Công thức tích phân lặp của Cauchy

Bản mẫu:Distinguish Trong giải tích, công thức tích phân lặp Cauchy, đặt tên theo Augustin Louis Cauchy, cho phép ta biến nguyên hàm thứ Bản mẫu:Mvar của một hàm số thành một tích phân duy nhất.

Phát biểu

Gọi Bản mẫu:Mvar là một hàm liên tục trên tập số thực. Khi ấy tích phân lặp thứ Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar tại Bản mẫu:Mvar:

$f^{(-n)}(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_{n-1}}{\int }}f({\sigma }_n)\mathrm{d}{\sigma }_n\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1$,

có thể được tính bằng công thức

$f^{(-n)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t$.

Chứng minh

Một chứng minh đơn giản sử dụng quy nạp. Do Bản mẫu:Mvar liên tục, trường hợp Bản mẫu:Math suy ra từ định lý cơ bản của giải tích:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{f}^{(-1)}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=f(x)$;

trong đó

$f^{(-1)}(a)=\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=0.$

Giả sử điều này đúng với Bản mẫu:Mvar, và ta cần chứng minh nó đúng với Bản mẫu:Math. Đầu tiên, sử dụng quy tắc tích phân Leibniz, ta có

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t]=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t.$

Sau đó, áp dụng giả thiết quy nạp,

$\begin{array}{cc}{f}^{-(n+1)}(x)& =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_n}{\int }}f({\sigma }_{n+1})\mathrm{d}{\sigma }_{n+1}\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}{({\sigma }_1-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\sigma }_1}[\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}{({\sigma }_1-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t\end{array}$

Chứng minh được hoàn tất.

Áp dụng

Trong giải tích phân số, công thức này có thể được dùng để xây dựng khái niệm differintegral, cho phép ta đạo hàm hoặc tích phân với số lần là một phân số. Lấy tích phân lặp phân số lần với công thức này rất đơn giản; ta có thể dùng Bản mẫu:Mvar phân số nếu coi Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Math (xem hàm gamma). Lấy đạo hàm cấp phân số có thể được thực hiện bằng cách lấy tích phân phân số, rồi lấy đạo hàm kết quả đó.

Tham khảo

• Bản mẫu:Chú thích sách

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:Chú thích web