thị cho tập đơn vị Bản mẫu:Math: Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math với mọi số nguyên dương Bản mẫu:Mvar khác Bản mẫu:Math,
• Bản mẫu:Math là hàm hằng có giá trị Bản mẫu:Math: Bản mẫu:Math,
• Bản mẫu:Math là hàm đồng nhất: Bản mẫu:Math.

Định nghĩa

Tích chập này xuất hiện trong quá trình nghiên cứu các chuỗi Dirichlet như hàm zeta Riemann. Nó miêu tả phép nhân hai chuỗi Dirichlet biểu diễn bằng các hệ số của chúng:

$\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{g(n)}{n^s}\right)=\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(f*g)(n)}{n^s}\right).$

Ví dụ

• Mọi hàm số học Bản mẫu:Mvar đều thỏa mãn đẳng thức Bản mẫu:Math
• Tích chập của hàm phi Euler với hàm hằng là hàm đồng nhất: Bản mẫu:Math Điều này tương đương với đẳng thức $n=\sum _{d\mid n}\phi (d).$

Tính chất

Cơ bản

Tích chập Dirichlet có các tính chất sau đây:

• Tính giao hoán

$f*g=g*f.$

• Tính kết hợp

$f*(g*h)=(f*g)*h$

• Tính phân phối với phép cộng

$f*(g+h)=f*g+f*h$

• Phần tử đơn vị là Bản mẫu:Math

$f*{\delta }_1={\delta }_1*f=f$

Cấu trúc

Tập hợp Bản mẫu:Mvar các hàm số học, cùng với phép cộng thông thường (tức Bản mẫu:Math với mọi Bản mẫu:Mvar) và phép nhân Dirichlet, tạo thành một miền nguyên, hay vành Dirichlet. Điều này suy ra từ việc Bản mẫu:Mvar cùng với phép cộng tạo thành một nhóm giao hoán, và phép toán tích chập Bản mẫu:Math có tính giao hoán, tính kết hợp, tính phân phối với phép cộng, đơn vị của phép nhân là hàm Bản mẫu:Math, và nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math

Phép toán Bản mẫu:Math định nghĩa bởi Bản mẫu:Math (trong đó Bản mẫu:Math là hàm lôgarít trong cơ số bất kỳ) là một đạo hàm trên vành này.

Hàm nhân tính

Hàm nhân tính là những hàm số học Bản mẫu:Mvar thỏa mãn Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math với mọi số nguyên dương Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar nguyên tố cùng nhau. Hàm nhân tính hoàn toàn là những hàm nhân tính Bản mẫu:Mvar mà Bản mẫu:Math với mọi số nguyên dương Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar, bất kể có nguyên tố cùng nhau hay không.

Nhóm hàm nhân tính

Mặc dù phép nhân Dirichlet có tính giao hoán, vành các hàm số học Bản mẫu:Mvar không phải là một trường, bởi một nghịch đảo phép nhân không nhất thiết phải tồn tại. Cụ thể, một hàm số học Bản mẫu:Mvar có nghịch đảo Dirichlet khi và chỉ khi Bản mẫu:Math Các hàm số như thế tạo thành nhóm đơn vị của vành Bản mẫu:Mvar

Tích chập Dirichlet của hai hàm nhân tính thì là một hàm nhân tính, và mọi hàm nhân tính khác Bản mẫu:Math đều có một nghịch đảo Dirichlet cũng nhân tính. Nói cách khác, các hàm nhân tính tạo thành một nhóm con của nhóm đơn vị các phần tử khả nghịch của vành Dirichlet. Cần chú ý rằng tổng của hai hàm nhân tính thì không nhất thiết nhân tính, do đó tập hợp các hàm nhân tính không tạo thành một vành con của vành Dirichlet.

Hàm Möbius

Hàm hằng Bản mẫu:Math cũng thuộc nhóm hàm nhân tính ở trên. Nghịch đảo Dirichlet của nó là hàm Möbius Bản mẫu:Mvar:

$\mathrm{𝟏}*\mu ={\delta }_1.$

Nghịch đảo Bản mẫu:Mvar này của Bản mẫu:Math đóng vai trò quan trọng trong tích chập Dirichlet. Nếu ta có hàm số học Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar thỏa mãn Bản mẫu:Math thì bằng tích chập với Bản mẫu:Mvar, ta có Bản mẫu:Math. Việc biểu diễn Bản mẫu:Mvar theo Bản mẫu:Mvar này được gọi là công thức nghịch đảo Möbius.

Một ví dụ của công thức này là với hàm phi Euler. Theo ví dụ thứ hai ở trên, ta có đẳng thức Bản mẫu:Math Bằng công thức nghịch đảo, ta suy ra:

$\phi =\text{Id}*\mu \text{hay}\phi (n)=\sum _{d\mid n}\mu \left(\frac{n}{d}\right)d.$

Hàm nhân tính hoàn toàn

Tích chập Dirichlet của hai hàm nhân tính hoàn toàn là một hàm nhân tính, nhưng không nhất thiết nhân tính hoàn toàn. Ví dụ như tích chập Bản mẫu:Math chính là hàm đếm số ước Bản mẫu:Mvar và là một hàm số không nhân tính hoàn toàn: Bản mẫu:Math còn Bản mẫu:Math

Nếu Bản mẫu:Mvar là một hàm nhân tính hoàn toàn thì:

• Nghịch đảo Dirichlet của nó là tích thông thường Bản mẫu:Mvar,

$f^{-1}(n)=(f\mu )(n)=f(n)\mu (n).$

• Tích chập Dirichlet của Bản mẫu:Mvar với chính nó bằng tích Bản mẫu:Mvar,

$(f*f)(n)=f(n){\sigma }_0(n).$

• Với mọi hàm số học Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar, ta có tính chất phân phối Bản mẫu:Math

Tính chất đầu tiên trong ba tính chất này còn xác định một hàm nhân tính hoàn toàn, tức một hàm số học là nhân tính hoàn toàn khi và chỉ khi nó thỏa tính chất đầu tiên.

Xem thêm

• Hàm số học
• Tích chập
• Công thức nghịch đảo Möbius

Tham khảo

Danh mục

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Citation
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích báo
• Bản mẫu:Chú thích báo
• Bản mẫu:Chú thích báo
• Bản mẫu:Chú thích báo
• Bản mẫu:Chú thích báo
• Bản mẫu:Chú thích tạp chí
• Bản mẫu:Chú thích web

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:Springer