Hàm nhân tính hoàn toàn

Trong lý thuyết số, hàm nhân tính hoàn toàn hay hàm nhân tính toàn bộ là một hàm số học giữ lại phép nhân giữa hai số bất kỳ. Nói cách khác, hàm số Bản mẫu:Mvar định nghĩa trên tập số nguyên dương được gọi là nhân tính hoàn toàn nếu nó thỏa Bản mẫu:Math với mọi số nguyên dương Bản mẫu:Math.

Nếu hàm số học Bản mẫu:Mvar thỏa Bản mẫu:Math với mọi số nguyên dương Bản mẫu:Math nguyên tố cùng nhau thì nó được gọi là hàm nhân tính. Ngoài ngữ cảnh lý thuyết số, thuật ngữ "hàm nhân tính" thường dùng để chỉ hàm nhân tính hoàn toàn.

Định nghĩa

Một hàm nhân tính hoàn toàn (hay hàm nhân tính toàn bộ) là một hàm số học (hàm số có tập xác định là tập số tự nhiên) Bản mẫu:Mvar, sao cho

Bản mẫu:Math

với mọi số nguyên dương Bản mẫu:Math.

Trong trường hợp Bản mẫu:Math thì ta có Bản mẫu:Math với mọi số tự nhiên Bản mẫu:Mvar. Nếu Bản mẫu:Math thì do Bản mẫu:Math, ta suy ra Bản mẫu:Math.

Định nghĩa đại số

Định nghĩa trên có thể viết lại bằng ngôn ngữ của đại số trừu tượng: một hàm nhân tính hoàn toàn là một đẳng cấu từ monoid Bản mẫu:Math (tức là, tập số nguyên dưới phép nhân) vào một monoid khác.

Ví dụ

Ví dụ đơn giản nhất của hàm nhân tính hoàn toàn (ngoài hàm Bản mẫu:Math với mọi Bản mẫu:Mvar) là một đơn thức với hệ số bằng 1: hàm số Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Mvar là một số dương bất kỳ. Khi ấy

Bản mẫu:Math,

Một số ví dụ không tầm thường khác là hàm Liouville, đặc trưng Dirichlet, ký hiệu Jacobi và ký hiệu Legendre.

Tính chất

Một hàm nhân tính hoàn toàn được xác định chỉ bởi giá trị của nó tại các số nguyên tố, một hệ quả từ định lý cơ bản của số học, phát biểu rằng mọi số tự nhiên đều có một và chỉ một phân tích ra thừa số nguyên tố. Cụ thể, nếu phân tích ra thừa số nguyên tố của Bản mẫu:Mvar là Bản mẫu:Math thì

Bản mẫu:Math.

Trong khi tích chập Dirichlet của hai hàm nhân tính là một hàm nhân tính, tích chập Dirichlet của hai hàm nhân tính hoàn toàn không nhất thiết là nhân tính hoàn toàn.

Một hàm số Bản mẫu:Mvar là nhân tính hoàn toàn khi và chỉ khi nghịch đảo Dirichlet của nó là Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Mvar là hàm Möbius.

Tính phân phối

Hàm nhân tính hoàn toàn cũng thỏa mãn một tính chất phân phối. Nếu Bản mẫu:Mvar là nhân tính hoàn toàn thì

$f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h),$

trong đó Bản mẫu:Math ký hiệu tích chập Dirichlet và Bản mẫu:Math là tích tại từng điểm. Một hệ quả của tính chất này là với mọi hàm nhân tính hoàn toàn Bản mẫu:Mvar, ta có:

$f*f=\tau \cdot f,$

suy ra bằng cách thế Bản mẫu:Math, tức là hàm hằng với giá trị bằng 1. Ở đây Bản mẫu:Math là hàm ước số, trả về số ước của số nguyên dương Bản mẫu:Mvar.

Chứng minh

Do Bản mẫu:Mvar là hàm nhân tính hoàn toàn nên nếu Bản mẫu:Mvar là ước của Bản mẫu:Mvar thì

$f(n)=f\left(d\right)f\left(\frac{n}{d}\right).$

Như vậy ta có

$\begin{array}{cc}f\cdot (g*h)(n)& =f(n)\cdot \sum _{d|n}g\left(d\right)h\left(\frac{n}{d}\right)\\ & =\sum _{d|n}f(n)\cdot \left(g\left(d\right)h\left(\frac{n}{d}\right)\right)\\ & =\sum _{d|n}\left(f\left(d\right)f\left(\frac{n}{d}\right)\right)\cdot \left(g\left(d\right)h\left(\frac{n}{d}\right)\right)\\ & =\sum _{d|n}\left(f\left(d\right)g\left(d\right)\right)\cdot \left(f\left(\frac{n}{d}\right)h\left(\frac{n}{d}\right)\right)\\ & =(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{array}$

Chuỗi Dirichlet

Hàm L của chuỗi Dirichlet nhân tính hoàn toàn thỏa

$L(s,a)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(n)}{n^s}=\prod _p(1-\frac{a(p)}{p^s}{)}^{-1}.$

Xem thêm

• Hằng số Hall–Montgomery
• Hàm nhân tính
• Chuỗi Dirichlet
• Hàm L Dirichlet
• Hàm số học