Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Số nguyên tố chính quy”

Từ testwiki
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm
imported>Mwcb
nKhông có tóm lược sửa đổi
 
(Không có sự khác biệt)

Bản mới nhất lúc 04:01, ngày 3 tháng 6 năm 2023

Bản mẫu:Vấn đề mở

Trong lý thuyết số, số nguyên tố chính quy là một loại đặc biệt của số nguyên tố, được định nghĩa bởi Ernst Kummer trong 1850 để chứng minh một số trường hợp của định lý lớn Fermat. Số nguyên tố chính quy có thể định nghĩa qua tính chia hết của số lớp hoặc của số Bernoulli.

Các số nguyên tố chính quy đầu tiên là:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 107, 109, 113, 127, 137, 139, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, ... Bản mẫu:OEIS.

Lịch sử và động lực

Trong 1850, Kummer đã chứng minh rằng định lý lớn Fermat đúng với số mũ là lũy thừa của p nếu p chính quy. Do đó đưa sự chú ý vào các số nguyên tố chính quy.[1] Trong 1852, Genocchi chứng minh được thêm rằng trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat đúng cho số nguyên tố p, khi Bản mẫu:Nowrap không phải cặp số phi chính quy. Kummer cải tiến thêm vào 1857 rằng đối với "trường hợp đầu" của định lý lớn Fermat (xem định lý Sophie Germain), ta đủ để chứng minh rằng hoặc Bản mẫu:Nowrap hoặc Bản mẫu:Nowrap không phải cặp phi chính quy.

Kummer tìm được các số nguyên tố phi chính quy cho tới 165. Trong 1963, Lehmer tăng giới hạn lên 10000 , sau đó Selfridge và Pollack báo cáo trong 1964 đã hoàn thành bảng các số nguyên tố phi chính quy lên tới 25000. Mặc dù hai bản sau không được in ra giấy, Johnson tìm ra rằng Bản mẫu:Nowrap là cặp số phi chính quy với Bản mẫu:Nowrap và đây là trường hợp duy nhất cho Bản mẫu:Nowrap.[2] Ta tìm được thêm một số khác vào năm 1993 với Bản mẫu:Nowrap; xem thêm số nguyên tố Wolstenholme.[3]

Định nghĩa

Định nghĩa bằng số lớp

Số nguyên tố lẻ p là số nguyên tố chính quy nếu nó không phải là ước của số lớp của trường cyclotomic thứ p :Q(ζp), với ζp là căn đơn vị nguyên thủy thứ p, danh sách các số được liệt kê trong Bản mẫu:Oeis. Số 2 cũng được coi là số nguyên tố chính quy

Số lớp của trường cyclotomic là số các ideal của vành số nguyên Z(ζp) xê xích tương đương. Hai ideal I, J được gọi là tương đương nhau nếu tồn tại u khác không thuộc Q(ζp) sao cho Bản mẫu:Nowrap.

Định nghĩa theo Kummer

Ernst Kummer Bản mẫu:Harv đưa ra một định nghĩa tương đương khác rằng p chính quy khi và chỉ khi p không phải là ước của bất kỳ số Bernoulli Bk với Bản mẫu:Nowrap.

Bài chứng minh của Kummer rằng định nghĩa này tương đương với định nghĩa bằng số lớp được gia cố thêm bằng định lý Herbrand–Ribet

Giả thuyết Siegel

Hiện đang có giả thuyết rằng có vô hạn số nguyên tố chính quy. Và chính xác hơn thì Bản mẫu:Harvs giả thuyết thêm rằng khoảng e−1/2, hay khoảng 60.65% của tất cả các số nguyên tố là số nguyên tố chính quy theo ngôn ngữ tiệm cận với mật độ tự nhiên. Hiện giờ chưa có giả thuyết nào được chứng minh.

Số nguyên tố phi chính quy

Số nguyên tố lẻ không chính quy được gọi là số nguyên tố phi chính quy (hay B-phi chính quy để phân biệt với các dạng phi chính quy bên dưới). Một số số nguyên tố phi chính quy đầu tiên là:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 353, 379, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 467, 491, 523, 541, 547, 557, 577, 587, 593, ... Bản mẫu:OEIS

Tính vô hạn

K. L. Jensen (một học trò của Nielsen[4]) trong 1915 đã chứng minh được rằng có vô số số nguyên tố phi chính quy dưới dạng Bản mẫu:Nowrap. [5] Trong 1954 Carlitz đưa ra kết quả yếu hơn rằng nhìn chung có vô số nguyên tố phi chính quy.[6]

Metsänkylä chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên Bản mẫu:Nowrap, có vô số số nguyên tố phi chính quy không nằm dưới dạng Bản mẫu:Nowrap hay Bản mẫu:Nowrap,[7] sau này tổng quát thêm.[8]

Cặp số phi chính quy

Nếu p là số nguyên tố phi chính quy và p là ước của số Bernoulli B2k cho Bản mẫu:Nowrap, thì Bản mẫu:Nowrap được gọi là cặp phi chính quy. Nói cách khác, cặp số này được dùng để kiểm tra xem với số nguyên tố p, xem chỉ số của số Bernoulli mà tại đó mất tính chính quy. Các cặp đầu tiên (xếp thứ tự bởi k) là:

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), (2294797, 24), (657931, 26), (9349, 28), (362903, 28), ... Bản mẫu:OEIS.

Các số k chẵn nhỏ sao cho số nguyên tố phi chính quy thứ n là ước của Bk là

32, 44, 58, 68, 24, 22, 130, 62, 84, 164, 100, 84, 20, 156, 88, 292, 280, 186, 100, 200, 382, 126, 240, 366, 196, 130, 94, 292, 400, 86, 270, 222, 52, 90, 22, ... Bản mẫu:OEIS

Đối với số nguyên tố p, số các cặp chứa p được gọi là chỉ số phi chính quy của p.[9] Do đó, số nguyên tố được gọi là chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó bằng không. Tương tự như vậy, số nguyên tố phi chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó dương.

Ta phát hiện ra rằng Bản mẫu:Nowrap là cặp phi chính quy cho Bản mẫu:Nowrap và Bản mẫu:Nowrap. Không có p nào khác cho Bản mẫu:Nowrap.

Chỉ số phi chính quy

Số nguyên tố p có chỉ số phi chính quy n khi và chỉ khi có n giá trị k thỏa mãn p là ước của B2k và các giả trị k này đều nhỏ hơn Bản mẫu:Nowrap. Số nguyên tố lẻ đầu tiên có chỉ số phi chính quy lớn hơn 1 là số 157, là ước của B62 và B110, nên nó có chỉ số bằng 2. Chỉ số của số nguyên tố chính quy bằng 0.

Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố thứ n là

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 2, 0, ... (Bắt đầu với n = 2, hoặc p = 3) Bản mẫu:OEIS

Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố phi chính quy thứ n là

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, ... Bản mẫu:OEIS

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 1 là

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 233, 257, 263, 271, 283, 293, 307, 311, 347, 389, 401, 409, 421, 433, 461, 463, 523, 541, 557, 577, 593, 607, 613, 619, 653, 659, 677, 683, 727, 751, 757, 761, 773, 797, 811, 821, 827, 839, 877, 881, 887, 953, 971, ... Bản mẫu:OEIS

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 2 là

157, 353, 379, 467, 547, 587, 631, 673, 691, 809, 929, 1291, 1297, 1307, 1663, 1669, 1733, 1789, 1933, 1997, 2003, 2087, 2273, 2309, 2371, 2383, 2423, 2441, 2591, 2671, 2789, 2909, 2957, ... Bản mẫu:OEIS

Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 3 là

491, 617, 647, 1151, 1217, 1811, 1847, 2939, 3833, 4003, 4657, 4951, 6763, 7687, 8831, 9011, 10463, 10589, 12073, 13217, 14533, 14737, 14957, 15287, 15787, 15823, 16007, 17681, 17863, 18713, 18869, ... Bản mẫu:OEIS

Các dạng tổng quát

Số nguyên tố phi chính quy Euler

Tương tự đối với các số Euler, ta định nghĩa số nguyên tố phi chính quy Euler (hay E-phi chính quy) là số nguyên tố p là ước của ít nhất một số Euler E2n với Bản mẫu:Nowrap. Các số nguyên tố phi chính quy Euler đầu tiên là

19, 31, 43, 47, 61, 67, 71, 79, 101, 137, 139, 149, 193, 223, 241, 251, 263, 277, 307, 311, 349, 353, 359, 373, 379, 419, 433, 461, 463, 491, 509, 541, 563, 571, 577, 587, ... Bản mẫu:OEIS

Dãy các cặp phi chính quy Euler là

(61, 6), (277, 8), (19, 10), (2659, 10), (43, 12), (967, 12), (47, 14), (4241723, 14), (228135437, 16), (79, 18), (349, 18), (84224971, 18), (41737, 20), (354957173, 20), (31, 22), (1567103, 22), (1427513357, 22), (2137, 24), (111691689741601, 24), (67, 26), (61001082228255580483, 26), (71, 28), (30211, 28), (2717447, 28), (77980901, 28), ...

Vandiver chứng minh rằng định lý lớn Fermat (Bản mẫu:Nowrap) không có nghiệm nguyên x, y, z với Bản mẫu:Nowrap nếu p là số nguyên tố chính quy Euler. Gut chứng minh rằng Bản mẫu:Nowrap không có nghiệm nguyên nếu p có chỉ số phi chính quy Euler nhỏ hơn 5.[10]

Hiện đã chứng minh được rằng có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler. Một kết quả mạnh hơn thu được như sau: có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler đồng dư với 1 khi mô đun 8. Giống với trường hợp B-chính quy của Kummer, hiện vẫn chưa biết được liệu có vô số số nguyên tố chính quy Euler.

Số nguyên tố phi chính quy mạnh

Số nguyên tố p được gọi là phi chính quy mạnh nếu nó vừa B-phi chính quy và E-phi chính quy (chỉ số của số Bernoulli và số Euler chia hết cho p có thể bằng nhau hoặc khác nhau). Các số nguyên tố phi chính quy mạnh đầu tiên là

67, 101, 149, 263, 307, 311, 353, 379, 433, 461, 463, 491, 541, 577, 587, 619, 677, 691, 751, 761, 773, 811, 821, 877, 887, 929, 971, 1151, 1229, 1279, 1283, 1291, 1307, 1319, 1381, 1409, 1429, 1439, ... Bản mẫu:OEIS

Chứng minh định lý lớn Fermat cho số nguyên tố phi chính quy mạnh p khó hơn nhiều (bởi Kummer đã chứng minh trước trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat cho các số nguyên tố B-chính quy, và Vandiver chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố E-chính quy), điểm khó nhất gặp phải là không chỉ p là số nguyên tố phi chính quy mạnh, mà các số Bản mẫu:Nowrap, Bản mẫu:Nowrap, Bản mẫu:Nowrap, Bản mẫu:Nowrap, Bản mẫu:Nowrap, và Bản mẫu:Nowrap còn đều là hợp số (Legendre chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố p thoả mãn ít nhất một trong các số Bản mẫu:Nowrap, Bản mẫu:Nowrap, Bản mẫu:Nowrap, Bản mẫu:Nowrap, Bản mẫu:Nowrap, và Bản mẫu:Nowrap là số nguyên tố), các số nguyên tố p thoả mãn tính chất đó nằm trong dãy

263, 311, 379, 461, 463, 541, 751, 773, 887, 971, 1283, ...

Số nguyên tố phi chính quy yếu

Số nguyên tố p được gọi là phi chính quy yếu nếu nó không B-phi chính quy hoặc E-phi chính quy (hoặc không cả hai). Các số nguyên tố phi chính quy yếu đầu tiên là

19, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 101, 103, 131, 137, 139, 149, 157, 193, 223, 233, 241, 251, 257, 263, 271, 277, 283, 293, 307, 311, 347, 349, 353, 373, 379, 389, 401, 409, 419, 421, 433, 461, 463, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 571, 577, 587, 593, ... Bản mẫu:OEIS

Giống với tính phi chính quy Bernoulli, phi chính quy yếu có quan hệ với tính chia hết của số lớp của trường cyclotomic. Cụ thể, số nguyên tố p phi chính quy yếu khi và chỉ khi p là ước của trường cyclotomic thứ 4p (tức trường Q(ζ4p).

Cặp phi chính quy yếu

Trong đoạn dưới đây, lưu ý rằng "an" là tử số của số Bernoulli thứ n nếu n chẵn, và là số Euler thứ Bản mẫu:Nowrap nếu n lẻ Bản mẫu:OEIS.

Bởi với mọi số nguyên tố lẻ p, p là ước của ap khi và chỉ khi p đồng dư với 1 mô đun 4, và bởi vì p là ước của mẫu số của số Bernoulli thứ Bản mẫu:Nowrap với mọi số nguyên tố lẻ p, nên cho bất kỳ số nguyên tố lẻ p, p không thể là ước của ap−1. Bên cạnh đó, p là ước của an (và 2p không là ước của n) khi và chỉ khi p cũng là ước của an+k(p−1) (nếu 2p là ước của n, thì câu này phải đổi thành "p cũng là ước của an+2kp". Hơn nữa, nếu 2p là ước của n và Bản mẫu:Nowrap không phải là ước của n, thì p là ước của an.) cho mọi số nguyên k (cần điều kiện Bản mẫu:Nowrap > 1). Ví dụ chẳng hạn, bởi 19 là ước của a11 và Bản mẫu:Nowrap không phải là ước của 11, nên 19 là ước của a18k+11 với mọi k. Do đó, trong định nghĩa của cặp phi chính quy Bản mẫu:Nowrap, giá trị n nên không quá Bản mẫu:Nowrap.

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy thoả mãn số nguyên tố lẻ Bản mẫu:Nowrap:

p các số nguyên
0 ≤ n ≤ p − 2
sao cho p là ước của an 		p các số nguyên
0 ≤ n ≤ p − 2
sao cho p là ước của an 		p các số nguyên
0 ≤ n ≤ p − 2
sao cho p là ước của an 		p các số nguyên
0 ≤ n ≤ p − 2
sao cho p là ước của an 		p các số nguyên
0 ≤ n ≤ p − 2
sao cho p là ước của an 		p các số nguyên
0 ≤ n ≤ p − 2
sao cho p là ước của an
3 79 19 181 293 156 421 240 557 222
5 83 191 307 88, 91, 137 431 563 175, 261
7 89 193 75 311 87, 193, 292 433 215, 366 569
11 97 197 313 439 571 389
13 101 63, 68 199 317 443 577 52, 209, 427
17 103 24 211 331 449 587 45, 90, 92
19 11 107 223 133 337 457 593 22
23 109 227 347 280 461 196, 427 599
29 113 229 349 19, 257 463 130, 229 601
31 23 127 233 84 353 71, 186, 300 467 94, 194 607 592
37 32 131 22 239 359 125 479 613 522
41 137 43 241 211, 239 367 487 617 20, 174, 338
43 13 139 129 251 127 373 163 491 292, 336, 338, 429 619 371, 428, 543
47 15 149 130, 147 257 164 379 100, 174, 317 499 631 80, 226
53 151 263 100, 213 383 503 641
59 44 157 62, 110 269 389 200 509 141 643
61 7 163 271 84 397 521 647 236, 242, 554
67 27, 58 167 277 9 401 382 523 400 653 48
71 29 173 281 409 126 541 86, 465 659 224
73 179 283 20 419 159 547 270, 486 661

Các số nguyên tố dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 3 là 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751, và 929. Bên cạnh đó, 491 là số nguyên tố duy nhất dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 4, và các số nguyên tố lẻ còn lại dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 0, 1, hoặc 2. (Chỉ số phi chính yếu được định nghĩa là số các số nguyên Bản mẫu:Nowrap thoả mãn p là ước của an.)

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy với n ≤ 63. (Để tìm ra các cặp này, ta chỉ cần phân tích thừa số của an. Lấy ví dụ, Bản mẫu:Nowrap, nhưng Bản mẫu:Nowrap, nên cặp phi chính quy duy nhất với Bản mẫu:Nowrap là Bản mẫu:Nowrap) (đối với các n chẵn lên tới 300 và các n lẻ lên tới 201, xem [11]).

n các số nguyên tố p ≥ n + 2 sao cho p là ước của an n các số nguyên tố p ≥ n + 2 sao cho p là ước của an
0 32 37, 683, 305065927
1 33 930157, 42737921, 52536026741617
2 34 151628697551
3 35 4153, 8429689, 2305820097576334676593
4 36 26315271553053477373
5 37 9257, 73026287, 25355088490684770871
6 38 154210205991661
7 61 39 23489580527043108252017828576198947741
8 40 137616929, 1897170067619
9 277 41 763601, 52778129, 359513962188687126618793
10 42 1520097643918070802691
11 19, 2659 43 137, 5563, 13599529127564174819549339030619651971
12 691 44 59, 8089, 2947939, 1798482437
13 43, 967 45 587, 32027, 9728167327, 36408069989737, 238716161191111
14 46 383799511, 67568238839737
15 47, 4241723 47 285528427091, 1229030085617829967076190070873124909
16 3617 48 653, 56039, 153289748932447906241
17 228135437 49 5516994249383296071214195242422482492286460673697
18 43867 50 417202699, 47464429777438199
19 79, 349, 87224971 51 5639, 1508047, 10546435076057211497, 67494515552598479622918721
20 283, 617 52 577, 58741, 401029177, 4534045619429
21 41737, 354957173 53 1601, 2144617, 537569557577904730817, 429083282746263743638619
22 131, 593 54 39409, 660183281, 1120412849144121779
23 31, 1567103, 1427513357 55 2749, 3886651, 78383747632327, 209560784826737564385795230911608079
24 103, 2294797 56 113161, 163979, 19088082706840550550313
25 2137, 111691689741601 57 5303, 7256152441, 52327916441, 2551319957161, 12646529075062293075738167
26 657931 58 67, 186707, 6235242049, 37349583369104129
27 67, 61001082228255580483 59 1459879476771247347961031445001033, 8645932388694028255845384768828577
28 9349, 362903 60 2003, 5549927, 109317926249509865753025015237911
29 71, 30211, 2717447, 77980901 61 6821509, 14922423647156041, 190924415797997235233811858285255904935247
30 1721, 1001259881 62 157, 266689, 329447317, 28765594733083851481
31 15669721, 28178159218598921101 63 101, 6863, 418739, 1042901, 91696392173931715546458327937225591842756597414460291393

Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy Bản mẫu:Nowrap (Bản mẫu:Nowrap), hiện ta đang phỏng đoán rằng có vô hạn cặp phi chính quy Bản mẫu:Nowrap với mọi số tự nhiên Bản mẫu:Nowrap, nhưng mới chỉ một ít được tìm thấy khi cố định n và thậm chí còn có một số giá trị của n vẫn chưa tìm thấy số nguyên tố p đi kèm.

n Số nguyên tố p sao cho p là ước của ap−n (các giá trị p được kiểm tra lên tới 20000) Dãy OEIS
2 149, 241, 2946901, 16467631, 17613227, 327784727, 426369739, 1062232319, ... Bản mẫu:OEIS link
3 16843, 2124679, ... Bản mẫu:OEIS link
4 ...
5 37, ...
6 ...
7 ...
8 19, 31, 3701, ...
9 67, 877, ... Bản mẫu:OEIS link
10 139, ...
11 9311, ...
12 ...
13 ...
14 ...
15 59, 607, ...
16 1427, 6473, ...
17 2591, ...
18 ...
19 149, 311, 401, 10133, ...
20 9643, ...
21 8369, ...
22 ...
23 ...
24 17011, ...
25 ...
26 ...
27 ...
28 ...
29 4219, 9133, ...
30 43, 241, ...
31 3323, ...
32 47, ...
33 101, 2267, ...
34 461, ...
35 ...
36 1663, ...
37 ...
38 101, 5147, ...
39 3181, 3529, ...
40 67, 751, 16007, ...
41 773, ...

Xem thêm

Tham khảo

Bản mẫu:Reflist

Đọc thêm

Liên kết ngoài

Bản mẫu:Phân loại các số nguyên tố

  1. ↑ Bản mẫu:Citation
  2. ↑ Bản mẫu:Citation
  3. ↑ Bản mẫu:Cite journal
  4. ↑ Leo Corry: Number Crunching vs. Number Theory: Computers and FLT, from Kummer to SWAC (1850–1960), and beyond
  5. ↑ Bản mẫu:Cite journal
  6. ↑ Bản mẫu:Cite journal
  7. ↑ Bản mẫu:Cite journal
  8. ↑ Bản mẫu:Cite journal
  9. ↑ Bản mẫu:Citation
  10. ↑ Bản mẫu:Cite web
  11. ↑ Bản mẫu:Cite web
Lấy từ “https://vi.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Số_nguyên_tố_chính_quy&oldid=1076”