Quy tắc tích phân Leibniz

Bản mẫu:About Bản mẫu:Short description Bản mẫu:Calculus Trong vi tích phân, quy tắc Leibniz cho đạo hàm dưới dấu tích phân, đặt tên theo nhà toán học Gottfried Leibniz, phát biểu rằng với một tích phân với dạng

$\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt$

với $a(x),b(x)\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$, đạo hàm của tích phân này có thể được viết là:

$\frac{d}{dx}(\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt)=f(x,b(x))\cdot \frac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\cdot \frac{d}{dx}a(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$

Chú ý rằng nếu $a(x)$ và $b(x)$ đều là hằng số thay vì là hàm số theo $x$, ta có dạng đặc biệt của quy tắc Leibniz:

$\frac{d}{dx}(\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,t)dt)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$

Ngoài ra, nếu $a(x)=a$ và $b(x)=x$, một trường hợp thường gặp (như trong chứng minh của công thức tích phân lặp của Cauchy), ta có:

$\frac{d}{dx}(\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(x,t)dt)=f(x,x)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$

Do đó, trong một số trường hợp, ta có thể hoán đổi dấu tích phân và đạo hàm riêng. Kết quả quan trọng này đặc biệt hữu ích trong việc lấy đạo hàm của phép biến đổi tích phân. Một ví dụ là hàm sinh mô men trong lý thuyết xác suất, một dạng của biến đổi Laplace, có thể được lấy đạo hàm để thu được mô men của một biến ngẫu nhiên.

Dạng tổng quát

Định lý. Cho Bản mẫu:Math là một hàm số sao cho cả Bản mẫu:Math và đạo hàm riêng của nó Bản mẫu:Math đều liên tục đối với Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar trong một vùng của mặt phẳng Bản mẫu:Math, bao gồm Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math. Đồng thời giả sử các hàm số Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math đều liên tục và có đạo hàm liên tục với Bản mẫu:Mvar trong khoảng Bản mẫu:Math. Khi ấy, với Bản mẫu:Math, ta có

$\frac{d}{dx}(\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}f(x,t)dt)=f(x,b(x))\cdot \frac{d}{dx}b(x)-f(x,a(x))\cdot \frac{d}{dx}a(x)+\underset{a(x)}{\overset{b(x)}{\int }}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)dt.$

Đẳng thức trên là dạng tổng quát của công thức tích phân Leibniz và có thể được chứng minh bằng định lý cơ bản của giải tích. Thực chất, định lý cơ bản của giải tích (thứ nhất) là trường hợp đặc biệt của định lý trên khi Bản mẫu:Math là một hằng số, Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math

Nếu cả chặn trên và dưới đều là hằng số, thì đẳng thức trên trông giống như phương trình của một toán tử:

${ℐ}_t{\partial }_x={\partial }_x{ℐ}_t$

trong đó ${\partial }_x$ là đạo hàm riêng của Bản mẫu:Mvar và ${ℐ}_t$ là toán tử tích phân của Bản mẫu:Mvar trên một khoảng cố định. Nó liên quan đến tính đối xứng của đạo hàm cấp hai, nhưng có cả tích phân lẫn đạo hàm. Trường hợp này cũng được gọi là quy tắc tích phân Leibniz.

Ba định lý dưới đây về việc đổi chỗ các phép toán giới hạn về cơ bản là tương đương với nhau:

• đổi chỗ đạo hàm và tích phân (đạo hàm dưới dấu tích phân; tức quy tắc tích phân Leibniz);
• đổi chỗ thứ tự của đạo hàm riêng;
• đổi chỗ thứ tự tích phân (tích phân dưới dấu tích phân; tức định lý Fubini).

Trường hợp ba chiều, phụ thuộc thời gian

Hình 1: Một trường vectơ Bản mẫu:Math định nghĩa trong không gian ba chiều, và một mặt Bản mẫu:Math giới hạn bởi đường cong Bản mẫu:Math di chuyển với vận tốc Bản mẫu:Math được lấy tích phân trong trường đó.

Quy tắc Leibniz cho một mặt hai chiều di chuyển trong không gian ba chiều là:

$\frac{d}{dt}\underset{\mathrm{\Sigma }(t)}{\iint }𝐅(𝐫,t)\cdot d𝐀=\underset{\mathrm{\Sigma }(t)}{\iint }({𝐅}_t(𝐫,t)+[\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅(𝐫,t)]𝐯)\cdot d𝐀-{\oint }_{\partial \mathrm{\Sigma }(t)}[𝐯\times 𝐅(𝐫,t)]\cdot d𝐬,$

trong đó:

Bản mẫu:Math là trường vectơ tại vị trí Bản mẫu:Math tại thời gian Bản mẫu:Math

Bản mẫu:Math là mặt giới hạn bởi đường cong kín Bản mẫu:Math

Bản mẫu:Math là thành phần vectơ của mặt Bản mẫu:Math

Bản mẫu:Math là thành phần vectơ của đường cong Bản mẫu:Math

Bản mẫu:Math là vận tốc di chuyển của vùng Bản mẫu:Math

Bản mẫu:Math là div vectơ,

Bản mẫu:Math là tích có hướng của vectơ.

Tích phân hai lớp là tích phân mặt trên mặt Bản mẫu:Math, và tích phân đường là trên đường cong giới hạn Bản mẫu:Math

Nhiều chiều

Quy tắc tích phân Leibniz có thể được mở rộng cho trường hợp nhiều chiều. Trong trường hợp hai và ba chiều, công thức này được dùng trong động lực học chất lưu, còn được biết là định lý vận chuyển Reynolds:

$\frac{d}{dt}\underset{D(t)}{\int }F(\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">x</mi>}}},t)dV=\underset{D(t)}{\int }\frac{\partial }{\partial t}F(\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">x</mi>}}},t)dV+\underset{\partial D(t)}{\int }F(\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">x</mi>}}},t){\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}}_b\cdot d\mathrm{\Sigma },$

trong đó $F(\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">x</mi>}}},t)$ là một hàm scalar, Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math lần lượt là một vùng của Bản mẫu:Math và giới hạn của nó thay đổi theo thời gian, còn ${\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}}_b$ là vận tốc Euler của đường bao quanh và Bản mẫu:Math là thành phần đơn vị của thành phần mặt.

Phát biểu tổng quát cho công thức tích phân Leibniz cần những khái niệm từ hình học vi phân, cụ thể là dạng vi phân, tích phân ngoài, tích chêm và tích trong. Quy tắc tích phân Leibniz trong Bản mẫu:Math chiều là

$\frac{d}{dt}\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }\omega =\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }{i}_{\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}}(d_x\omega )+\underset{\partial \mathrm{\Omega }(t)}{\int }{i}_{\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}}\omega +\underset{\mathrm{\Omega }(t)}{\int }\dot{\omega },$

trong đó Bản mẫu:Math là miền lấy tích phân thay đổi theo thời gian, Bản mẫu:Math là một dạng Bản mẫu:Mvar, $\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">x</mi>}}}}{\partial t}$ là trường vectơ của vận tốc, $i_{\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}}$ chỉ tích trong với $\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}$, Bản mẫu:Math là đạo hàm ngoài của Bản mẫu:Math đối với biến vị trí và $\dot{\omega }$ là đạo hàm của Bản mẫu:Math đối với thời gian.

Tuy nhiên, tất cả các đẳng thức trên đều có thể được suy ra từ phảt biểu tổng quát sau về đạo hàm Lie:

${\frac{d}{dt}|}_{t=0}\underset{{\text{im}}_{{\psi }_t}(\mathrm{\Omega })}{\int }\omega =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{ℒ}_{\mathrm{\Psi }}\omega ,$

Ở đây, đa tạp mà dạng vi phân $\omega$ nằm trong bao gồm cả không gian và thời gian.

Bản mẫu:Math là vùng lấy tích phân (đạ tạp con) ở một thời điểm xác định (nó không phụ thuộc vào Bản mẫu:Mvar, vì tham số hóa nó thành một đa tạp con định nghĩa vị trí của nó theo thời gian),

$ℒ$ là đạo hàm Lie,

Bản mẫu:Math là trường vectơ không thời gian nhận được bằng cách cộng trường vectơ đơn vị theo hướng của thời gian với trường vectơ không gian $\overrightarrow{\mathbf{\text{<mi fromhbox="1">v</mi>}}}$ từ công thức trước (nói cách khác, Bản mẫu:Math là vận tốc không thời gian của Bản mẫu:Math),

${\psi }_t$ là một vi phôi từ nhóm một tham số sinh bởi dòng chảy của $\mathrm{\Psi }$,

${\text{im}}_{{\psi }_t}(\mathrm{\Omega })$ là ảnh của Bản mẫu:Math dưới phép vi phôi đó.

Phát biểu lý thuyết độ đo

Gọi Bản mẫu:Mvar là một tập con mở của Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math là một không gian độ đo. Giả sử Bản mẫu:Math thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Bản mẫu:Math là một hàm khả tích Lebesgue của Bản mẫu:Mvar với mỗi Bản mẫu:Math
2. Với hầu hết Bản mẫu:Math, đạo hàm Bản mẫu:Math tồn tại với mỗi Bản mẫu:Math
3. Tồn tại một hàm khả tích Bản mẫu:Math sao cho Bản mẫu:Math với mọi Bản mẫu:Math và với hầu hết Bản mẫu:Math

Khi ấy theo định lý hội tụ trội, với mọi Bản mẫu:Math

$\frac{d}{dx}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x,\omega )d\omega =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}_x(x,\omega )d\omega .$

Xem thêm

• Quy tắc dây chuyền
• Quy tắc Leibniz tổng quát, tổng quát quy tắc nhân
• Định lý vận chuyển Reynolds

Đọc thêm

• Bản mẫu:Chú thích sách
• Bản mẫu:Chú thích sách

Liên kết ngoài

• Bản mẫu:Chú thích web