Tiệm cận (giải tích)

Trong giải tích toán học, tiệm cận là một thuật ngữ mô tả các hành vi tại vô cùng.

Ví dụ, giả sử ta quan tâm đến thuộc tính của hàm Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Mvar rất lớn. Nếu Bản mẫu:Math, thì khi Bản mẫu:Mvar rất lớn, số hạng Bản mẫu:Math trở nên không đáng kể so với Bản mẫu:Math. Hàm Bản mẫu:Math được gọi là "tương đương tiệm cận với Bản mẫu:Math, khi Bản mẫu:Math ". Kí hiệu Bản mẫu:Math, cũng đọc là " Bản mẫu:Math tiệm cận đến Bản mẫu:Math ".

Một kết quả tiệm cận quan trọng trong toán học là định lý phân bố số nguyên tố. Gọi Bản mẫu:Math là hàm đếm số nguyên tố (không liên quan trực tiếp đến hằng số pi), tức là Bản mẫu:Math là số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng Bản mẫu:Mvar. Định lý phát biểu rằng

$\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}.$

khi $x\to \mathrm{\infty }$.

Định nghĩa

Cho trước các hàm Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math, ta xác định mối quan hệ

$f(x)\sim g(x)(\text{khi }x\to \mathrm{\infty })$

nếu và chỉ nếu

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1.$

Miền xác định của Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar có thể là bất kỳ tập hợp nào được sao cho giới hạn được xác định: ví dụ như tập số thực, tập số phức, tập số nguyên dương.

Ký hiệu tương tự cũng được sử dụng tại các vị trí giới hạn khác (khác vô cùng): ví dụ Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math. Giới hạn nói chung là ngầm hiểu từ hoàn cảnh.

Trong trường hợp Bản mẫu:Math tiến tới 0 tại giới hạn, ta có một định nghĩa thay thế, sử dụng kí hiệu O nhỏ:

$f(x)-g(x)=o(g(x)).$

Xem thêm

• Đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Ký hiệu O lớn

Tham khảo

• Balser, W. (1994), From Divergent Power Series To Analytic Functions
• de Brujin, N. G. (1981), Asymptotic Methods in Analysis
• Estrada, R.; Kanwal, R. P. (2002), A Distributional Approach to Asymptotics
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis
• Murray, J. D. (1984), Asymptotic Analysis
• Paris, R. B.; Kaminsky, D. (2001), Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press

Liên kết ngoài

• Asymptotic Analysis  —home page of the journal, which is published by IOS Press
• A paper on time series analysis using asymptotic distribution