Hàm chỉnh hình

Một lưới hình chữ nhật (trên) và ảnh của nó qua một ánh xạ bảo giác Bản mẫu:Mvar (dưới).

Trong toán học, một hàm chỉnh hình (ánh xạ bảo giác) là một hàm nhận giá trị phức của một hay nhiều biến phức mà tại mọi điểm trong tập xác định, nó khả vi phức trong một lân cận của điểm đó. Sự tồn tại của đạo hàm phức trong một lân cận là một điều kiện rất chặt, từ đó ta suy ra bất kì hàm chỉnh hình nào đều khả vi vô hạn và bằng chuỗi Taylor của nó cục bộ (hàm giải tích). Hàm chỉnh hình là đối tượng nghiên cứu chính trong giải tích phức.

Mặc dù cụm từ hàm giải tích thường được sử dụng thay cho "hàm chỉnh hình", nó được sử dụng theo nghĩa rộng hơn để chỉ bất kì hàm số nào (thực, phức hay những loại khác) có thể viết được dưới dạng một chuỗi lũy thừa hội tụ trên một lân cận của mỗi điểm trong tập xác định của hàm số đó. Một định lý quan trọng trong giải tích phức đó là mọi hàm chỉnh hình đều là hàm giải tích phức, và ngược lại.

Hàm chỉnh hình đôi khi còn được gọi là hàm chính quy. Một hàm chỉnh hình có tập xác định là toàn bộ mặt phẳng phức được gọi là một hàm nguyên. Cụm từ "chỉnh hình tại Bản mẫu:Math" không chỉ có nghĩa là khả vi tại Bản mẫu:Math, mà là khả vi tại mọi điểm trong một lân cận của nào đó Bản mẫu:Math trên mặt phẳng phức.

Định nghĩa

Hàm số $f(z)=\overline{z}$ không khả vi phức tại không vì giá trị của $\frac{f(z)-f(0)}{z-0}$ thay đổi tùy thuộc vào hướng tiếp cận đến không. Trên trục thực, Bản mẫu:Mvar có giá trị bằng hàm số Bản mẫu:Math và giới hạn là Bản mẫu:Math, trong khi trên trục ảo, Bản mẫu:Mvar bằng hàm số Bản mẫu:Math và có giới hạn bằng Bản mẫu:Math. Những phương khác cũng cho các giới hạn khác nhau.

Với hàm một biến phức Bản mẫu:Mvar nhận giá trị phức, đạo hàm của Bản mẫu:Mvar tại Bản mẫu:Math trong tập xác định của nó được định nghĩa bởi giới hạn

$f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.$

Công thức này giống với định nghĩa đạo hàm của hàm số thực, trừ việc tất cả đại lượng đều nhận giá trị phức. Cụ thể hơn, giới hạn được lấy khi số phức Bản mẫu:Mvartiếp cận Bản mẫu:Math, và phải có cùng một giá trị cho mọi dãy số phức tiến về Bản mẫu:Math trên mặt phẳng phức. Nếu giới hạn đó tồn tại, ta nói Bản mẫu:Mvar khả vi phức tại Bản mẫu:Math. Định nghĩa này của tính khả vi phức có nhiều điểm chung với khả vi thực: nó tuyến tính và tuân theo quy tắc nhân, quy tắc chia, và quy tắc hàm hợp.

Nếu Bản mẫu:Mvar khả vi phức tại mọi điểm Bản mẫu:Math trong một tập mở Bản mẫu:Mvar, ta nói Bản mẫu:Mvar chỉnh hình trên Bản mẫu:Mvar. Hàm Bản mẫu:Mvar được gọi là chỉnh hình tại điểm Bản mẫu:Math nếu Bản mẫu:Mvar khả vi phức trên một lân cận nào đó của Bản mẫu:Math. Ta nói Bản mẫu:Mvar chỉnh hình trên một tập Bản mẫu:Mvar không mở nếu như nó chỉnh hình trên một tập mở chứa Bản mẫu:Mvar. Một ví dụ, hàm số Bản mẫu:Math khả vi phức tại đúng một điểm (Bản mẫu:Math), và vì thế, nó không chỉnh hình tại 0 vì Bản mẫu:Mvar không khả vi phức trên tập mở nào chứa 0 cả.

Mối liên hệ giữa tính khả vi thực và phức như sau. Nếu một hàm phức Bản mẫu:Math chỉnh hình, thì Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar có đạo hàm riêng cấp một đối với Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar, và thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\mathrm{v}\stackrel{`}{\mathrm{a}}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

Một cách khác tương đương là, đạo hàm Wirtinger của Bản mẫu:Mvar đối với số phức liên hợp của Bản mẫu:Mvar bằng không:

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0,$

từ đây ta có thể tạm nói rằng, Bản mẫu:Mvar độc lập với số phức liên hợp của Bản mẫu:Mvar.

Nếu không có giả thiết về tính liên tục, điều ngược lại không nhất thiết đúng. Một mệnh đề đảo đơn giản là nếu Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar có đạo hàm riêng bậc nhất liên tục vào thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann thì Bản mẫu:Mvar là chỉnh hình. Một mệnh đề đảo mạnh hơn, và cũng khó chứng minh hơn rất nhiều, là định lý Looman–Menchoff: nếu Bản mẫu:Mvar liên tục, Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar có đạo hàm riêng bậc nhất (không nhất thiết liên tục), và thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann thì Bản mẫu:Mvar là chỉnh hình.

Một hàm song chỉnh hình là một hàm chỉnh hình song ánh sao cho hàm ngược của nó cũng là một hàm chỉnh hình.

Thuật ngữ

Cụm từ "chỉnh hình" (Bản mẫu:Lang-en) được đưa ra lần đầu bởi hai học sinh của Cauchy, Briot (1817–1882) và Bouquet (1819–1895), và có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp ὅλος (holos) nghĩa là "toàn bộ", và μορφή (morphē) nghĩa là "dạng" hay "hình dáng".

Ngày nay, cụm từ "hàm chỉnh hình" đôi khi còn được gọi là "hàm giải tích". Một kết quả quan trọng trong giải tích phức đó là mọi hàm chỉnh hình đều là giải tích phức, một điều không hoàn toàn hiển nhiên từ định nghĩa. Cụm từ "giải tích" được sử dụng khá phổ biến nhưng mang ý nghĩa rộng hơn.

Tính chất

Vì phép lấy đạo hàm phức là tuyến tính và tuân theo quy tắc nhân, chia và hợp nên tổng, tích và hợp của các hàm chỉnh hình là chỉnh hình, và thương của hai hàm chỉnh hình là chỉnh hình khi mẫu số khác không.

Nếu thay vì Bản mẫu:Math ta xét tập Bản mẫu:Math, thì hàm chỉnh hình tương đương với hàm hai biến thực với đạo hàm bậc nhất liên tục thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann, một hệ hai phương trình vi phân riêng phầns.

Mọi hàm chỉnh hình đều có thể chia thành phần thực và phần ảo, và mỗi phần như thế đều là nghiệm của phương trình Laplace trên Bản mẫu:Math. Nói cách khác, nếu ta biểu diễn một hàm chỉnh hình Bản mẫu:Math dưới dạng Bản mẫu:Math thì cả Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar là các hàm điều hòa, trong đó Bản mẫu:Mvar là liên hợp điều hòa của Bản mẫu:Mvar.

Từ Định lý tích phân Cauchy ta suy ra tích phân chu tuyến của một hàm chỉnh hình theo một vòng lặp tiêu biến:

$\underset{\gamma }{\oint }f(z)dz=0.$

Ở đây Bản mẫu:Math là một đường cong trong một tập con mở đơn liên Bản mẫu:Mvar trên mặt phẳng phức Bản mẫu:Math có điểm bắt đầu trùng với điểm kết thúc, và Bản mẫu:Math là một hàm chỉnh hình.

Công thức tích phân Cauchy phát biểu rằng mọi hàm chỉnh hình trong một hình tròn hoàn toàn được xác định bởi giá trị của nó trên đường biên của hình tròn. Hơn nữa: Giả sử Bản mẫu:Mvar là một tập con mở của Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math là một hàm chỉnh hình và hình tròn khép kín Bản mẫu:Math nằm hoàn toàn trong Bản mẫu:Mvar. Đặt Bản mẫu:Math là đường tròn tạo nên rìa ngoài của Bản mẫu:Mvar. Khi ấy với mọi Bản mẫu:Mvar ở trong Bản mẫu:Mvar:

$f(a)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\oint }\frac{f(z)}{z-a}dz$

ở đây tích phân chu tuyến được lấy ngược chiều kim đồng hồ.

Đạo hàm Bản mẫu:Math có thể được viết dưới dạng một tích phân chu tuyến sử dụng công thức tích phân Cauchy:

$f^{\prime }(a)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\oint }\frac{f(z)}{(z-a{)}^2}dz,$

với mọi vòng lặp đơn dương quay quanh Bản mẫu:Mvar đúng một lần, và

$f^{\prime }(a)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\gamma \to a}\frac{i}{2𝒜(\gamma )}\underset{\gamma }{\oint }f(z)d\overline{z},$

với vòng lặp γ dương nhỏ vô cùng quanh Bản mẫu:Mvar.

Ở những vùng có đạo hàm bậc nhất khác không, hàm chỉnh hình có thể coi là bảo giác theo nghĩa là chúng giữ nguyên góc và hình dạng (nhưng không phải kích thước) của những hình nhỏ.

Mọi hàm chỉnh hình đều là giải tích. Nghĩa là, hàm chỉnh hình Bản mẫu:Mvar có đạo hàm vô hạn tại mọi điểm Bản mẫu:Mvar trong tập xác định của nó, và nó bằng chuỗi Taylor của nó tại Bản mẫu:Mvar trong một lân cận chứa Bản mẫu:Mvar. Thực ra, Bản mẫu:Mvar bằng với chuỗi Taylor của nó tại Bản mẫu:Mvar trong bất kỳ hình tròn nào có tâm tại Bản mẫu:Mvar và nằm trong tập xác định của hàm Bản mẫu:Mvar.

Dưới góc nhìn đại số, tập các hàm chỉnh hình trên một tập mở là một vành giao hoán và không gian vectơ phức. Thêm vào đó, tập các hàm chỉnh hình trên một tập mở U là một vành nguyên khi và chỉ khi tập U liên thông.

Dưới góc nhìn hình học, một hàm Bản mẫu:Mvar chỉnh hình tại Bản mẫu:Math khi và chỉ khi đạo hàm ngoài Bản mẫu:Mvar trong một lân cận Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math với một hàm liên tục Bản mẫu:Mvar nào đó. Từ

$0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=d{f}^{\prime }\wedge dz$

ta suy ra Bản mẫu:Mvar cũng tỉ lệ với Bản mẫu:Mvar, có nghĩa là đạo hàm Bản mẫu:Mvar cũng chỉnh hình và Bản mẫu:Mvar khả vi vô hạn lần. Tương tự, từ Bản mẫu:Math ta suy ra bất kì hàm chỉnh hình Bản mẫu:Mvar nào trên vùng đơn liên Bản mẫu:Mvar cũng khả tích trên Bản mẫu:Mvar. Cụ thể hơn, với đường γ từ z₀ đến Bản mẫu:Mvarnằm trong Bản mẫu:Mvar, định nghĩa

$F_{\gamma }(z)=F_0+\underset{\gamma }{\int }fdz$;

khi ấy sử dụng định lý đường cong Jordan và định lý Stokes tổng quát, Bản mẫu:Math không phụ thuộc vào việc lựa chọn đường đi Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math là một hàm trên Bản mẫu:Mvar thỏa Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math.)

Ví dụ

Tất cả hàm đa thức biến Bản mẫu:Mvarvới hệ số phức đều là chỉnh hình trên Bản mẫu:Math, cũng như các hàm sin, cosin và hàm mũ. (Các hàm lượng giác thực chất có liên hệ mật thiết và có thể được định nghĩa bằng hàm mũ sử dụng công thức Euler). Nhánh chính của hàm logarit phức chỉnh hình trên tập Bản mẫu:Math}. Hàm căn bậc hai có thể được định nghĩa bằng:

$\sqrt{z}=e^{\frac{1}{2}\log z}$

và vì thế nó chỉnh hình khi Bản mẫu:Math chỉnh hình. Hàm Bản mẫu:Math chỉnh hình trên Bản mẫu:Math

Một hệ quả của phương trình Cauchy–Riemann, một hàm chỉnh hình nhận giá trị thực phải là hàm hằng. Vì thế, giá trị tuyệt đối của z, acgumen của z, phần thực của Bản mẫu:Mvarvà phần ảo của Bản mẫu:Mvarđều không phải hàm chỉnh hình. Một ví dụ điển hình khác của hàm liên tục nhưng không chỉnh hình là hàm số phức liên hợp Bản mẫu:Math.

Nhiều biến

Định nghĩa của hàm chỉnh hình mở rộng cho nhiều biến phức theo một cách tự nhiên. Ký hiệu Bản mẫu:Mvar là một tập con mở của Bản mẫu:Math, và hàm số Bản mẫu:Math. Hàm số Bản mẫu:Mvar được gọi là giải tích tại điểm Bản mẫu:Mvar trong Bản mẫu:Mvar nếu tồn tại một lân cận mở của Bản mẫu:Mvar mà trong đó Bản mẫu:Mvar bằng với chuỗi lũy thừa hội tụ theo Bản mẫu:Mvar biến phức. Định nghĩa Bản mẫu:Mvar là chỉnh hình khi và chỉ khi nó giải tích tại mọi điểm trong tập xác định của nó. Bổ đề Osgood cho ta (sử dụng công thức tích phân Cauchy nhiều biến), với hàm Bản mẫu:Mvar liên tục, điều này tương đương với Bản mẫu:Mvar chỉnh hình theo từng biến riêng biệt (nghĩa là nếu bất kỳ Bản mẫu:Math ẩn được cố định, thì Bản mẫu:Mvar là chỉnh hình theo biến còn lại). Định lý Hartogs khó hơn rất nhiều chứng minh rằng giả thiết liên tục là không cần thiết: Bản mẫu:Mvar chỉnh hình khi và chỉ khi nó chỉnh hình theo từng biến riêng biệt.

Tổng quát hơn, một hàm nhiều biến phức bình phương khả tích trên mọi tập con compact của tập xác định là giải tích khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann theo từng biến.

Hàm nhiều biến phức trong nhiều trường hợp phức tạp hơn so với hàm một biến phức. Ví dụ, vùng hội tụ của một chuỗi lũy thừa không nhất thiết là một quả cầu mở; những vùng này là các miền Reinhardt, ví dụ đơn giản nhất là một đa đĩa. Tuy nhiên, chúng có những điều kiện nhất định. Không như hàm một biến phức, tập xác định có thể mà trên đó tồn tại hàm chỉnh hình không thể được mở rộng ra tập xác định lớn hơn là rất ít. Một tập như thế được gọi là một miền chỉnh hình.

Mở rộng sang giải tích hàm

Khái niệm hàm chỉnh hình có thể được mở rộng sang không gian vô hạn chiều của giải tích hàm. Ví dụ, đạo hàm Fréchet hay Gateaux có thể được sử dụng để định nghĩa hàm chỉnh hình trên một không gian Banach trên trường số phức.

Xem thêm

• Ánh xạ điều hòa
• Đạo hàm Wirtinger
• Hàm phân hình
• Miền cầu phương
• Nguyên hàm (giải tích phức)
• Thác triển giải tích

Đọc thêm

• Bản mẫu:Chú thích sách

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:Springer